人教版五年級下冊數(shù)學第三單元知識點易錯點匯總

第三單元“長方體和正方體”知識整理及訓練一、長方體和正方體的認識【知識點1】要素立體圖形棱面頂點數(shù)量特征數(shù)量特征數(shù)量特征長方體12互相平行的棱長度相等6相對的面完全相同8同一個頂點引出的三條棱分別叫做長、寬、高特殊長方體12垂直于正方形面的棱長度相等6兩個面是正方形，其余四個面是完全相同的長方形8正方體12所有的棱長度都相等6所有面都是正方形且完全相同8一個長方體至少可以有兩個面是正方形，最多可以有6各面是正方形，但不會存在3個、4個、5個面是正方形！練習：（1）判斷：長方體的六個面一定是長方形；()正方體的六個面面積一定相等；()一個長方體(非正方體)最多有四個面面積相等；()相交于一個頂點的三條棱相等的長方體一定是正方體。()一個長方體中，可能有4個面是正方形。（

）正方體是特殊的長方體。（）長方體的三條棱分別叫做長、寬、高。()有兩個面是正方形的長方體一定是正方體。()有三個面是正方形的長方體一定是正方體。（）正方體的相鄰三條棱的交點叫做頂點。（）有兩個相對的面是正方形的長方體，另外四個面的面積是相等的。（）長方體和正方體最多可以看到3個面。（）長方體的12條棱中，長、寬、高各有4條。（）正方體不僅相對的面的面積相等，而且所有相鄰的面的面積也都相等。（）長方體（不包括正方體）除了相對的面相等，也可能有兩個相鄰的面相等。（）一個長方體中最少有4條棱長度相等，最多有8條棱長度相等。（）一個長方體最多有（）個面是正方形，最多有（）條棱長度相等。一個長方體的底面是一個正方形，則它的4個側(cè)面是（）形。正方體不僅相對的面相等，而且所有相鄰的面（

），它的六個面都是相等的（

）形。把長方體放在桌面上，最多可以看到（）個面。最少可以看到（）個面?！局R點2】棱長和公式：長方體棱長和=（長+寬+高）×4長+寬+高=棱長和÷4正方體棱長和=棱長×12棱長=棱長和÷12練習： （1）分別說出下面長方體長、寬、高各是多少？（2）看圖2-6，并填空單位：厘米這個長方體長()厘米，寬()厘米，高()厘米。由一個頂點引出的三條棱的長度和是()厘米。棱長總和是()厘米。上下兩個面是()形。（3）看圖2-7并填空單位：厘米這是一個()體，棱長是()厘米，棱長之和是()厘米，每個面的面積是()平方厘米。有一個長方體的魚缸，長50厘米，寬30厘米，高30厘米，需要在用鋁合金包裹玻璃連接處，需要（）米的鋁合金。一個長方體的棱長總和是80厘米，其中長是10厘米，寬是7厘米，高是（）厘米。把兩個棱長1厘米的正方體拼成一個長方體，這個長方體的棱長總和是（）厘米。至少需要（

）厘米長的鐵絲，才能做一個底面周長是18厘米，高3厘米的長方體框架。（8）一個長方體長12厘米寬8厘米高7厘米，把它切成一個盡可能大的正方體，這個正方體的棱長是（）。30m6m50m（30m6m50m一個長方體棱長和164cm，已知長方體的底面周長為 72cm，長方體的高是多少cm？一個長方體棱長和164cm，已知長方體的左面周長為 40cm，長方體的長是多少cm？【知識點3】確定長方體中每個面的形狀以及長、寬、高分別是多少。長方體一共有（）個面，（）面完全相同，如：前面和（）完全相同，（）和（）完全相同，（）和（）完全相同。根據(jù)習慣我們一般認為在一個平面中水平方向的為長，垂直方向的為高。根據(jù)這一習慣我們我們只需找到需要的面并根據(jù)習慣確定長和寬即可。例如：如圖下列長方體的后面是（）形狀，長是（）寬是（）；它的右面是（）形狀，長是（）寬是（）；下面是（）形狀，長是（）寬是（）。 上面下面上面下面左面后面右面前面長方體展開后每個面都是什么形狀？展開后哪倆個面是相對的面？面積相等嗎？一個長方體的長是25厘米，寬是20厘米，高是18厘米，最大的面的長是（）厘米，寬是（）厘米，它的面積是（）平方厘米；最小的面長是（）厘米，寬是（）厘米，它的面積是（）平方厘米。（3）一個長方體的長、寬、高分別是8、6、4米，它的前后的面的面積是（），左右的面的面積是（），上下的面的面積是（）?！局R點4】折疊可以組合成正方體（可以的請做適當?shù)臉擞洠?【知識點5】長方體或正方體的切割組合對棱長的影響例如：將五個完全相同的正方體組合成一個長方體后，棱長和為140厘米，原來每個正方體的棱長和是多少？分析：五個正方體棱長共有12×5=60條；將五個完全相同正方體組合后棱長比原來減少32條，還剩60-32=28條；即這28條棱的長度和即為新長方體的棱長和，所以正方體一條棱的長度為：140÷28=5cm；所以一個正方體的棱長和為：5×12=60cm?！局R點6】小正方體拼大正方體的規(guī)律要用小的正方體拼出大的正方體所需要的小正方體的個數(shù)應(yīng)該是一個數(shù)的立方。這就要求我們能夠熟記一些數(shù)的立方：23=833=2743=6453=12563=21673=34383=51293=729103=1000練習：（1）用棱長為1厘米的小正方體拼一個棱長為6厘米的大正方體需要（）個小正方體。（2）用棱長為3厘米的小正方體拼棱長為9厘米的大正方體需要（）個小正方體。A、8個B、27個C、26個D、64個用棱長為2厘米的小正方體拼一個稍大一些的正方體至少需要（）個小正方體。A、4個B、8個C、16個D、27個下列有一些數(shù)量的棱長為1厘米的小正方體，哪些數(shù)量可以拼成較大的正方體。（）A、27個B、4個C、1個D、8個E、32個F、125個（8）兩個棱長1厘米的正方體木塊，拼成一個長方體，這具長方體表面積是（）平方厘米。長方體和正方體的表面積【知識點1】長方體表面積=（長×寬+長×高+寬×高）×2=（a×b+a×c+b×c）×2=（前面面積+上面面積+右面面積）×2正方體表面積=棱長×棱長×6=a×a×6=6a2=任意一個面的面積×6前面面積=后面面積；左面面積=右面面積；上面面積=下面面積兩個棱長和相等的長方體或一個長方體和一個正方體，表面積不一定相等！表面積相等的兩個長方體或一個長方體和一個正方體，棱長和也不一定相等！練習：一個正方體的棱長總和是48分米，它的棱長是（），表面積是（）。一個長方體長6厘米，寬4厘米，高3厘米。這個長方體上下兩個面的面積各是（

）平方厘米，前后兩個面的面積各是（

）平方厘米，左右兩個面的面積各是（

）平方厘米，表面積是（

）平方厘米。判斷題：長方體的表面積一定比正方體的表面積大。()把一個棱長為6米的正方體分成兩個大小、形狀相同的長方體，每個長方體的表面積是（

）㎡。長方體的長是6厘米，寬是4厘米，高是2厘米，它的棱長總和是（

）厘米，六個面中最大的面積是（

）平方厘米，表面積是（

）平方厘米。用字母表示正方體（或長方體）的表面積＝（）；用字母表示長方體的體積公式是（）。（7）下面哪些問題跟長方體表面積有關(guān)。（）A：在一個長方體木箱外面刷油漆，刷油漆的面積一共有多少平方分米？B：做一個長方體的金魚缸需要多少玻璃？C：求一個長方形足球場需多少平方米的草皮？（8）一個長方體的長是5分米，寬和高都是4分米，在這個長方體中，長度為4分米的棱有（）條，面積是20平方分米的面有（）個。（9）一個長方體的金魚缸，長是8分米，寬是5分米，高是6分米，不小心前面的玻璃被打壞了，修理時配上的玻璃的面積是（）。（10）一個正方體的底面積是64平方厘米，它的表面積是（）。（11）一個正方體的底面周長是8厘米，它的表面積是（）。（12）一個長方體側(cè)面積是360平方厘米，高是9厘米，長是寬的1.5倍，求它的表面積?！局R點2】長方體表面求法的變形：貼商標類型：只求四周面積。例如：一個長方體包裝盒，長寬高分別為8,4,5，需要在包裝盒四周貼上商標，需要商標紙的面積是多少？游泳池類型：只求四周和底面。例如：一座游泳池，長寬高分別為10m，4m，1.5m，需要在池內(nèi)貼上邊長為1dm的瓷磚，大約需要多少塊瓷磚？抽紙盒類型：六個面面積減去缺口面積。例如：一款抽紙盒，長寬高分別是20cm，12cm，5cm，上面有長14cm，寬3cm的抽紙口，做這款抽紙盒需要多少硬紙片？占地面積問題：只求底面面積。例如：一個長方體蓄水池，長12m，寬8m，深3m，這個水池占地面積多少平方米？練習：一盒餅干長20厘米，寬15厘米，高30厘米，現(xiàn)在要在它的四周貼上商標紙，如果商標紙的接頭處是4厘米，這張商標紙的面積是多少平方厘米？一種長方體硬紙盒，長10厘米，寬6厘米，高5厘米，有2平方米的硬紙板210張，可以做這樣的硬紙盒多少個？（不計接口）一個通風管的橫截面是邊長是0.5米的正方形,長2.5米.如果用鐵皮做這樣的通風管50只,需要多少平方米的鐵皮?一個房間的長6米，寬3.5米，高3米，門窗面積是8平方米?，F(xiàn)在要把這個房間的四壁和頂面粉刷水泥，粉刷水泥的面積是多少平方米？如果每平方米需要水泥4千克，一共要水泥多少千克？在一節(jié)長120厘米，寬和高都是10厘米的通風管，至少需要鐵皮多少平方厘米？做12節(jié)這樣的通風管呢？做一個正方體無蓋紙盒，棱長是21厘米，至少需要多少平方厘米的紙板？一個抽屜，長50厘米，寬30厘米，高10厘米，做這樣的2個抽屜，至少需要木板多少平方厘米？（8）一塊長方形鐵皮長60厘米，寬40厘米，如圖，從四個角上剪去邊長是10厘米的正方形，然后做成盒子，這個盒子的表面積是多少平方厘米？【知識點3】棱長變化對表面積、體積的影響：正方體（必須記得）正方體的棱長擴大2倍，其棱長和也擴大2倍，表面積擴大4倍，體積擴大8倍；正方體的棱長擴大3倍，其棱長和也擴大3倍，表面積擴大9倍，體積擴大27倍；正方體的棱長擴大n倍，其棱長和也擴大n倍，表面積擴大n2倍，體積擴大n3倍。長方體（稍難，可以不用記住，了解即可）長方體的長寬高同時擴大2倍，其棱長和也擴大2倍，表面積擴大4倍，體積擴大8倍； 長方體的長寬高同時擴大3倍，其棱長和也擴大3倍，表面積擴大9倍，體積擴大27倍； 長方體的長寬高同時擴大n倍，其棱長和也擴大n倍，表面積擴大n2倍，體積擴大n3倍。長方體的長擴大a倍，寬擴大b倍，高擴大c倍，棱長和變化無規(guī)律，表面積變化也無規(guī)律，體積擴大a×b×c倍。（必須記得）長方體的長擴大a倍，寬擴大b倍，棱長和變化無規(guī)律，表面積變化無規(guī)律，體積擴大a×b倍。長方體的寬擴大b倍，高擴大c倍，棱長和變化無規(guī)律，表面積變化無規(guī)律，體積擴大b×c倍。長方體的長擴大a倍，高擴大c倍，棱長和變化無規(guī)律，表面積變化無規(guī)律，體積擴大a×c倍。練習：（1）大正方體的棱長是小正方體的棱長的2倍，那么大正方體的表面積是小正方體表面積的（

）倍。（2）正方體的棱長縮小5倍，它的體積就縮?。?/p>

）倍．（3）一個長方體的長、寬、高都擴大4倍，它的體積就（）。（4）正方體的棱長擴大6倍，表面積擴大（

）倍。（5）一個正方體的棱長為4厘米擴大為2倍后，其棱長和為（）厘米，表面積為（）平方厘米比原來擴大了（）。（6）大正方體的表面積是小正方體的4倍，那么大正方體的棱長是小正方體的（）；大正方體棱長之和是小正方體的（）（7）判斷：一個長方體的長擴大2倍，寬擴大3倍，高擴大4倍，這個長方體的表面積擴大24倍。（）正方體的棱長擴大1.2倍，它的棱長也擴大1.2倍，它的表面積就擴大14.4倍。（）有棱長為1厘米的正方體拼成較大的正方體，其表面積比原來一個正方體時擴大了4倍。（）棱長為16厘米的正方體，將棱長縮小2倍后，其表面積縮小了4倍。（）【知識點4】立體圖形的切割：（切割會使表面積增加）長方體而且每切一刀增加兩個完全相同的面，切兩刀增加四個完全相同的面，依次類推。正方體無論沿那個面平行的方向切，都將增加兩個正方形的面，增加的面積均為2a2不存在增加最多最少的問題。例如：兩盒磁帶有三種不同的包裝方式，你說哪一種最省包裝紙？要求最省包裝紙，即表面積最小，也就是表面積比原來單獨包裝時減少的表面積最多，根據(jù)規(guī)律應(yīng)該選擇第一種包裝方式。練習：把一個棱長為6米的正方體分成兩個大小、形狀相同的長方體，每個長方體的表面積是（

）㎡。把一根長2米的方木（底面是正方形）鋸成三段，表面積增加5.76平方分米，原來這根方木的底面積是多少平方分米？一根1.8m長的木材，鋸成三個完全相同的正方體后，表面積比原來增加多少平方厘米？【知識點5】從一個長方體中切出一個最大的正方體問題應(yīng)該以長方體中最短的棱作為切出正方體的棱長，這樣的正方體將是能切出的最大正方體，否則切出的將不是正方體。分析：以最短的棱為正方體的棱長，即以高為2cm的棱為正方體的棱長，那么正方體的棱長和為：2×分析：以最短的棱為正方體的棱長，即以高為2cm的棱為正方體的棱長，那么正方體的棱長和為：2×12=24cm。切去正方體后所剩部分的長為4-2=2cm，寬為3-2=1cm，高仍為2cm，因此所剩部分表面積為：（2×1+2×2+1×2）×2=16cm2。【知識點6】單位換算長度單位：mm、cm、dm、m相鄰兩個單位進率為10面積單位：mm2、cm2、dm2、m2相鄰兩個單位進率為100體積單位：mm3、cm3、dm3、m3相鄰兩個單位進率為1000容積單位：ml、L相鄰兩個單位進率為1000特別的：1ml=cm31L=1dm31方=1m3不是同一類型的單位，數(shù)據(jù)不能比較大小，同一類型的單位中右邊的單位比左邊的單位大。高級單位進率高級單位進率×高級單位的數(shù)低級單位低級單位的數(shù)÷進率例如：手指尖約占了1立方厘米的空間，即它的體積約為1立方厘米。一個粉筆盒的體積約為1dm3。半個講臺的體積約是1立方米。一個燒杯約能裝水500ml。練習：9立方米500立方分米=（）立方米=（）立方分米3.6升=（）毫升=（）立方厘米1700平方厘米=（）平方分米=（）平方米3.2立方分米=（）立方厘米500立方分米=（）立方米3升=（）毫升2700毫升=（）升2.57升=（）毫升640毫升=（）升2.8立方分米=()立方厘米

0.8升=()毫升720立方分米=()立方米

51000毫升=(

)升32立方厘米=()立方分米

4.25立方米=()立方分米=()升2.7立方米=()升

1200毫升=()立方厘米

1.24立方米=()升=()毫升3.06升=（

）升（

）毫升40立方米＝（

）立方分米4立方分米5立方厘米＝（

）立方分米30立方分米＝（

）立方米0.85升＝（

）毫升2100毫升＝（

）立方厘米＝（

）立方分米一個水池能裝水400立方米，這是指（），占地2公頃指的是（）。一塊橡皮擦的體積約是8()。一本書的封面約是2()。運貨集裝箱的體積約是40()。一支鋼筆長18()。一臺錄音機的體積約是20()。三、長方體和正方體的體積【知識點1】容積與體積基本概念體積是指所占空間的大??；容積是指所容納物體的體積；一般的：一個物體的容積一般都比它的體積小。當容器壁厚度忽略不計時體積=容積；否則體積＞容積。比如說，一個洗發(fā)液的瓶子里面所能裝下的洗發(fā)液的體積就是它的容積。（容器壁忽略不計）體積計算方法：長方體的體積=長×寬×高正方體的體積=棱長×棱長×棱長長方體和正方體的體積=底面積×高練習：判斷：體積單位比面積單位大，面積單位比長度單位大．

（

）正方體和長方體的體積都可以用底面積乘高來進行計算．（

）表面積相等的兩個長方體，它們的體積一定相等．

（

）（2）一個正方體的棱長和是12分米，它的體積是（

）立方分米．（3）一個長方體的體積是30立方厘米，長是5厘米，高是3厘米，寬是（

）厘米．（4）表面積是54平方厘米的正方體，它的體積是（

）立方厘米．（5）一個長方體框架長8厘米，寬6厘米，高4厘米，做這個框架共要（

）厘米鐵絲，是求長方體（

），在表面貼上塑料板，共要（

）塑料板，是求（

），在里面能盛多少升水是求（

），這個盒子有（

）立方米，是求（

）．（6）長方體的長是6厘米，寬是4厘米，高是2厘米，它的棱長總和是（

）厘米，六個面中最大的面積是（

）平方厘米，表面積是（

）平方厘米，體積是（

）立方厘米．（7）一個正方體棱長2厘米，體積是（）立方厘米，如果這個正方體的棱長擴大2倍，它的體積是（）立方厘米。（8）一個菜窖能容納6立方米白菜，這個菜窖的（

）是6立方米．（9）將一個正方體鋼坯鍛造成長方體，正方體和長方體（

）．①體積相等，表面積不相等②體積和表面積都不相等．③表面積相等，體積不相等．（10）要制作140個棱長5厘米的正方體木塊，至少需要木料多少立方分米？（11）某紙盒廠生產(chǎn)一種正方體紙板箱，棱長40厘米，它的體積是多少立方厘米？合多少立方分米？（12）一個長方體的沙坑裝滿沙子，這個沙坑長3米，寬1.5米，深2米，每立方米沙子重1400千克，這個沙坑里共裝沙子多少噸？【知識點2】體積大小的比較對于液體可以直接比較體積的大小，如果液體體積小于容器既可以裝得下，如果大于容器體積則裝不下。對于固體而言，在體積小于容器體積的前提下，還需要比較物體的長寬高于容器的長寬高，只有物體的長寬高都小于或等于容器的長寬高時才可以將物體裝入容器。例如：有一個長為8分米，高位5分米，體積為240平方分米的硬紙盒，有一件陶瓷長為7.4分米，高位4分米，寬為6.5分米，是否可以放入該容器？分析：單純計算容器和陶瓷的體積我們可以發(fā)現(xiàn)：陶瓷體積<硬紙盒體積。但這并不意味著瓷器就可以裝進盒子。我們還需要觀察陶瓷長寬高于容器長寬高的大小。通過計算硬紙盒的長=8分米寬=240÷（8×5）=6分米高=5分米陶瓷的長=7.4分米寬=6.5分米高=4分米由此可以發(fā)現(xiàn)陶瓷的寬比盒子的寬大，所以即使在體積小于盒子的前提下，仍然是裝不進去的。練習：有一個長方形玻璃魚缸長為5分米，寬為3分米，高為3分米里面裝有2.5分米高的水，現(xiàn)在需要將該該魚缸內(nèi)的水倒入一個棱長為3.5分米的正方體魚缸中，請問是否可以裝得下這么多水？如果裝得下