近代光信息處理第1章傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)課件

第一章傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)1/17/20231光學(xué)信息處理第一章傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)1．1二維傅里葉分析1．2空間帶寬積和測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系式1．3平面波的角譜和角譜的衍射1．4透鏡系統(tǒng)的傅里葉變換性質(zhì)1/17/20232光學(xué)信息處理1.1二維傅里葉分析1.1.1定義及存在條件復(fù)變函數(shù)器g(x,y)的傅里葉變換可表為

G(u,v)

=F{g(x,y)}=∞-∞g(x,y)exp[-i2(ux+vy)]dxdy(1)稱(chēng)g(x,y)為原函數(shù)，G(u,v)為變換函數(shù)或像函數(shù)。(1)式的逆變換為

g(x,y)

=F-1{G(u,v)

}=∞-∞G(u,v)exp[i2(ux+vy)]dudv

(2)1/17/20233光學(xué)信息處理1.1.2δ函數(shù)的傅里葉變換由δ函數(shù)的定義容易得到δ(x-xo,y-yo)

exp[-i2(uxo+vyo)](3)當(dāng)xo=0，yo=0時(shí)得到δ(x,y)

1

(4)上式的物理意義表示點(diǎn)源函數(shù)具有權(quán)重為l的最豐富的頻譜分量．因此光學(xué)中常用點(diǎn)光源來(lái)檢測(cè)系統(tǒng)的響應(yīng)特性，即脈沖響應(yīng)．(3)式還可表為,δ(x-xo,y-yo)=∞-∞exp{-i2[u(x-xo)+v(y-yo)]}dudv它正是δ函數(shù)的積分表達(dá)式．根據(jù)δ函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的定義

∞-∞δ(n)(x)g(x)dx=(-1)ng(n)(0)(6)得到δ(k,l)(x,y)的傅里葉變換δ(k,l)(x,y)=k+lδ(x,y)/xkyl

)

(i2u)k(i2v)l

(7)1/17/20235光學(xué)信息處理1.1.3傅里葉變換的基本性質(zhì)(1)線性(linearity)Ag(x,y)+Bh(x,y)AG(u,v)+BH(u,v)(8)(2)縮放及反演(scalingandinversion)g(ax,by)

G(u/a,v/b)/|ab|(9)上式表明空域信號(hào)的展寬將引起頻域信號(hào)的壓縮.特別是當(dāng)a=b=-1時(shí)，得到反演的變換性質(zhì)：g(-x,-y)

G(-u,-v)(10)(3)位移(shift)g(x+xo,y+yo)

exp[i2(uxo+vyo)]G(u,v)(11)上式表示原函數(shù)的位移引起變換函數(shù)的相移.(4)共扼(conjugation)g*(x,y)

G*(-u,-v)(12)1/17/20236光學(xué)信息處理(5)卷積(convo1ution)g(x,y)和h(x,y)的卷積定義：g(x,y)h(x,y)=∞-∞g(,)h(x-,y-)dd易證明:g(x,y)h(x,y)

G(u,v)H(u,v)

δ函數(shù)的卷積有特殊的性質(zhì)：g(x)δ(x-xo)=g(x-xo)(15)g(x,y)δ(k,l)(x,y)=g(k,l)(x,y)(16)(6)導(dǎo)數(shù)的變換公式可由(7)式導(dǎo)出g(k,l)(x,y)(i2u)k(i2v)l

G(u,v)(17)1/17/20237光學(xué)信息處理(8)矩(moment)g(x,y)的(k,l)階矩定義為

Mk,l=∞-∞g(x,y)xkyldxdy(22)將逆變換表達(dá)式(2)代入上式，得到Mk,l=∞-∞G(u,v)dudv∞-∞xkylexp[i2(ux+vy)]dxdy由δ函數(shù)導(dǎo)數(shù)的變換表達(dá)式(7)，上式內(nèi)部的積分

∞-∞xkylexp[i2(ux+vy)]dxdy=(i2)-k-lδ(k,l)(u,v)矩的表達(dá)式

Mk,l=(-i2)-k-lG(k,l)(0,0)1/17/20239光學(xué)信息處理(9)Parseval定理g(x,y)h(x,y)

G*(u,v)H(u,v)式可用逆變換表達(dá)式改寫(xiě)為∞-∞g(,

)h(x+,y+)dd

=∞-∞G*(u,v)H(u,v)exp[i2(ux+vy)]dudv

令x=y=0，上式為

∞-∞g(,)h(,)dd=∞-∞G*(u,v)H(u,v)dudv這一關(guān)系式稱(chēng)為Parseval定理．當(dāng)h=g時(shí)，上式化為

∞-∞g(,)2dd=∞-∞G(u,v)2dudv該式又稱(chēng)完備關(guān)系式，實(shí)際上是能量守恒定律在空域和頻域中表達(dá)式一致性的表現(xiàn)．1/17/202310光學(xué)信息處理1.1.4特殊函數(shù)及其傅里葉變換1、rect(x)，(x)及sinc(x)函數(shù)定義(1)rect(x)函數(shù)rect(x)=1，|x|?rect(x)=0，其他(2)(x)函數(shù)(x)=1-|x|，|x|1(x)=0，其他(3)sinc(x)函數(shù)sinc(x)=(sinx)/x?-?11-11/17/202311光學(xué)信息處理1.1.4特殊函數(shù)及其傅里葉變換2、符號(hào)函數(shù)sgn(x)和階躍函數(shù)step(x)符號(hào)函數(shù)sgn(x)定義

sgn(x)=1，x>0sgn(x)=0，x=0sgn(x)=-1，x<0階躍函數(shù)step(x)定義step(x)=1，x>0step(x)=0，x<0oo1/17/202313光學(xué)信息處理1.1.4特殊函數(shù)及其傅里葉變換sgn(x)函數(shù)和step(x)函數(shù)傅里葉變換傅里葉變換為sgn(x)

1/(iu)step(x)=sgn(x)/2+1/2

1/(i2u)+(u)/2

利用step(x)的變換式及卷積定理，可求出積分x-∞g()d的變換：x-∞g(

)d=∞-∞g()step(x-)d=g(x)step(x)

G(u)[1/i2u+(u)/2]1/17/202314光學(xué)信息處理1.1.4特殊函數(shù)及其傅里葉變換3、周期函數(shù)設(shè)函數(shù)g(x)可展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)

g(x)=∞-∞Cnexp(i2nfox)(38)式中Cn=(1/X)X/2-X/2g(x)exp(-i2nfox)dx周期X=1/fo．對(duì)(38)式兩邊取傅氏變換得

G(u)=∞-∞Cn(u-nfo)(40)推導(dǎo)中用到積分變換式：(u-nfo)exp(i2nfox)．1/17/202315光學(xué)信息處理1.1.4特殊函數(shù)及其傅里葉變換4、函數(shù)comb(x)設(shè)X為實(shí)數(shù)常數(shù)，則有(1/X)g(x)comb(x/X)=(1/X)∞-∞g()comb[(x-)/X]d=(1/X)∞-∞g()∞-∞[(x-)/X-

n]d

=∞-∞

∞-∞g[X(/X)][x/X-/X-n]d(/X)=∞-∞g[X(x/X-n]=∞-∞g(x

-nX)(44)結(jié)果得到了以nX(n=0，±1，±2，…)為中心的一系列重復(fù)出現(xiàn)的波形g(x

-nX)，這一現(xiàn)象稱(chēng)為“復(fù)現(xiàn)”．

1/17/202317光學(xué)信息處理1.1.4特殊函數(shù)及其傅里葉變換4、函數(shù)comb(x)gs(x)=g(x)comb(x/X)

=g(x)∞-∞(x/X-n)

=∞-∞g(nX)(x-nX)gs稱(chēng)g的抽樣函數(shù)，X為抽樣間隙，xn=nX稱(chēng)樣點(diǎn)，g(xn)稱(chēng)樣值．所以g(x)的抽樣函數(shù)gs(x)是以樣值為權(quán)重的函數(shù)序列．1/17/202318光學(xué)信息處理1.1.5功率譜與空間自相關(guān)函數(shù)由Parseval定理∞-∞g(x,y)2dxdy=∞-∞G(u,v)2dudv

g(x,y)為光場(chǎng)的復(fù)振幅分布，g(x,y)2代表光強(qiáng)分布，G(u,v)2則表示單位頻率間隔的光能量，稱(chēng)為功率譜，用s(u,v)表示為s(u,v)=G(u,v)2(46)根據(jù)變換定理，我們得到g(x,y)g(x,y)∣G(u,v)∣2=

s(u,v)(47)1/17/202319光學(xué)信息處理1.2空間帶寬積和測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系式1.2.1空間帶寬積與自由度如果信號(hào)g在頻域內(nèi)不為零的分量限制在某一區(qū)域內(nèi)，則稱(chēng)為“帶限函數(shù)”。1、Whittaker-Shannon抽樣定律：帶限函數(shù)g(x,y)被它的抽樣值的無(wú)窮集合{gmn=g(m/u,n/v)}完全確定，式中u，v是頻帶的寬度，m,n=0,±l,±2,…。1/17/202321光學(xué)信息處理2、空間帶寬積與自由度傅氏變換及解析函數(shù)的一般理論告訴我們：

頻域內(nèi)的帶限函數(shù)，在空域內(nèi)必然擴(kuò)展到全平面，因?yàn)閹藓瘮?shù)的傅里葉變換是一個(gè)解析函數(shù)，它不可能在一個(gè)有限的區(qū)域內(nèi)處處為零，否則通過(guò)解析開(kāi)拓就可以證明這個(gè)函數(shù)在全平面內(nèi)處處為零．1.2.1空間帶寬積與自由度1/17/202322光學(xué)信息處理1.2.1空間帶寬積與自由度2、自由度實(shí)際信號(hào)測(cè)量系統(tǒng)的輸入平面總是有限制的，設(shè)信號(hào)被限制在r[-x/2,

x/2,-y/2,

y/2]矩形區(qū)域內(nèi)，又設(shè)系統(tǒng)的帶寬u，v與抽樣間隙X，Y滿足倒數(shù)的關(guān)系，則在r

內(nèi)共有抽樣點(diǎn)N個(gè)，

N

=xy/XY=xyuv=SW(1)式中S=xy,W=uv

。SW稱(chēng)空間帶寬積，是評(píng)價(jià)系統(tǒng)性能的重要參數(shù)，(1)式指出通過(guò)系統(tǒng)的樣點(diǎn)數(shù)等于空間帶寬積．1/17/202323光學(xué)信息處理

如果系統(tǒng)的輸入端面的尺寸小于r，則自由度數(shù)將小于N．所以空間帶寬積與其說(shuō)是信號(hào)的特征，還不如說(shuō)是系統(tǒng)的特征，因?yàn)橄到y(tǒng)有限的空域和頻域尺寸限制了通過(guò)它的信息量．

例如對(duì)于一個(gè)成像系統(tǒng)，限制空域尺寸的是視場(chǎng)光闌的大小，限制頻域尺寸的是孔徑光闌的大小。顯然視場(chǎng)越大、孔徑越大的系統(tǒng)能傳遞更多的信息．1/17/202325光學(xué)信息處理1.2.2系統(tǒng)的分辨率考慮一個(gè)低通濾波性能的系統(tǒng)的分辨率，即輸入平面上能被系統(tǒng)分辨開(kāi)來(lái)的兩個(gè)點(diǎn)的最小間距(最小分辨長(zhǎng)度)的倒數(shù)。由抽樣定理可知，對(duì)任意輸入信號(hào)g(x,y)來(lái)講，由于系統(tǒng)頻率響應(yīng)特性的限制，其效果都是帶限的，因此可以用抽樣函數(shù)gs(x,y)來(lái)代替它。只要抽樣點(diǎn)充分稠密，即條件X≤1/u，Y≤1/v

(4)滿足時(shí)，對(duì)于系統(tǒng)輸出端而言，gs和g等價(jià)，在輸出端并不能覺(jué)察出gs的周期結(jié)構(gòu)，或者說(shuō)gs包含的脈沖是不可分辨的。1/17/202326光學(xué)信息處理1.2.2系統(tǒng)的分辨率當(dāng)條件(4)不滿足時(shí)，gs和g對(duì)于輸出端不再等價(jià)，從而在輸出端就能覺(jué)察出gs的周期結(jié)構(gòu)，或者講gs中兩個(gè)相鄰脈沖能夠被系統(tǒng)分辨開(kāi)來(lái)。這樣，系統(tǒng)的最小分辨長(zhǎng)度x和y應(yīng)當(dāng)與(4)式表示的X，Y同數(shù)量級(jí)，從而與帶寬成反比：

x1/u，y1/v(5)最小分辨長(zhǎng)度與空間帶寬積的關(guān)系為

xyx

y/SW(6)可見(jiàn)在給定輸入端面尺寸x，y后，SW越大，最小分辨長(zhǎng)度就越小，系統(tǒng)的分辨率就越高，測(cè)量過(guò)程的失真越小。1/17/202327光學(xué)信息處理意義：如一個(gè)矩形高度等于G(0)，面積與曲線G(u)下的面積相同，則它的寬度為，又稱(chēng)為“等效帶寬”。等效帶寬

Goodman提出了等效帶寬的概念，它是頻譜曲線展寬程度的某種度量，G(u)越寬，越大，因而常用來(lái)評(píng)價(jià)系統(tǒng)的性能。G(u)1/17/202329光學(xué)信息處理

將(11)、(12)交叉相除得到(13)由于可表征信號(hào)在空域的展寬或彌散，上式意味著信號(hào)在空域和頻域中的展寬是互相制約的．假設(shè)要對(duì)信號(hào)進(jìn)行長(zhǎng)度或位置測(cè)量，測(cè)量系統(tǒng)可看成是對(duì)被測(cè)對(duì)象的一個(gè)變換，在位置測(cè)量時(shí)必須使系統(tǒng)首先“對(duì)準(zhǔn)”空間的一個(gè)定點(diǎn)或長(zhǎng)度的一個(gè)端點(diǎn)，該點(diǎn)可以用函數(shù)表示，它就是系統(tǒng)的輸入，而輸出恰恰就是系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)h。必須指出，通過(guò)測(cè)量我們只能獲得h所包含的信息，我們永遠(yuǎn)無(wú)法直接得到被測(cè)點(diǎn)本身．1/17/202330光學(xué)信息處理所有測(cè)量系統(tǒng)的等效帶寬都是有限的，從而函數(shù)的脈沖響應(yīng)h就有一定的彌散，它表征了對(duì)準(zhǔn)誤差，因而也就是系統(tǒng)空間分辨率大小的度量．注意到取決于整個(gè)頻譜函數(shù)G(u)，因此兩個(gè)系統(tǒng)即使有等同的截止頻率，由于G(u)不相同，也會(huì)得到不同的等效帶寬，因而也不一致．一般來(lái)講，越大，頻響特性就越好，脈沖響應(yīng)的彌散就越?。捎?∞的系統(tǒng)不存在，所以永遠(yuǎn)不等于0．在這個(gè)意義上講，測(cè)量永遠(yuǎn)都不是絕對(duì)準(zhǔn)確的，(13)式稱(chēng)為光學(xué)系統(tǒng)的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系，它與量子力學(xué)中的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系實(shí)質(zhì)上一致．1/17/202331光學(xué)信息處理1.2.4廣義測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系(x)2(u)2≥1/162或xu≥1/4(18)1/17/202332光學(xué)信息處理1.3平面波的角譜和角譜的衍射從變換光學(xué)入手來(lái)討論衍射效應(yīng)．1.3.1角譜設(shè)單色光波沿z方向傳播，照射到xy平面上，在xy平面上的光場(chǎng)復(fù)振幅分布用函數(shù)(x,y,0)=(x,y)=∞-∞A(u,v)exp[i2(ux+vy)]dudv

(1)一個(gè)波矢量為k的平面波o(x,y,z)=A(u,v,z)exp(ik·r)=A(u,v,z)exp[i2(x+y+z)/]其中,和是k的方向余弦．1/17/202333光學(xué)信息處理1.3平面波的角譜和角譜的衍射1.3.1角譜(x,y,0)=∞-∞A(u,v)exp[i2(ux+vy)]dudv(1)引入矢量a=(,),則在z=0的平面上o(x,y,0)=A(u,v)exp(i2a·r/)=A(u,v)exp[i2(x+y)/](4)將(4)式和(1)式作比較，得u=/,v=/(5)則(1)式可用a表示為(x,y)=∞-∞A(/,/)exp[i2(x+y)/]d(/)d(/)

(6)上式表示：z=0平面上的場(chǎng)，即透過(guò)xy平面向+z方向傳播的波，可用不同方向的平面波展開(kāi)．1/17/202334光學(xué)信息處理1.3平面波的角譜和角譜的衍射u=/,v=/(5)(x,y)=∞-∞A(/,/)exp[i2(x+y)/]d(/)d(/)

(6)(5)式表示空間頻率正比于/或/，在(x,y)中的低頻分量對(duì)應(yīng)于與軸夾角不大的平面波分量。而高頻分量則對(duì)應(yīng)于與z軸夾角較大的平面波分量。不同方向的平面波的權(quán)函數(shù)A(/,/)稱(chēng)為(x,y)的角譜，和空間頻譜的實(shí)質(zhì)是相同的。

A(/,/)與(x,y)的關(guān)系就是傅里葉變換：

A(/,/)=∞-∞(x,y)exp[-i2(x+y)/]dxdy(7)(6)和(7)兩式構(gòu)成傅里葉變換對(duì)。1/17/202335光學(xué)信息處理1.3.2角譜的傳播首先A(/,/;z)與A(/,/)的關(guān)系為:A(/,/;z)=∞-∞(x,y,z)exp[-i2(x+y)/]dxdy(x,y,z)=∞-∞A(/,/;z)exp[i2(x+y)/]d(/)d(/)以(x,y,z)代入亥姆霍茲方程，交換積分與微分的次序，可知A(/,/;z)也滿足亥姆霍茲方程：(d2/dz2+kz2)A(/,/,z)=0(10)式中

(11)(10)式的一個(gè)解是(12)1/17/202336光學(xué)信息處理1.3.2角譜的傳播當(dāng)2+2<1時(shí)，光波沿+z方向傳播的效果，在頻域內(nèi)表現(xiàn)為乘以一個(gè)沿z軸的相位延遲因子.在第二章，我們將看到這一效應(yīng)等價(jià)于空間濾波．當(dāng)2+2>1時(shí)，取正數(shù)，則角譜為

A(/,/;z)=A(/,/)exp(-2z/)表示一個(gè)隨z的增大迅速衰減的波，稱(chēng)隱失波，它只存在于很接近于xy平面的一個(gè)薄層內(nèi)，這是近場(chǎng)光學(xué)要討論的問(wèn)題．1/17/202337光學(xué)信息處理1.3.3菲涅耳衍射將(12)式中相因子內(nèi)的根號(hào)作泰勒展開(kāi)：(14)在上式中只保留二級(jí)小量，則A(/,/;z)=A(u,v)exp[i2z(1-22/2)/]=A(u,v)exp(i2z/)exp(-iz2)=A(u,v)exp(i2z/)exp[-iz(u2+v2)]由于A(u,v)

(x,y)exp[-iz(u2+v2)]exp[-i(x2+y2)/z]/iz(x,y,z)A(/,/;z)1/17/202338光學(xué)信息處理A(/,/;z)=A(u,v)exp(i2z/)exp[-iz(u2+v2)]A(u,v)(x,y)exp[-iz(u2+v2)]exp[-i(x2+y2)/z]/iz(x,y,z)A(/,/;z)卷積的性質(zhì):g(x,y)h(x,y)

G(u,v)H(u,v)相應(yīng)的空域信號(hào)為(x,y,z)=exp(i2z/)(x,y)exp{i[(x2+y2)]/z}/iz(16)=exp(i2z/)/iz∞-∞(,)exp{i[(x-)2+(y-)2]/z}dd上式即為菲涅耳衍射的公式，積分在z=0的平面進(jìn)行，式中(x,y)表示z=0的光場(chǎng)復(fù)振幅分布。1/17/202339光學(xué)信息處理1.3.4夫瑯和費(fèi)衍射若

z>>(2+2)/(17)則菲涅耳衍射的公式化為

(x,y,z)=exp(i2z/)/izexp[i(x2+y2)/z]×∞-∞(,)exp[-i2(x+y)/z]dd(18)(18)就化為遠(yuǎn)場(chǎng)衍射即夫瑯和費(fèi)衍射的情況。(18)式還可表為

(x,y,z)=(A/z)(x/z,y/z)(19)上式表示除了與積分變量無(wú)關(guān)的相位因子A以外，

為的傅里葉變換，頻域宗量為x/z及y/z．1/17/202340光學(xué)信息處理1.3.5角譜的衍射設(shè)在xy平面上有一不透光的屏，屏上帶一透光的孔，孔的復(fù)數(shù)透過(guò)率用光瞳函數(shù)p(x,y)來(lái)表示，p(x,y)可以是復(fù)數(shù)．這樣，屏后面的透射場(chǎng)t可用入射波的場(chǎng)i表為

t(x,y)

=i(x,y)

p(x,y)

(20)在頻域中，上式變?yōu)?/p>

At(/,/)=Ai(/,/)P(/,/)(21)式中P為p的角譜．(21)式說(shuō)明透射波角譜為入射波角譜與光瞳函數(shù)角譜的卷積．引入光闌后，一般來(lái)講信號(hào)的空間分布受到壓縮．1/17/202341光學(xué)信息處理根據(jù)測(cè)不準(zhǔn)原理，信號(hào)在頻域中的分布必然展寬.(21)式所示的卷積運(yùn)算的結(jié)果，總是使入射波的角譜變得更加平滑，換言之，有更多的能量擴(kuò)散到高頻段中去．(12)式為角譜在自由空間中的衍射公式.如果考慮到xy平面上光瞳函數(shù)的作用，(12)式改寫(xiě)為(22)(12)式或(22)式原則上可以解決任何光波的傳播及衍射問(wèn)題．1/17/202342光學(xué)信息處理1.4透鏡系統(tǒng)的傅里葉變換性質(zhì)遠(yuǎn)場(chǎng)衍射即夫瑯和費(fèi)衍射(x,y,z)=exp(i2z/)/izexp[i(x2+y2)/z]×∞-∞(,)exp[-i2(x+y)/z]dd(18)

(18)式表明，遠(yuǎn)場(chǎng)衍射具有傅里葉變換的特性．由于薄透鏡或透鏡組的后焦面等價(jià)于∞，因而可以想像凡是具有正焦距的光學(xué)系統(tǒng)都應(yīng)當(dāng)具有傅里葉變換的功能．1/17/202343光學(xué)信息處理設(shè)用振幅為l的單色平面波照射一個(gè)在xy平面上，且振幅透過(guò)率為g(x,y)的物體，則物體后面的場(chǎng)為g(x,y)．光場(chǎng)展開(kāi)成為平面波角譜：g(x,y)=∞-∞G(/,/)exp[i2(x+y)/]d(/)d(/)1/17/202344光學(xué)信息處理由于透鏡組具有聚焦的特性，所有方向相同，即具有同樣的方向余弦,的入射波都將會(huì)聚到透鏡組后焦面的一點(diǎn)Q(u,v)上。當(dāng)透鏡組焦距f>>(u2+v2)1/2時(shí)，即Q點(diǎn)很接近于原點(diǎn)時(shí)，有下面的近似等式

u≈

f,v≈

f

(2)

g(x,y)的角譜中所有方向余弦為,的角譜分量都對(duì)Q點(diǎn)有貢獻(xiàn)，Q點(diǎn)的的復(fù)振幅自然就等于G(/,/)，因而后焦面上的復(fù)振幅分布為

G(/,/)=G(u/f,v/f)

(3)1/17/202345光學(xué)信息處理這樣，透鏡組的后焦面就成為信號(hào)的頻域，透鏡組起了傅里葉變換的作用。大部分具有聚焦性能的器件，例如反光鏡、自聚焦透鏡等，都具有傅里葉變換的功能。薄透鏡的傅里葉變換功能可以直接計(jì)算出來(lái)，但它只是光學(xué)傅里葉變換器件的一個(gè)特例．我們用u，v來(lái)表示頻域的坐標(biāo)，也可以表示空間頻率變量。在一維的情形下也用v來(lái)表示空間頻率變量。1/17/202346光學(xué)信息處理注意

u

≈

f,v

≈

f只是近軸近似．嚴(yán)格來(lái)說(shuō)，

u

=ftg=f

/(1-2)1/2

(4)

式中

是波矢量k與z軸的夾角。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，設(shè)k位于xz平面內(nèi)．(4)式又稱(chēng)正切條件，只是在很小時(shí)，才滿足(2)式。當(dāng)較大時(shí)，傅里葉平面(后焦面)上的線度u與空間頻率/

并不滿足正比關(guān)系。1/17/202347光學(xué)信息處理從幾何光學(xué)知道，一個(gè)像差校正得很好的透鏡必須滿足正弦條件，而正弦條件與正切條件是難以同時(shí)滿足的，所以，性能完善的傅里葉變換透鏡是很難設(shè)計(jì)的。

不過(guò)在大多數(shù)情況下，光學(xué)變換是作為近似的模擬變換而加以應(yīng)用的，再說(shuō)推導(dǎo)薄透鏡的相位變換公式時(shí)已經(jīng)引入了近軸近似。在大多數(shù)應(yīng)用中，無(wú)論是薄透鏡或是透鏡組仍然是最方便、廉價(jià)的光學(xué)傅里葉變換器件。1/17/202348光學(xué)信息處理透鏡系統(tǒng)的相位變換公式由于透鏡系統(tǒng)能將平面波轉(zhuǎn)換成球面波，所以它的相位變換效應(yīng)可以表為

tl=exp(ik)exp(–ikr)/r(5)

式中為透鏡組的等效厚度。r=OP，O是會(huì)聚球面波的中心，也是透鏡系統(tǒng)的焦點(diǎn)，OQ=OM=f，f為焦距，在近軸近似下，PQ≈MN=h，1/17/202349光學(xué)信息處理tl=exp(ik)exp(–ikr)/rr=f+PQ≈f+h。因?yàn)?+2

+f2=r2≈

(f+h)2

→2+2

≈(f+h)2-f2≈2fh→h≈(2+2)/2f所以r≈f+h=f+(2+2)/2f(6)

式中(,)是P點(diǎn)坐標(biāo)，代入(5)式，取分母上的r≈f,得透鏡系統(tǒng)的相位變換公式

tl=exp[ik(-f)]exp[–ik(2+2)/2f]/f(7)1/17/202350光學(xué)信息處理透鏡系統(tǒng)對(duì)圖像的變換公式設(shè)光波在dl和d2范圍內(nèi)的傳播滿足菲涅耳近似條件，則由1.3節(jié)(16)式透鏡前表面的場(chǎng)l可表為l(,)=eikd1/id1

×∞-∞o(x,y)exp{ik[(-x)2+(-y)2]/2d1}dxdy(8)透鏡L的相位變換效應(yīng)可表為l’(,)=tll=(e-ikf/f