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文檔簡介
2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若復(fù)數(shù)z滿足,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.是定義在上的增函數(shù),且滿足:的導(dǎo)函數(shù)存在,且,則下列不等式成立的是()A. B.C. D.3.若,則“”的一個充分不必要條件是A. B.C.且 D.或4.設(shè),則()A. B. C. D.5.設(shè)、是兩條不同的直線,、是兩個不同的平面,則的一個充分條件是()A.且 B.且 C.且 D.且6.洛書,古稱龜書,是陰陽五行術(shù)數(shù)之源,在古代傳說中有神龜出于洛水,其甲殼上心有此圖象,結(jié)構(gòu)是戴九履一,左三右七,二四為肩,六八為足,以五居中,五方白圈皆陽數(shù),四角黑點(diǎn)為陰數(shù).如圖,若從四個陰數(shù)和五個陽數(shù)中分別隨機(jī)選取1個數(shù),則其和等于11的概率是().A. B. C. D.7.2019年末,武漢出現(xiàn)新型冠狀病毒肺炎()疫情,并快速席卷我國其他地區(qū),傳播速度很快.因這種病毒是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株,所以目前沒有特異治療方法,防控難度很大.武漢市出現(xiàn)疫情最早,感染人員最多,防控壓力最大,武漢市從2月7日起舉全市之力入戶上門排查確診的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、無法明確排除新冠肺炎的發(fā)熱患者和與確診患者的密切接觸者等“四類”人員,強(qiáng)化網(wǎng)格化管理,不落一戶、不漏一人.在排查期間,一戶6口之家被確認(rèn)為“與確診患者的密切接觸者”,這種情況下醫(yī)護(hù)人員要對其家庭成員隨機(jī)地逐一進(jìn)行“核糖核酸”檢測,若出現(xiàn)陽性,則該家庭為“感染高危戶”.設(shè)該家庭每個成員檢測呈陽性的概率均為()且相互獨(dú)立,該家庭至少檢測了5個人才能確定為“感染高危戶”的概率為,當(dāng)時,最大,則()A. B. C. D.8.在中,內(nèi)角的平分線交邊于點(diǎn),,,,則的面積是()A. B. C. D.9.復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位),則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限10.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)(,)對應(yīng)向量(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),設(shè),以射線Ox為始邊,OZ為終邊旋轉(zhuǎn)的角為,則,法國數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)了棣莫弗定理:,,則,由棣莫弗定理可以導(dǎo)出復(fù)數(shù)乘方公式:,已知,則()A. B.4 C. D.1611.運(yùn)行如圖程序,則輸出的S的值為()A.0 B.1 C.2018 D.201712.已知i為虛數(shù)單位,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖,直線是曲線在處的切線,則________.14.某城市為了解該市甲、乙兩個旅游景點(diǎn)的游客數(shù)量情況,隨機(jī)抽取了這兩個景點(diǎn)20天的游客人數(shù),得到如下莖葉圖:由此可估計,全年(按360天計算)中,游客人數(shù)在內(nèi)時,甲景點(diǎn)比乙景點(diǎn)多______天.15.已知,滿足約束條件則的最小值為__________.16.已知拋物線,點(diǎn)為拋物線上一動點(diǎn),過點(diǎn)作圓的切線,切點(diǎn)分別為,則線段長度的取值范圍為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知數(shù)列的通項(xiàng),數(shù)列為等比數(shù)列,且,,成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng);(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.18.(12分)已知函數(shù).(1)若在處取得極值,求的值;(2)求在區(qū)間上的最小值;(3)在(1)的條件下,若,求證:當(dāng)時,恒有成立.19.(12分)已知,均為給定的大于1的自然數(shù),設(shè)集合,.(Ⅰ)當(dāng),時,用列舉法表示集合;(Ⅱ)當(dāng)時,,且集合滿足下列條件:①對任意,;②.證明:(?。┤?,則(集合為集合在集合中的補(bǔ)集);(ⅱ)為一個定值(不必求出此定值);(Ⅲ)設(shè),,,其中,,若,則.20.(12分)已知數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,數(shù)列為等差數(shù)列,且,,.(1)求數(shù)列與的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和;(3)設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和,若對于任意,有,求實(shí)數(shù)的值.21.(12分)已知函數(shù),.(1)當(dāng)時,①求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程;②比較與的大小;(2)當(dāng)時,若對時,,且有唯一零點(diǎn),證明:.22.(10分)已知函數(shù).(1)求不等式的解集;(2)若存在實(shí)數(shù),使得不等式成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.A【解析】
化簡復(fù)數(shù),求得,得到復(fù)數(shù)在復(fù)平面對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),即可求解.【詳解】由題意,復(fù)數(shù)z滿足,可得,所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為位于第一象限故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算,以及復(fù)數(shù)的幾何表示方法,其中解答中熟記復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則,結(jié)合復(fù)數(shù)的表示方法求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與計算能力,屬于基礎(chǔ)題.2.D【解析】
根據(jù)是定義在上的增函數(shù)及有意義可得,構(gòu)建新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)可得為上的增函數(shù),從而可得正確的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的增函數(shù),故.又有意義,故,故,所以.令,則,故在上為增函數(shù),所以即,整理得到.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用,一般地,數(shù)的大小比較,可根據(jù)數(shù)的特點(diǎn)和題設(shè)中給出的原函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系構(gòu)建新函數(shù),本題屬于中檔題.3.C【解析】,∴,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.故“且”是“”的充分不必要條件.選C.4.D【解析】
結(jié)合指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,可判斷出,,,即可選出答案.【詳解】由,即,又,即,,即,所以.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了幾個數(shù)的大小比較,考查了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.5.B【解析】由且可得,故選B.6.A【解析】
基本事件總數(shù),利用列舉法求出其和等于11包含的基本事件有4個,由此能求出其和等于11的概率.【詳解】解:從四個陰數(shù)和五個陽數(shù)中分別隨機(jī)選取1個數(shù),基本事件總數(shù),其和等于11包含的基本事件有:,,,,共4個,其和等于的概率.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法,考查古典概型等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.7.A【解析】
根據(jù)題意分別求出事件A:檢測5個人確定為“感染高危戶”發(fā)生的概率和事件B:檢測6個人確定為“感染高危戶”發(fā)生的概率,即可得出的表達(dá)式,再根據(jù)基本不等式即可求出.【詳解】設(shè)事件A:檢測5個人確定為“感染高危戶”,事件B:檢測6個人確定為“感染高危戶”,∴,.即設(shè),則∴當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號,即.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查概率的計算,涉及相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率公式的應(yīng)用,互斥事件概率加法公式的應(yīng)用,以及基本不等式的應(yīng)用,解題關(guān)鍵是對題意的理解和事件的分解,意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)建模能力,屬于較難題.8.B【解析】
利用正弦定理求出,可得出,然后利用余弦定理求出,進(jìn)而求出,然后利用三角形的面積公式可計算出的面積.【詳解】為的角平分線,則.,則,,在中,由正弦定理得,即,①在中,由正弦定理得,即,②①②得,解得,,由余弦定理得,,因此,的面積為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查三角形面積的計算,涉及正弦定理和余弦定理以及三角形面積公式的應(yīng)用,考查計算能力,屬于中等題.9.C【解析】
由復(fù)數(shù)除法求出,寫出共軛復(fù)數(shù),寫出共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)即得【詳解】解析:,,對應(yīng)點(diǎn)為,在第三象限.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,共軛復(fù)數(shù)的概念,復(fù)數(shù)的幾何意義.掌握復(fù)數(shù)除法法則是解題關(guān)鍵.10.D【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)乘方公式:,直接求解即可.【詳解】,.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的新定義題目、同時考查了復(fù)數(shù)模的求法,解題的關(guān)鍵是理解棣莫弗定理,將復(fù)數(shù)化為棣莫弗定理形式,屬于基礎(chǔ)題.11.D【解析】
依次運(yùn)行程序框圖給出的程序可得第一次:,不滿足條件;第二次:,不滿足條件;第三次:,不滿足條件;第四次:,不滿足條件;第五次:,不滿足條件;第六次:,滿足條件,退出循環(huán).輸出1.選D.12.A【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算法則,即可求解.【詳解】.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13..【解析】
求出切線的斜率,即可求出結(jié)論.【詳解】由圖可知直線過點(diǎn),可求出直線的斜率,由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)與曲線的切線的幾何意義,屬于基礎(chǔ)題.14.72【解析】
根據(jù)給定的莖葉圖,得到游客人數(shù)在內(nèi)時,甲景點(diǎn)共有7天,乙景點(diǎn)共有3天,進(jìn)而求得全年中,甲景點(diǎn)比乙景點(diǎn)多的天數(shù),得到答案.【詳解】由題意,根據(jù)給定的莖葉圖可得,在隨機(jī)抽取了這兩個景點(diǎn)20天的游客人數(shù)中,游客人數(shù)在內(nèi)時,甲景點(diǎn)共有7天,乙景點(diǎn)共有3天,所以在全年)中,游客人數(shù)在內(nèi)時,甲景點(diǎn)比乙景點(diǎn)多天.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了莖葉圖的應(yīng)用,其中解答中熟記莖葉圖的基本知識,合理推算是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.15.【解析】
畫出可行域,通過平移基準(zhǔn)直線到可行域邊界位置,由此求得目標(biāo)函數(shù)的最小值.【詳解】畫出可行域如下圖所示,由圖可知:可行域是由三點(diǎn),,構(gòu)成的三角形及其內(nèi)部,當(dāng)直線過點(diǎn)時,取得最小值.故答案為:【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用線性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù)的最值,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,屬于基礎(chǔ)題.16.【解析】
連接,易得,可得四邊形的面積為,從而可得,進(jìn)而求出的取值范圍,可求得的范圍.【詳解】如圖,連接,易得,所以四邊形的面積為,且四邊形的面積為三角形面積的兩倍,所以,所以,當(dāng)最小時,最小,設(shè)點(diǎn),則,所以當(dāng)時,,則,當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)時,,此時,因?yàn)殡S著的增大而增大,所以的取值范圍為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,考查拋物線上的動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的求法,考查學(xué)生的計算求解能力,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1);(2).【解析】
(1)根據(jù),,成等差數(shù)列以及為等比數(shù)列,通過直接對進(jìn)行賦值計算出的首項(xiàng)和公比,即可求解出的通項(xiàng)公式;(2)的通項(xiàng)公式符合等差乘以等比的形式,采用錯位相減法進(jìn)行求和.【詳解】(1)數(shù)列為等比數(shù)列,且,,成等差數(shù)列.設(shè)數(shù)列的公比為,,,解得(2),,,,.【點(diǎn)睛】本題考查等差、等比數(shù)列的綜合以及錯位相減法求和的應(yīng)用,難度一般.判斷是否適合使用錯位相減法,可根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式是否符合等差乘以等比的形式來判斷.18.(1)2;(2);(3)證明見解析【解析】
(1)先求出函數(shù)的定義域和導(dǎo)數(shù),由已知函數(shù)在處取得極值,得到,即可求解的值;(2)由(1)得,定義域?yàn)?,分,和三種情況討論,分別求得函數(shù)的最小值,即可得到結(jié)論;(3)由,得到,把,只需證,構(gòu)造新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值,即可求解.【詳解】(1)由,定義域?yàn)?,則,因?yàn)楹瘮?shù)在處取得極值,所以,即,解得,經(jīng)檢驗(yàn),滿足題意,所以.(2)由(1)得,定義域?yàn)椋?dāng)時,有,在區(qū)間上單調(diào)遞增,最小值為,當(dāng)時,由得,且,當(dāng)時,,單調(diào)遞減;當(dāng)時,,單調(diào)遞增;所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,最小值為,當(dāng)時,則,當(dāng)時,,單調(diào)遞減;當(dāng)時,,單調(diào)遞增;所以在處取得最小值,綜上可得:當(dāng)時,在區(qū)間上的最小值為1,當(dāng)時,在區(qū)間上的最小值為.(3)由得,當(dāng)時,,則,欲證,只需證,即證,即,設(shè),則,當(dāng)時,,在區(qū)間上單調(diào)遞增,當(dāng)時,,即,故,即當(dāng)時,恒有成立.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用,以及不等式的證明,著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論、及邏輯推理能力與計算能力,對于此類問題,通常要構(gòu)造新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,求出最值,進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍;也可分離變量,構(gòu)造新函數(shù),直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.19.(Ⅰ);(Ⅱ)(ⅰ)詳見解析.(ⅱ)詳見解析.(Ⅲ)詳見解析.【解析】
(Ⅰ)當(dāng),時,,,,,,.即可得出.(Ⅱ)(i)當(dāng)時,,2,3,,,又,,,,,,必然有,否則得出矛盾.(ii)由.可得.又,即可得出為定值.(iii)由設(shè),,,,其中,,,2,,.,可得,通過求和即可證明結(jié)論.【詳解】(Ⅰ)解:當(dāng),時,,,,,..(Ⅱ)證明:(i)當(dāng)時,,2,3,,,又,,,,,,必然有,否則,而,與已知對任意,矛盾.因此有.(ii)..,為定值.(iii)由設(shè),,,,其中,,,2,,.,..【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求和公式,考查了推理能力與計算能力,屬于難題.20.(1),(2)(3)【解析】
(1)假設(shè)公差,公比,根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,化簡式子,可得,,然后利用公式法,可得結(jié)果.(2)根據(jù)(1)的結(jié)論,利用錯位相減法求和,可得結(jié)果.(3)計算出,代值計算并化簡,可得結(jié)果.【詳解】解:(1)依題意:,即,解得:所以,(2),,,上面兩式相減,得:則即所以,(3),所以由得,,即【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合應(yīng)用,以及利用錯位相減法求和,屬基礎(chǔ)題.21.(1)①見解析,②見解析;(2)見解析【解析】
(1)①把代入函數(shù)解析式,求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)得到,再求出,利用直線方程的點(diǎn)斜式求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程;②令,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,可得當(dāng)時,;當(dāng)時
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