2010年江蘇高考數(shù)學(xué)試題及答案

2010年江蘇高考數(shù)學(xué)試題一、填空題1、設(shè)集合A={-1,1,3}，B={a+2,a2+4},A∩B={3}，則實(shí)數(shù)a=______▲________簡(jiǎn)析：由集合中元素的互異性有a+2=3或a2+4=3，a=1或a2=－1(舍)a=12、設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z(2-3i)=6+4i（其中i為虛數(shù)單位），則z的模為_(kāi)_____▲________簡(jiǎn)析：由題意z====2i|z|=23、盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若從中隨機(jī)地摸出兩只球，兩只球顏色不同的概率是_▲__簡(jiǎn)析：4、某棉紡廠為了了解一批棉花的質(zhì)量，從中隨機(jī)抽取了100根棉花纖維的長(zhǎng)度（棉花纖維的長(zhǎng)度是棉花質(zhì)量的重要指標(biāo)），所得數(shù)據(jù)都在區(qū)間[5,40]中，其頻率分布直方圖如圖所示，則其抽樣的100根中，有_▲___根在棉花纖維的長(zhǎng)度小于20mm。簡(jiǎn)析：觀察頻率分布直方圖，知有0.06×5×100=30根長(zhǎng)度小于20mm5、設(shè)函數(shù)f(x)=x(ex+ae-x),(x∈R)是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a=_______▲_________簡(jiǎn)析：由偶函數(shù)f(－x)=f(x)x(ex+ae-x)=－x(e-x+aex)x(ex+e-x)(1+a)=0a=－16、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線距離是___▲_______－=1上一點(diǎn)M，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是3，則M到雙曲線右焦點(diǎn)的簡(jiǎn)析：法一——直接運(yùn)用焦半徑公式求。因焦半徑知識(shí)課本中未作介紹，此不重點(diǎn)說(shuō)明；法二——基本量法求解。由題意知右焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(4,0)，M點(diǎn)坐標(biāo)為(3,±7、右圖是一個(gè)算法的流程圖，則輸出S的值是______▲_______)MF=4簡(jiǎn)析：讀圖知這是計(jì)算S=1+21+22+…+2n的一個(gè)算法，由S=2n－133且n為正整數(shù)知n=5時(shí)跳出循環(huán)，此時(shí)，輸出S=1+21+22+…+25=638、函數(shù)y=x2(x>0)的圖像在點(diǎn)(ak,ak2)處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為ak+1,k為正整數(shù)，a1=16，則a1+a3+a5=____▲_____簡(jiǎn)析：對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)得y=2x(x>0)，據(jù)題意，由a1=16=24依次求得a2=8，a3=4，a4=2，a5=1，所以a1+a3+a5=219、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓x2+y2=4四個(gè)點(diǎn)到直線12x－5y+c=0的距離為1，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是______▲_____簡(jiǎn)析：若使圓上有且僅有四點(diǎn)到直線12x－5y+c=0距離為1，則圓心到該直線之距應(yīng)小于1，即<1，解得c(－13,13)10、定義在區(qū)間(0,)上的函數(shù)y=6cosx的圖像與y=5tanx的圖像的交點(diǎn)為P，過(guò)點(diǎn)P作PP1⊥x軸于點(diǎn)P1,直線PP1與y=sinx的圖像交于點(diǎn)P2,則線段P1P2的長(zhǎng)為_(kāi)______▲_____簡(jiǎn)析：由題意知線段P1P2長(zhǎng)即為垂線PP1與y=sinx圖像交點(diǎn)的縱坐標(biāo)。由6cosx=5tanx6cos2x=5sinx6sin2x+5sinx－6=0sinx=P1P2=11、已知函數(shù)f(x)=,則滿足不等式f(1－x2)>f(2x)的x的范圍是____▲____簡(jiǎn)析：設(shè)t=1－x2，當(dāng)x<－1時(shí)，t<0，2x<－2；f(1－x2)=1，f(2x)=1f(1－x2)=f(2x)；當(dāng)x>1時(shí)，t<0，2x>2，f(1－x2)=1，f(2x)=(2x)2+1>5，顯然不滿足f(1－x2)>f(2x)當(dāng)－1x<0時(shí)，t0，2x<0，所以f(1－x2)=(1－x2)2+11，f(2x)=1，f(1－x2)>f(2x)(x－1)；當(dāng)0x1時(shí)，t0，2x0，所以f(1－x2)=(1－x2)2+11，f(2x)=(2x)2+1，由f(1－x2)>f(2x)(1－x2)2+1>(2x)2+1x4－6x2+1>00x<－1綜上，x(－1,－1)12、設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足3≤xy2≤8，4≤≤9，則簡(jiǎn)析：由題意知x,y均為非0的正實(shí)數(shù)。的最大值是_____▲____由3xy28，又49·3，即34×·9×32713、在銳角三角形ABC，A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，+=6cosC，則+=__▲簡(jiǎn)析：據(jù)正、余弦定理，由已知等式，角化邊得3c2=2a2+2b2①，邊化角得=6cosC②因?yàn)?=tanC(+)=tanC·=③至此，③式還有多種變形，此不贅舉，僅以下法解本題。據(jù)②式，③式==，又據(jù)①式，③式===414、將邊長(zhǎng)為1的正三角形薄片，沿一條平行于底邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記S=,則S的最小值是_______▲_______簡(jiǎn)析：如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為1的正△，EF∥BC，四邊形BCFE為梯形；設(shè)AE=x(0<x<1)，則梯形BCFE周長(zhǎng)=3－x，梯形BCFE面積=(1－x2)，所以據(jù)題意知：S==(0<x<1)對(duì)S(x)求導(dǎo)，令S(x)=0，聯(lián)系0<x<1得x=又0<x<，S(x)<0，<x<1，S(x)>0，所以x=時(shí)S(x)有最小值S()=二、解答題15、（14分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1)(1)求以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形兩條對(duì)角線的長(zhǎng)=0=0，求t的值(2)設(shè)實(shí)數(shù)t滿足(－t·)·簡(jiǎn)析：⑴據(jù)題意，本小問(wèn)解法不唯一，如利用平行四邊形性質(zhì)求出第四點(diǎn)D，然后運(yùn)用兩點(diǎn)間距離公式求兩對(duì)角線；又如，亦可利用向量知識(shí)，求向量與和、差的模；兩對(duì)角線長(zhǎng)為2,4⑵因?yàn)?(3,5),=(－2,－1)，所以由(－t)·=0知t=－16、（14分）如圖，四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC，∠BCD=900(1)求證：PC⊥BC(2)求點(diǎn)A到平面PBC的距離簡(jiǎn)析：⑴證：因PD⊥底面ABCD，BC在底面上，所以PD⊥BC；又因∠BCD=900，所以BC⊥DC；又PD、DC相交于D，所以BC⊥平面PDC又PC在平面PDC上，所以BC⊥PC，即PC⊥BC⑵在底面ABCD上作AE∥BC交CD延長(zhǎng)線于E，則E在平面PDC上；在平面PDC上作EF⊥PC交PC于F，結(jié)合⑴推知EF⊥平面PBC，所以垂線段EF長(zhǎng)就是點(diǎn)A到平面PBC的距離。在△PEC中，利用面積的等積性有EC·PD＝PC·EF所以EF==，所以點(diǎn)A到平面PBC之距為此法求解，主要依據(jù)線面平行時(shí)，直線上每一點(diǎn)到平面的距離都相等；另外，本題也可以通過(guò)構(gòu)造三棱錐，利用等積法來(lái)求點(diǎn)面距；如三棱錐A－PBC與三棱錐P－ABC實(shí)為同一個(gè)錐，而三棱錐P－ABC的底面積=AB·BC=1，高=PD=1；三棱錐A－PBC的底面積=PC·BC=，所以可求得三棱錐A－PBC的高為，亦即點(diǎn)A到平面PBC的距離為17、（14分）某興趣小組測(cè)量電視塔AE的高度H(單位m），如示意圖，垂直放置的標(biāo)桿BC高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β(1)該小組已經(jīng)測(cè)得一組α、β的值，tanα=1.24,tanβ=1.20,,請(qǐng)據(jù)此算出H的值(2)該小組分析若干測(cè)得的數(shù)據(jù)后，發(fā)現(xiàn)適當(dāng)調(diào)整標(biāo)桿到電視塔的距離d（單位m），使α與β之差較大，可以提高測(cè)量精確度，若電視塔實(shí)際高度為125m，問(wèn)d為多少時(shí)，α－β最大解析：⑴⑵18.（16分）在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，已知橢圓+=1的左右頂點(diǎn)為A,B，右焦點(diǎn)為F，設(shè)過(guò)點(diǎn)T(t,m)的直線TA,TB與橢圓分別交于點(diǎn)M(x1,y1)，N(x2,y2)，其中m>0,y1>0,y2<0.⑴設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足PF2－PB2=4,求點(diǎn)P的軌跡⑵設(shè)x1=2,x2=，求點(diǎn)T的坐標(biāo)⑶設(shè)t=9,求證：直線MN必過(guò)x軸上的一定點(diǎn)(其坐標(biāo)與m無(wú)關(guān))19．（16分）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知2a2=a1+a3，數(shù)列{數(shù)列.}是公差為d的等差⑴求數(shù)列的通項(xiàng)公式（用表示）⑵設(shè)c為實(shí)數(shù)，對(duì)滿足m+n=3k且mn的任意正整數(shù)m，n，k，不等式Sm+Sn>cSk都成立。求證：c的最大值為20.（16分）設(shè)f(x)使定義在區(qū)間(1,+)上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f(x).如果存在實(shí)數(shù)a和函數(shù)h(x)，其中h(x)對(duì)任意的x(1,+)都有h(x)>0，使得f(x)]=h(x)(x2－ax+1)，則稱函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P(a).⑴設(shè)函數(shù)f(x)=h(x)+(x>1)，其中b為實(shí)數(shù)①求證：函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P(b)②求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間⑵已知函數(shù)g(x)具有性質(zhì)P(2)，給定x1,x2(1,+)，x1<x2，設(shè)m為實(shí)數(shù)，=mx1+(1－m)x2，=(1m)x1+mx2，且>1，>1，若|g()－g()|<|g(x1)－g(x2)|,求m的取值范圍【理科附加題】21（從以下四個(gè)題中任選兩個(gè)作答，每題10分）⑴幾何證明選講AB是⊙O的直徑，D為⊙O上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線交AB延長(zhǎng)線于C，若DA=DC，求證AB=2BC⑵矩陣與變換在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(0,0),B(-3,),C(-2,1),設(shè)k≠0，k∈R，M=,N=,點(diǎn)A、B、C在矩陣MN對(duì)應(yīng)的變換下得到點(diǎn)A1,B1,C1,△A1B1C1的面積是△ABC面積的2倍，求實(shí)數(shù)k的值⑶參數(shù)方程與極坐標(biāo)在極坐標(biāo)系中，圓ρ=2cosθ與直線3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求實(shí)數(shù)a的值⑷不等式證明選講已知實(shí)數(shù)a,b≥0，求證：a3+b3(a2+b2)22、（10分）某廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，生產(chǎn)甲產(chǎn)品一等品80%，二等品20%；生產(chǎn)乙產(chǎn)品，一等品