代數(shù)方程與差分方程模型

代數(shù)方程與差分方程模型第一頁，共四十四頁，2022年，8月28日

國民經(jīng)濟(jì)各個部門之間存在著相互依存和制約關(guān)系，每個部門將其他部門的產(chǎn)品或半成品經(jīng)過加工（投入）變?yōu)樽约旱漠a(chǎn)品（產(chǎn)出）.

根據(jù)各部門間投入和產(chǎn)出的平衡關(guān)系，確定各部門的產(chǎn)出水平以滿足社會的需求.20世紀(jì)30年代由美國經(jīng)濟(jì)學(xué)家列昂節(jié)夫提出和研究.

從靜態(tài)擴(kuò)展到動態(tài)，與數(shù)量經(jīng)濟(jì)分析方法日益融合，應(yīng)用領(lǐng)域不斷擴(kuò)大.6.1投入產(chǎn)出模型背景建立靜態(tài)投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型，討論具體應(yīng)用.第二頁，共四十四頁，2022年，8月28日投入產(chǎn)出表

國民經(jīng)濟(jì)各部門間生產(chǎn)和消耗、投入和產(chǎn)出的數(shù)量關(guān)系產(chǎn)出投入農(nóng)業(yè)工業(yè)建筑業(yè)運(yùn)輸郵電批零餐飲其他服務(wù)外部需求總產(chǎn)出農(nóng)業(yè)464788229131271312842918工業(yè)499860514444035571223408316814建筑業(yè)593202312426912875運(yùn)輸郵電62527128163671464771570批零餐飲79749140431302739272341其他服務(wù)146128527222521954227255414初始投入1663485165970312183093總投入2918168142875157023415414中國2002年投入產(chǎn)出表（產(chǎn)值單位：億元）第三頁，共四十四頁，2022年，8月28日直接消耗系數(shù)表

產(chǎn)出投入農(nóng)業(yè)工業(yè)建筑業(yè)運(yùn)輸郵電批零餐飲其他服務(wù)農(nóng)業(yè)0.1590.0470.0800.0080.0540.002工業(yè)0.1710.5120.5020.2570.2380.226建筑業(yè)0.0020.0010.0010.0130.0100.023運(yùn)輸郵電0.0210.0310.0450.1040.0290.027批零餐飲0.0270.0450.0490.0270.0560.050其他服務(wù)0.0500.0760.0950.1430.0940.100一個部門的單位產(chǎn)出對各個部門的直接消耗中國2002年直接消耗系數(shù)表

由投入產(chǎn)出表直接得到農(nóng)業(yè)每1億元產(chǎn)出直接消耗0.159億元農(nóng)業(yè)產(chǎn)品

直接消耗0.171億元工業(yè)產(chǎn)品反映國民經(jīng)濟(jì)各個部門之間的投入產(chǎn)出關(guān)系第四頁，共四十四頁，2022年，8月28日投入產(chǎn)出的數(shù)學(xué)模型

xi~第i部門的總產(chǎn)出di~對第i部門的外部需求xij~第i部門對第j部門的投入aij~直接消耗系數(shù)——第j部門單位產(chǎn)出對第i部門的直接消耗xij~第j部門總產(chǎn)出對第i部門的直接消耗每個部門的總產(chǎn)出等于總投入xj~第j部門的總投入設(shè)共有n個部門第五頁，共四十四頁，2022年，8月28日技術(shù)水平?jīng)]有明顯提高模型應(yīng)用

假設(shè)直接消耗系數(shù)不變

問題1

如果某年對農(nóng)業(yè)、工業(yè)、建筑業(yè)、運(yùn)輸郵電、批零餐飲和其他服務(wù)的外部需求分別為1500,4200,3000,500,950,3000億元,問這6個部門的總產(chǎn)出分別應(yīng)為多少？d=(1500,4200,3000,500,950,3000)T

A由直接消耗系數(shù)表給出6個部門的總產(chǎn)出x=(3277,17872,3210,1672,2478,5888)（億元）.求解第六頁，共四十四頁，2022年，8月28日模型應(yīng)用

總產(chǎn)出對外部需求線性Δd~d增加1個單位

x的增量若農(nóng)業(yè)的外部需求增加1單位Δx為

的第1列

6個部門的總產(chǎn)出分別增加1.2266，0.5624，0.0075，0.0549，0.0709，0.1325單位.

問題2如果6個部門的外部需求分別增加1個單位,問它們的總產(chǎn)出應(yīng)分別增加多少？求解其余外部需求增加1單位Δx為

的其余各列

第七頁，共四十四頁，2022年，8月28日6.2CT技術(shù)的圖像重建CT(計算機(jī)斷層成像)技術(shù)是20世紀(jì)50至70年代由美國科學(xué)家科馬克和英國科學(xué)家豪斯費(fèi)爾德發(fā)明的.1971年第一代供臨床應(yīng)用的CT設(shè)備問世.

螺旋式CT機(jī)等新型設(shè)備被醫(yī)療機(jī)構(gòu)普遍采用.CT技術(shù)在工業(yè)無損探測、資源勘探、生態(tài)監(jiān)測等領(lǐng)域也得到了廣泛的應(yīng)用.背景什么是CT，它與傳統(tǒng)的X射線成像有什么區(qū)別？第八頁，共四十四頁，2022年，8月28日光源人眼光源人眼一個半透明物體嵌入5個不同透明度的球概念圖示單方向觀察無法確定球的數(shù)目和透明度讓物體旋轉(zhuǎn)從多角度觀察能分辨出5個球及各自的透明度人體內(nèi)臟膠片傳統(tǒng)的X射線成像原理CT技術(shù)原理探測器X射線X光管人體內(nèi)臟CT技術(shù):在不同深度的斷面上,從各個角度用探測器接收旋轉(zhuǎn)的X光管發(fā)出、穿過人體而使強(qiáng)度衰減的射線;經(jīng)過測量和計算將人體器官和組織的影像重新構(gòu)建.圖像重建

第九頁，共四十四頁，2022年，8月28日X射線強(qiáng)度衰減與圖像重建的數(shù)學(xué)原理

射線強(qiáng)度的衰減率與強(qiáng)度成正比.I~射線強(qiáng)度l~物質(zhì)在射線方向的厚度μ~物質(zhì)對射線的衰減系數(shù)I0~入射強(qiáng)度

射線沿直線L穿行,穿過由不同衰減系數(shù)的物質(zhì)組成的非均勻物體(人體器官).I0LOyxμ(x,y)第十頁，共四十四頁，2022年，8月28日X射線強(qiáng)度衰減與圖像重建的數(shù)學(xué)原理

右端數(shù)值可從CT的測量數(shù)據(jù)得到多條直線L的線積分被積函數(shù)μ(x,y)FQ(q)~與Q相距q的直線L的線積分Pf(L)對所有q的平均值

拉東變換拉東逆變換圖像重建反映人體器官大小、形狀、密度的圖像數(shù)學(xué)原理實(shí)際上只能在有限條直線上得到投影(線積分).圖像重建在數(shù)學(xué)方法上的進(jìn)展，為CT技術(shù)在各個領(lǐng)域成功的和不斷拓廣的應(yīng)用提供了必要條件.第十一頁，共四十四頁，2022年，8月28日圖像重建的代數(shù)模型

Δlj每個像素對射線的衰減系數(shù)是常數(shù)m個像素(j=1,…,m),n束射線(i=1,…,n)~Li的強(qiáng)度測量數(shù)據(jù)μj~像素j的衰減系數(shù)

Δlj~射線在像素j中的穿行長度

J(Li)~射線Li穿過的像素j的集合

像素j

射線Li第十二頁，共四十四頁，2022年，8月28日σjLiσlij圖像重建的代數(shù)模型

常用算法設(shè)像素的邊長和射線的寬度均為σ中心線法aij~射線Li的中心線在像素j內(nèi)的長度lij與σ之比.面積法aij~射線Li的中心線在像素j內(nèi)的面積sij與σ之比.sij中心法aij=1~射線Li經(jīng)過像素j的中心點(diǎn).第十三頁，共四十四頁，2022年，8月28日圖像重建的代數(shù)模型

中心法的簡化形式假定射線的寬度為零,間距σaij=1~Li經(jīng)過像素j內(nèi)任一點(diǎn)987654321L4L8L7L6L5L3L2L1σ根據(jù)A和b,由確定像素的衰減系數(shù)向量x

m和n很大且m>n,方程有無窮多解+測量誤差和噪聲在x和e滿足的最優(yōu)準(zhǔn)則下估計x

代數(shù)重建技術(shù)(ART)第十四頁，共四十四頁，2022年，8月28日6.3

原子彈爆炸的能量估計與量綱分析1945年7月16日美國科學(xué)家在新墨西哥州的阿拉莫戈多沙漠試爆了全球第一顆原子彈,震驚世界!當(dāng)時資料是保密的,無法準(zhǔn)確估計爆炸的威力.英國物理學(xué)家泰勒研究了兩年后美國公開的錄像帶,利用數(shù)學(xué)模型估計這次爆炸釋放的能量為19.2×103t.

后來公布爆炸實(shí)際釋放的能量為21×103t

第十五頁，共四十四頁，2022年，8月28日t(ms)r(m)t(ms)r(m)t(ms)r(m)t(ms)r(m)t(ms)r(m)0.1011.10.8034.21.5044.43.5361.115.0106.50.2419.90.9436.31.6546.03.8062.925.0130.00.3825.41.0838.91.7946.94.0764.334.0145.00.5228.81.2241.01.9348.74.3465.653.0175.00.6631.91.3642.83.2659.04.6167.362.0185.0泰勒測量：時刻t

所對應(yīng)的“蘑菇云”的半徑r原子彈爆炸的能量估計爆炸產(chǎn)生的沖擊波以爆炸點(diǎn)為中心呈球面向四周傳播,爆炸的能量越大，在一定時刻沖擊波傳播得越遠(yuǎn).沖擊波由爆炸形成的“蘑菇云”反映出來.泰勒用量綱分析方法建立數(shù)學(xué)模型,輔以小型試驗(yàn),又利用測量數(shù)據(jù)對爆炸的能量進(jìn)行估計.第十六頁，共四十四頁，2022年，8月28日物理量的量綱長度

l的量綱記L=[l]質(zhì)量

m的量綱記M=[m]時間t

的量綱記T=[t]動力學(xué)中基本量綱

L,M,T速度v的量綱[v]=LT-1導(dǎo)出量綱加速度a

的量綱[a]=LT-2力f

的量綱[f]=LMT-2引力常數(shù)

k

的量綱[k]對無量綱量，[]=1(=L0M0T0)量綱齊次原則=[f][l]2[m]-2=L3M-1T-2在經(jīng)驗(yàn)和實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上利用物理定律的量綱齊次原則,確定各物理量之間的關(guān)系.第十七頁，共四十四頁，2022年，8月28日量綱齊次原則等式兩端的量綱一致量綱分析~利用量綱齊次原則尋求物理量之間的關(guān)系.例：單擺運(yùn)動lmgm求擺動周期t

的表達(dá)式設(shè)物理量t,m,l,g

之間有關(guān)系式1,2,3

為待定系數(shù)，為無量綱量(1)的量綱表達(dá)式與對比第十八頁，共四十四頁，2022年，8月28日對x,y,z的兩組測量值x1,y1,z1

和x2,y2,z2,

p1=f(x1,y1,z1),p2=f(x2,y2,z2)為什么假設(shè)這種形式?設(shè)p=f(x,y,z)x,y,z的量綱單位縮小a,b,c倍p=f(x,y,z)的形式為量綱齊次原則單擺運(yùn)動第十九頁，共四十四頁，2022年，8月28日單擺運(yùn)動中t,m,l,g

的一般表達(dá)式y(tǒng)1~y4為待定常數(shù),為無量綱量基本解第二十頁，共四十四頁，2022年，8月28日設(shè)f(q1,q2,,qm)=0

ys

=(ys1,ys2,…,ysm)T,s=1,2,…,m-rF(

1,

2,…,

m-r)=0

與

f(q1,q2,,qm)=0

等價,F未定.

定理(Buckingham)是與量綱單位無關(guān)的物理定律，X1,X2,,Xn

是基本量綱,nm,q1,q2,,qm

的量綱可表為量綱矩陣記作線性齊次方程組有m-r

個基本解，記作為m-r

個相互獨(dú)立的無量綱量,且則第二十一頁，共四十四頁，2022年，8月28日記爆炸能量為E，將“蘑菇云”近似看成一個球形.時刻

t

球的半徑為

rt,E空氣密度ρ,大氣壓強(qiáng)P基本量綱：L,M,T

原子彈爆炸能量估計的量綱分析方法建模

r與哪些因素有關(guān)？

rt

E

ρ

P

LMT量綱矩陣

第二十二頁，共四十四頁，2022年，8月28日y=(1,-2/5,-1/5,1/5,0)

y=(0,6/5,-2/5,-3/5,1)T原子彈爆炸能量估計的量綱分析方法建模

有2個基本解兩個無量綱量第二十三頁，共四十四頁，2022年，8月28日原子彈爆炸能量估計的數(shù)值計算時間t非常短能量E

非常大泰勒根據(jù)一些小型爆炸試驗(yàn)的數(shù)據(jù)建議用r,t

的實(shí)際數(shù)據(jù)做平均空氣密度=1.25(kg/m3)1×103t(TNT能量)=4.184×1012J

E=19.7957(×103t)E=8.2825×1013(J)實(shí)際值21×103t第二十四頁，共四十四頁，2022年，8月28日泰勒的計算tr最小二乘法擬合r=atbE=8.0276×1013

(J),即19.2×103t取y平均值得c=6.9038模型檢驗(yàn)b=0.4058~2/5第二十五頁，共四十四頁，2022年，8月28日量綱分析法的評注

物理量的選取

基本量綱的選取

基本解的構(gòu)造

結(jié)果的局限性(…)=0中包括哪些物理量是至關(guān)重要的.基本量綱個數(shù)n;選哪些基本量綱.有目的地構(gòu)造Ay=0的基本解.

方法的普適性函數(shù)F和無量綱量未定.不需要特定的專業(yè)知識.第二十六頁，共四十四頁，2022年，8月28日物理模擬示例：波浪對航船的阻力航船阻力f航船速度v,船體尺寸l,浸沒面積s,海水密度,重力加速度g.量綱分析在物理模擬中的應(yīng)用物理模擬:按照一定的比例尺寸構(gòu)造它的物理模型,通過對模型的研究得出原型的結(jié)果.量綱分析可以指導(dǎo)物理模擬中比例尺寸的確定.第二十七頁，共四十四頁，2022年，8月28日物理模擬示例：波浪對航船的阻力π定理原型船模型船

模型船的均已知當(dāng)原型船的給定后計算f物理模擬第二十八頁，共四十四頁，2022年，8月28日物理模擬示例：波浪對航船的阻力原型船模型船模擬條件量測模型船阻力f'，可計算f.

按一定尺寸比例建造模型船,并調(diào)節(jié)船速.第二十九頁，共四十四頁，2022年，8月28日無量綱化示例：火箭發(fā)射m1m2xrv0g星球表面豎直發(fā)射火箭.初速v,星球半徑r,星球表面重力加速度g.研究火箭高度x隨時間t

的變化規(guī)律.t=0時x=0,火箭質(zhì)量m1,星球質(zhì)量m2牛頓第二定律，萬有引力定律——3個獨(dú)立參數(shù)第三十頁，共四十四頁，2022年，8月28日用無量綱化方法減少獨(dú)立參數(shù)個數(shù)[x]=L,[t]=T,[r]=L,[v]=LT-1,[g]=LT-2變量x,t和獨(dú)立參數(shù)r,v,g的量綱用參數(shù)r,v,g的組合,分別構(gòu)造與x,t具有相同量綱的xc,tc

（特征尺度）—無量綱變量如利用新變量將被簡化令第三十一頁，共四十四頁，2022年，8月28日

xc,tc的不同構(gòu)造1）令為無量綱量用無量綱化方法減少獨(dú)立參數(shù)個數(shù)的不同簡化結(jié)果第三十二頁，共四十四頁，2022年，8月28日3）令為無量綱量2）令為無量綱量用無量綱化方法減少獨(dú)立參數(shù)個數(shù)第三十三頁，共四十四頁，2022年，8月28日1)2)3)的共同點(diǎn)只含1個參數(shù)——無量綱量解1)2)3)的重要差別考察無量綱量在1)2)3)中能否忽略以為因子的項(xiàng)？1)忽略項(xiàng)無解不能忽略項(xiàng)無量綱化方法第三十四頁，共四十四頁，2022年，8月28日2)3)忽略項(xiàng)不能忽略項(xiàng)忽略項(xiàng)1)2)3)的重要差別無量綱化方法第三十五頁，共四十四頁，2022年，8月28日火箭發(fā)射過程中引力m1g不變即x+rr原問題可以忽略項(xiàng)是原問題的近似解1)2)3)的重要差別無量綱化方法第三十六頁，共四十四頁，2022年，8月28日為什么3)能忽略項(xiàng)，得到原問題近似解，而1)2)不能?1）令2）令3）令火箭到達(dá)最高點(diǎn)時間為v/g,高度為v2/2g,大體上具有單位尺度項(xiàng)可以忽略項(xiàng)不能忽略無量綱化方法第三十七頁，共四十四頁，2022年，8月28日

選擇特征尺度的一般討論見：林家翹著《自然科學(xué)中確定性問題的應(yīng)用數(shù)學(xué)》無量綱化

無量綱化是研究物理問題常用的數(shù)學(xué)方法.

選擇特征尺度主要依賴于物理知識和經(jīng)驗(yàn).

恰當(dāng)?shù)剡x擇特征尺度可以減少獨(dú)立參數(shù)個數(shù)，還可以輔助確定舍棄哪些次要因素.第三十八頁，共四十四頁，2022年，8月28日6.4市場經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型問題供大于求現(xiàn)象

商品數(shù)量與價格的振蕩在什么條件下趨向穩(wěn)定?

當(dāng)不穩(wěn)定時政府能采取什么干預(yù)手段使之穩(wěn)定?價格下降減少產(chǎn)量增加產(chǎn)量價格上漲供不應(yīng)求

描述商品數(shù)量與價格的變化規(guī)律.商品數(shù)量與價格在振蕩第三十九頁，