弧度制課件-高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊

任意角和弧度制環(huán)節(jié)二弧度制創(chuàng)設(shè)情境問題1我們知道，度量長度可以用米、英尺、碼等不同的單位制，你還知道哪些量有不同的度量制？舉例說明．你認(rèn)為度量同一種量為什么存在不同的單位制？答案：比如，度量重量可以用千克、斤、磅等不同的單位制，度量體積可以用立方米、升等不同的單位制．不同的單位制能給解決問題帶來方便．新知探究1．引入弧度制的必要性問題2目前我們是用角度制度量角，它是六十進制，用它表示角有什么不方便之處呢？答案：（教師講解）第一，為了三角函數(shù)定義的需要．我們知道，函數(shù)是兩個實數(shù)集之間的對應(yīng)關(guān)系，實數(shù)采用的的進位制是十進制．為了研究周期性變化規(guī)律，我們需要建立任意角三角函數(shù)．若沿用銳角三角函數(shù)定義，角的度量采用六十進制的角度制，則與函數(shù)定義的要求不符．因此，我們需要引入新的度量制，它必須是十進制，它的單位應(yīng)與實數(shù)的單位一致，從而使三角函數(shù)的自變量和函數(shù)值都是實數(shù)．新知探究1．引入弧度制的必要性第二，如果三角函數(shù)的自變量和函數(shù)值的度量單位不統(tǒng)一，會給后續(xù)的研究帶來很多麻煩．比如，在解決實際問題中，有時需要同時應(yīng)用幾類不同類型的函數(shù)，有時需要自變量的值和函數(shù)值的運算，比如f(x)=xsinx，如果只有角度制，解釋xsinx的意義就比較復(fù)雜了．新知探究2．引入弧度制問題3度量角除了角度制，在數(shù)學(xué)和其他學(xué)科研究中經(jīng)常采用另一種度量角的單位制——弧度制，那么它是如何度量角的呢？

追問1如圖，射線OA繞端點O旋轉(zhuǎn)到OB形成角α．在旋轉(zhuǎn)過程中，射線OA上的點P（不同于點O）的軌跡是一條圓弧，這條圓弧對應(yīng)于圓心角α．設(shè)α=n°，OP=r，點P所形成的圓弧的長為l．回憶初中所學(xué)知識，弧長l如何用圓心角α來表示？答案：

．新知探究2．引入弧度制答案：

；圓心角α所對的弧長與半徑的比值，與半徑的大小無關(guān)，只與α的大小有關(guān)，也就是說，這個比值隨α的確定而唯一確定．因此可以利用圓的弧長和半徑的比值度量圓心角．追問2

如圖，在射線OA上任取一點Q（不同于點O和P），OQ=r1．在旋轉(zhuǎn)過程中，點Q所形成的的圓弧

的長為l1，那么l1與r1的比值是多少？你能得出什么結(jié)論？新知探究追問3

結(jié)合上面的探索過程，閱讀教科書，請你試著說一說什么是1弧度的角？答案：我們規(guī)定：長度等于半徑的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度單位用符號rad表示，讀作弧度．2．引入弧度制新知探究追問4

（1）我們把半徑為1的圓叫做單位圓．既然角的大小與半徑無關(guān)，那么在單位圓中如何確定1rad的角呢？2．引入弧度制答案：單位圓中長度為1的弧所對的圓心角就是1rad（如圖）；在半徑為r的圓中

；類比角度制，α的弧度數(shù)正負(fù)由角α的終邊的旋轉(zhuǎn)方向決定．（2）在半徑為r的圓中，弧長為l的弧所對的圓心角α的弧度數(shù)是多少？（3）角有正、負(fù)、零角之分，它的弧度數(shù)呢？新知探究2．引入弧度制追問5

請你說說弧度制與角度制有哪些不同點和相同點？答案：第一，弧度制以線段長度來度量角，角度制是“以角量角”；第二，弧度制是十進制，角度制是六十進制；

第四，無論是弧度制還是角度制，角的大小都是一個與半徑大小無關(guān)的定值，等等．第三，1弧度是等于半徑長的弧所對的圓心角的大小，而1°的角是周角的

；新知探究3．角度制與弧度制的換算問題4

既然角度制、弧度制都是角的度量制，那么，它們之間應(yīng)該可以換算，如何換算呢？你認(rèn)為在換算的過程中最為關(guān)鍵的是什么？答案：關(guān)鍵是找到聯(lián)系兩種度量制的橋梁：360°=2πrad，即180°=πrad，然后將其單位化，即

，

．新知探究例1

按照下列要求，把67°30′化成弧度：（1）精確值；（2）精確到0.001的近似值．3．角度制與弧度制的換算解：（1）因為67°30′=

，所以67°30′=

．因此，67°30′≈1.178rad．1.178097245．（2）利用計算器有新知探究3．角度制與弧度制的換算例2

將3.14rad換算成角度（用度數(shù)表示）：（1）精確值；（2）精確到0.001的近似值．解：（1）因為3.14rad=

．（2）利用計算器有179.9087477．因此，3.14rad≈179.909°．新知探究追問如何完成角度與弧度之間的互化？3．角度制與弧度制的換算答案：角度轉(zhuǎn)化弧度時，需要把含分或秒的角度統(tǒng)一為度的單位，然后再利用換算公式

將其化為弧度；弧度轉(zhuǎn)化角度時，直接利用換算公式

將其化為角度．也可用計算器完成弧度制與角度制換算的近似值．新知探究3．角度制與弧度制的換算練習(xí)填寫特殊角的角度數(shù)與弧度數(shù)的對應(yīng)表．度0°30°45°

120°135°150°

360°弧度

π

02π270°180°90°60°新知探究追問角的概念推廣后，在弧度制下，角的集合與實數(shù)集之間建立了怎樣的對應(yīng)關(guān)系？3．角度制與弧度制的換算答案：角的概念推廣后，在弧度制下，角的集合與實數(shù)集R之間建立起一一對應(yīng)的關(guān)系．新知探究3．角度制與弧度制的換算例3利用弧度制證明下列關(guān)于扇形的公式：（1）l=αR；（2）S=

αR2；（3）S=

lR．其中R是圓的半徑，α（0<α<π）為圓心角，l是扇形的弧長，S是扇形的面積．（2）由于半徑為R，圓心角為n°的扇形的弧長公式和面積公式分別是

，

，

將n°轉(zhuǎn)換為弧度，得

，于是S=

αR2．將l=αR代入上式，即得S=

lR．證明：（1）由公式|α|=

可得l=αR．歸納小結(jié)問題5（1）本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了用弧度制度量角，你能說說為什么要引入弧度制，為什么這樣定義弧度制是合理的？歸納總結(jié)（2）如何完成弧度制和角度制的互化？在度量角的時候需要注意哪些問題？（3）在弧度制下，扇形的弧長公式和面積公式分別是什么？通過與角度制下的公式對比，你發(fā)現(xiàn)弧度制度量角有什么好處？為什么會出現(xiàn)這種情況？（4）你能畫一個知識結(jié)構(gòu)圖來反映本單元的研究內(nèi)容與路徑嗎？歸納小結(jié)歸納總結(jié)答案：（1）第一，為了三角函數(shù)定義的需要．第二，為了將三角函數(shù)的自變量和函數(shù)值的度量單位統(tǒng)一，給后續(xù)的研究帶來方便．圓心角α所對的弧長與半徑的比值隨α的確定而唯一確定，因此，利用圓的弧長與半徑的關(guān)系度量圓心角的是合理的；（2）利用角度制與弧度制的換算公式完成換算，也可以利用計算器完成換算的近似值．在度量角的時候需要注意：防止出現(xiàn)角的兩種度量制混用的現(xiàn)象；歸納小結(jié)歸納總結(jié)答案：（3）在弧度制下，扇形的弧長公式和面積公式分別是l=αR，S=

αR2，S=