2023年全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題(及答案)

2003年全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題第一試一、選擇題〔每題6分,總分值36分〕刪去正整數(shù)數(shù)列1,2,3,……中的所有完全平方數(shù)，得到一個新數(shù)列．這個新數(shù)列的第2003項是(A)2046(B)2047(C)2048(D)2049設a,bR,ab≠0，那么，直線axy+b=0和曲線bx2+ay2=ab的圖形是OxOxyxyOxyOxyO過拋物線y2=8(x+2)的焦點F作傾斜角為60的直線．假設此直線與拋物線交于A,B兩點，弦AB的中垂線與x軸交于P點，那么線段PF的長等于(A)(B)(C)(D)8假設x[,]，那么y=tan(x+)tan(x+)+cos(x+)的最大值是(A)(B)(C)(D)x,y都在區(qū)間(2,2)內(nèi)，且xy＝1，那么函數(shù)u=+的最小值是(A)(B)(C)(D)在四面體ABCD中，設AB=1，CD=，直線AB與CD的距離為2，夾角為，那么四面體ABCD的體積等于(A)(B)(C)(D)二、填空題(每題9分,總分值54分)不等式|x|32x24|x|+3＜0的解集是__________.設F1,F2是橢圓的兩個焦點，P是橢圓上的點，且|PF1|:|PF2|=2:1，那么△PF1F2的面積等于__________.A={x|x24x+3＜0,xR},B={x|≤0,x22(a+7)x+5≤0,xR}．假設AB,那么實數(shù)a的取值范圍是____________.a,b,c,d均為正整數(shù)，且logab=,logcd=，假設ac=9,那么bd=________.將八個半徑都為1的球分兩層放置在一個圓柱內(nèi)，并使得每個球和其相鄰的四個球相切，且與圓柱的一個底面及側面都相切，那么此圓柱的高等于________.設Mn={(十進制)n位純小數(shù)0.|ai只取0或1(i=1,2,…,n1)，an=1}，Tn是Mn中元素的個數(shù)，Sn是Mn中所有元素的和，那么=_______.三、解答題(每題20分，總分值60分),證設A、B、C分別是復數(shù),,對應的不共線三點。證：曲線與中平行于AC的中位線只有一個公共點，并求出此點。一張紙上畫有半徑為R的圓O和圓內(nèi)一定點A，且OA=a，折疊紙片，使圓周上某一點剛好與A點重合，這樣的每一種折法，都留下一條直線折痕，當取遍圓周上所有點時，求所有折痕所在直線上點的集合。第二試一、過圓外一點P作圓的兩條切線和一條割線，切點為A、B，所作割線交圓于C、D兩點，C在P、D之間，在弦CD上取一點Q，使。求證：二、設三角形的三邊長分別是整數(shù)且,，其中，求這種三角形周長的最小值。三、由n個點和這些點之間的條連線段組成一個空間圖形，其中，，此圖中任四點不共面，每點至少有一條連線段，存在一點至少有q+2條連線段。證明：圖中必存在一個空間四邊形〔即由A,B,C,D和AB、BC、CD、DA組成的圖形〕。2003年全國高中數(shù)學聯(lián)賽第一試參考答案一、選擇題123456CBACDB提示：注意到,,故;題設方程可化為和,觀察圖形可知；易知直線AB的方程為,因此A,B兩點的橫坐標滿足方程,從而弦AB中點的橫坐標為,縱坐標,進而求得中垂線方程之后，令y=0，得點P的橫坐標即PF=；原函數(shù)可化為,可以證明函數(shù)在的區(qū)間上為增函數(shù)，故當時，y取最大值;消去y之后可得：,用根本不等式可求得函數(shù)u的最小值;可用等積法求得，過程略。二、填空題7..提示：原不等式可以化為:8.4是直角三角形，故的面積為;9.提示：,令,,那么只需在〔1，3〕上的圖象均在x軸的下方，其充要條件是,由此推出;10．93提示：由得,,又，故,推得,;11．提示：如圖，上下層的四個球的球心A1,B1,C1,D1,A,B,C,D分別是上下兩個邊長為2的正方形的頂點，且以它們的外接圓為上下底面構成圓柱，同時A1在底面上的射影M為弧AB的中點。由于A1A=A1B=AB=2,,,求得,故所求的高為；提示：,三、解答題13．證明：由可得當且僅當a=b=c=d時取等號……5分那么……………………15分因為不能同時相等，所以……20分14．設,那么代入并由復數(shù)相等可得即因為A,B,C不共線，所以,可見所給曲線是拋物線段〔圖略〕…………5分AB,BC的中點分別是,；所以DE的方程為……………10分聯(lián)立兩式得,得,注意到,所以拋物線與中平行于AC的中位線DE有且只有一個公共點，此點的坐標為,相應的復數(shù)為…………15分15．如圖建立直角坐標系，設,MN為AA1的中垂線，設P〔x,y〕是MN上任一點，那么|PA|=|PA1|……5分代入推得………10分可得其中,.所以…………15分平方后可化為所求點的集合為橢圓外〔含邊界〕局部。…………20分2003年全國數(shù)學聯(lián)賽二試解答1、證明∵、、、四點共圓，∴，由，∴，而是△的一個外角，，∴．故、、、四點共圓，從而．所以．命題得證．2、解∵，∴〔〕．考慮最小的正整數(shù)，使之滿足〔