2023年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷(理科)(全國卷ⅰ)2

2023年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷〔理科〕〔全國卷Ⅰ〕一、選擇題〔共12小題，每題5分，總分值60分〕1．〔5分〕函數(shù)的定義域?yàn)椤病矨．{x|x≥0} B．{x|x≥1} C．{x|x≥1}∪{0} D．{x|0≤x≤1}2．〔5分〕擲一個骰子，向上一面的點(diǎn)數(shù)大于2且小于5的概率為p1，拋兩枚硬幣，正面均朝上的概率為p2，那么〔〕A．p1＜p2 B．p1＞p2 C．p1=p2 D．不能確定3．〔5分〕在△ABC中，=，=．假設(shè)點(diǎn)D滿足=2，那么=〔〕A． B． C． D．4．〔5分〕設(shè)a∈R，且〔a+i〕2i為正實(shí)數(shù)，那么a=〔〕A．2 B．1 C．0 D．﹣15．〔5分〕等差數(shù)列{an}滿足a2+a4=4，a3+a5=10，那么它的前10項(xiàng)的和S10=〔〕A．138 B．135 C．95 D．236．〔5分〕假設(shè)函數(shù)y=f〔x〕的圖象與函數(shù)y=ln的圖象關(guān)于直線y=x對稱，那么f〔x〕=〔〕A．e2x﹣2 B．e2x C．e2x+1 D．e2x+27．〔5分〕設(shè)曲線在點(diǎn)〔3，2〕處的切線與直線ax+y+1=0垂直，那么a=〔〕A．2 B． C． D．﹣28．〔5分〕為得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)y=sin2x的圖象〔〕A．向左平移個長度單位 B．向右平移個長度單位C．向左平移個長度單位 D．向右平移個長度單位9．〔5分〕設(shè)奇函數(shù)f〔x〕在〔0，+∞〕上為增函數(shù)，且f〔1〕=0，那么不等式＜0的解集為〔〕A．〔﹣1，0〕∪〔1，+∞〕 B．〔﹣∞，﹣1〕∪〔0，1〕 C．〔﹣∞，﹣1〕∪〔1，+∞〕 D．〔﹣1，0〕∪〔0，1〕10．〔5分〕假設(shè)直線=1與圓x2+y2=1有公共點(diǎn)，那么〔〕A．a(chǎn)2+b2≤1 B．a(chǎn)2+b2≥1 C． D．11．〔5分〕三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)棱與底面邊長都相等，A1在底面ABC內(nèi)的射影為△ABC的中心，那么AB1與底面ABC所成角的正弦值等于〔〕A． B． C． D．12．〔5分〕如圖，一環(huán)形花壇分成A，B，C，D四塊，現(xiàn)有4種不同的花供選種，要求在每塊里種1種花，且相鄰的2塊種不同的花，那么不同的種法總數(shù)為〔〕A．96 B．84 C．60 D．48二、填空題〔共4小題，每題5分，總分值20分〕13．〔5分〕假設(shè)x，y滿足約束條件，那么z=2x﹣y的最大值為．14．〔5分〕拋物線y=ax2﹣1的焦點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，那么以拋物線與兩坐標(biāo)軸的三個交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積為．15．〔5分〕在△ABC中，AB=BC，．假設(shè)以A，B為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)C，那么該橢圓的離心率e=．16．〔5分〕等邊三角形ABC與正方形ABDE有一公共邊AB，二面角C﹣AB﹣D的余弦值為，M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，那么EM，AN所成角的余弦值等于．三、解答題〔共6小題，總分值74分〕17．〔10分〕設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且acosB﹣bcosA=c．〔Ⅰ〕求的值；〔Ⅱ〕求tan〔A﹣B〕的最大值．18．〔12分〕四棱錐A﹣BCDE中，底面BCDE為矩形，側(cè)面ABC⊥底面BCDE，BC=2，，AB=AC．〔Ⅰ〕證明：AD⊥CE；〔Ⅱ〕設(shè)CE與平面ABE所成的角為45°，求二面角C﹣AD﹣E的大小．19．〔12分〕函數(shù)f〔x〕=﹣x2+ax+1﹣lnx．〔Ⅰ〕當(dāng)a=3時，求函數(shù)f〔x〕的單調(diào)遞增區(qū)間；〔Ⅱ〕假設(shè)f〔x〕在區(qū)間〔0，〕上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．20．〔12分〕5只動物中有1只患有某種疾病，需要通過化驗(yàn)血液來確定患病的動物．血液化驗(yàn)結(jié)果呈陽性的即為患病動物，呈陰性即沒患?。旅媸莾煞N化驗(yàn)方法：方案甲：逐個化驗(yàn)，直到能確定患病動物為止．方案乙：先任取3只，將它們的血液混在一起化驗(yàn)．假設(shè)結(jié)果呈陽性那么說明患病動物為這3只中的1只，然后再逐個化驗(yàn)，直到能確定患病動物為止；假設(shè)結(jié)果呈陰性那么在另外2只中任取1只化驗(yàn)．〔Ⅰ〕求依方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)不少于依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)的概率；〔Ⅱ〕ξ表示依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)，求ξ的期望．21．〔12分〕雙曲線的中心為原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，兩條漸近線分別為l1，l2，經(jīng)過右焦點(diǎn)F垂直于l1的直線分別交l1，l2于A，B兩點(diǎn)．||、||、||成等差數(shù)列，且與同向．〔Ⅰ〕求雙曲線的離心率；〔Ⅱ〕設(shè)AB被雙曲線所截得的線段的長為4，求雙曲線的方程．22．〔12分〕設(shè)函數(shù)f〔x〕=x﹣xlnx．?dāng)?shù)列{an}滿足0＜a1＜1，an+1=f〔an〕．〔Ⅰ〕證明：函數(shù)f〔x〕在區(qū)間〔0，1〕是增函數(shù)；〔Ⅱ〕證明：an＜an+1＜1；〔Ⅲ〕設(shè)b∈〔a1，1〕，整數(shù)．證明：ak+1＞b．2023年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷〔理科〕〔全國卷Ⅰ〕參考答案與試題解析一、選擇題〔共12小題，每題5分，總分值60分〕1．〔5分〕〔2023?全國卷Ⅰ〕函數(shù)的定義域?yàn)椤病矨．{x|x≥0} B．{x|x≥1} C．{x|x≥1}∪{0} D．{x|0≤x≤1}【分析】偶次開方的被開方數(shù)一定非負(fù)．x〔x﹣1〕≥0，x≥0，解關(guān)于x的不等式組，即為函數(shù)的定義域．【解答】解：由x〔x﹣1〕≥0，得x≥1，或x≤0．又因?yàn)閤≥0，所以x≥1，或x=0；所以函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≥1}∪{0}應(yīng)選C．2．〔5分〕〔2023?全國卷Ⅰ〕擲一個骰子，向上一面的點(diǎn)數(shù)大于2且小于5的概率為p1，拋兩枚硬幣，正面均朝上的概率為p2，那么〔〕A．p1＜p2 B．p1＞p2 C．p1=p2 D．不能確定【分析】計(jì)算出各種情況的概率，然后比擬即可．【解答】解：大于2小于5的數(shù)有2個數(shù)，∴p1==；投擲一次正面朝上的概率為，兩次正面朝上的概率為p2=×=，∵＞，∴p1＞p2．應(yīng)選B．3．〔5分〕〔2023?全國卷Ⅰ〕在△ABC中，=，=．假設(shè)點(diǎn)D滿足=2，那么=〔〕A． B． C． D．【分析】把向量用一組向量來表示，做法是從要求向量的起點(diǎn)出發(fā)，盡量沿著向量，走到要求向量的終點(diǎn)，把整個過程寫下來，即為所求．此題也可以根據(jù)D點(diǎn)把BC分成一比二的兩局部入手．【解答】解：∵由，∴，∴．應(yīng)選A4．〔5分〕〔2023?全國卷Ⅰ〕設(shè)a∈R，且〔a+i〕2i為正實(shí)數(shù)，那么a=〔〕A．2 B．1 C．0 D．﹣1【分析】注意到a+bi〔a，b∈R〕為正實(shí)數(shù)的充要條件是a＞0，b=0【解答】解：〔a+i〕2i=〔a2+2ai﹣1〕i=﹣2a+〔a2﹣1〕i＞0，a=﹣1．應(yīng)選D．5．〔5分〕〔2023?全國卷Ⅰ〕等差數(shù)列{an}滿足a2+a4=4，a3+a5=10，那么它的前10項(xiàng)的和S10=〔〕A．138 B．135 C．95 D．23【分析】此題考查的知識點(diǎn)是等差數(shù)列的性質(zhì)，及等差數(shù)列前n項(xiàng)和，根據(jù)a2+a4=4，a3+a5=10我們構(gòu)造關(guān)于根本量〔首項(xiàng)及公差〕的方程組，解方程組求出根本量〔首項(xiàng)及公差〕，進(jìn)而代入前n項(xiàng)和公式，即可求解．【解答】解：∵〔a3+a5〕﹣〔a2+a4〕=2d=6，∴d=3，a1=﹣4，∴S10=10a1+=95．應(yīng)選C6．〔5分〕〔2023?全國卷Ⅰ〕假設(shè)函數(shù)y=f〔x〕的圖象與函數(shù)y=ln的圖象關(guān)于直線y=x對稱，那么f〔x〕=〔〕A．e2x﹣2 B．e2x C．e2x+1 D．e2x+2【分析】由函數(shù)y=f〔x〕的圖象與函數(shù)y=ln的圖象關(guān)于直線y=x對稱知這兩個函數(shù)互為反函數(shù)，故只要求出函數(shù)y=f〔x〕的反函數(shù)即可，欲求原函數(shù)的反函數(shù)，即從原函數(shù)y=ln中反解出x，后再進(jìn)行x，y互換，即得反函數(shù)的解析式．【解答】解：∵，∴，∴x=〔ey﹣1〕2=e2y﹣2，改寫為：y=e2x﹣2∴答案為A．7．〔5分〕〔2023?全國卷Ⅰ〕設(shè)曲線在點(diǎn)〔3，2〕處的切線與直線ax+y+1=0垂直，那么a=〔〕A．2 B． C． D．﹣2【分析】〔1〕求出函數(shù)y在點(diǎn)〔3，2〕處的斜率；〔2〕利用兩條直線互相垂直，斜率之間的關(guān)系k1?k2=﹣1，求出未知數(shù)a．【解答】解：∵y=∴y′=﹣∵x=3∴y′=﹣即切線斜率為﹣∵切線與直線ax+y+1=0垂直∴直線ax+y+1=0的斜率為﹣a．∴﹣?〔﹣a〕=﹣1得a=﹣2應(yīng)選D．8．〔5分〕〔2023?全國卷Ⅰ〕為得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)y=sin2x的圖象〔〕A．向左平移個長度單位 B．向右平移個長度單位C．向左平移個長度單位 D．向右平移個長度單位【分析】先根據(jù)誘導(dǎo)公式將函數(shù)化為正弦的形式，再根據(jù)左加右減的原那么進(jìn)行平移即可得到答案．【解答】解：∵，只需將函數(shù)y=sin2x的圖象向左平移個單位得到函數(shù)的圖象．應(yīng)選A．9．〔5分〕〔2023?全國卷Ⅰ〕設(shè)奇函數(shù)f〔x〕在〔0，+∞〕上為增函數(shù)，且f〔1〕=0，那么不等式＜0的解集為〔〕A．〔﹣1，0〕∪〔1，+∞〕 B．〔﹣∞，﹣1〕∪〔0，1〕 C．〔﹣∞，﹣1〕∪〔1，+∞〕 D．〔﹣1，0〕∪〔0，1〕【分析】首先利用奇函數(shù)定義與得出x與f〔x〕異號，然后由奇函數(shù)定義求出f〔﹣1〕=﹣f〔1〕=0，最后結(jié)合f〔x〕的單調(diào)性解出答案．【解答】解：由奇函數(shù)f〔x〕可知，即x與f〔x〕異號，而f〔1〕=0，那么f〔﹣1〕=﹣f〔1〕=0，又f〔x〕在〔0，+∞〕上為增函數(shù)，那么奇函數(shù)f〔x〕在〔﹣∞，0〕上也為增函數(shù)，當(dāng)0＜x＜1時，f〔x〕＜f〔1〕=0，得＜0，滿足；當(dāng)x＞1時，f〔x〕＞f〔1〕=0，得＞0，不滿足，舍去；當(dāng)﹣1＜x＜0時，f〔x〕＞f〔﹣1〕=0，得＜0，滿足；當(dāng)x＜﹣1時，f〔x〕＜f〔﹣1〕=0，得＞0，不滿足，舍去；所以x的取值范圍是﹣1＜x＜0或0＜x＜1．應(yīng)選D．10．〔5分〕〔2023?全國卷Ⅰ〕假設(shè)直線=1與圓x2+y2=1有公共點(diǎn)，那么〔〕A．a(chǎn)2+b2≤1 B．a(chǎn)2+b2≥1 C． D．【分析】用圓心到直線的距離小于或等于半徑，可以得到結(jié)果．【解答】解：直線與圓有公共點(diǎn)，即直線與圓相切或相交得：d≤r，∴應(yīng)選D．11．〔5分〕〔2023?全國卷Ⅰ〕三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)棱與底面邊長都相等，A1在底面ABC內(nèi)的射影為△ABC的中心，那么AB1與底面ABC所成角的正弦值等于〔〕A． B． C． D．【分析】法一：由題意可知三棱錐A1﹣ABC為正四面體，設(shè)棱長為2，求出AB1及三棱錐的高，由線面角的定義可求出答案；法二：先求出點(diǎn)A1到底面的距離A1D的長度，即知點(diǎn)B1到底面的距離B1E的長度，再求出AE的長度，在直角三角形AEB1中求AB1與底面ABC所成角的正切，再由同角三角函數(shù)的關(guān)系求出其正弦．【解答】解：〔法一〕因?yàn)槿庵鵄BC﹣A1B1C1的側(cè)棱與底面邊長都相等，A1在底面ABC內(nèi)的射影為△ABC的中心，設(shè)為D，所以三棱錐A1﹣ABC為正四面體，設(shè)棱長為2，那么△AA1B1是頂角為120°等腰三角形，所以AB1=2×2×sin60°=2，A1D==，所以AB1與底面ABC所成角的正弦值為==；〔法二〕由題意不妨令棱長為2，點(diǎn)B1到底面的距離是B1E，如圖，A1在底面ABC內(nèi)的射影為△ABC的中心，設(shè)為D，故DA=，由勾股定理得A1D==故B1E=，如圖作A1S⊥AB于中點(diǎn)S，易得A1S=，所以AB1==2，所以AB1與底面ABC所成角的正弦值sin∠B1AE==．應(yīng)選B．12．〔5分〕〔2023?全國卷Ⅰ〕如圖，一環(huán)形花壇分成A，B，C，D四塊，現(xiàn)有4種不同的花供選種，要求在每塊里種1種花，且相鄰的2塊種不同的花，那么不同的種法總數(shù)為〔〕A．96 B．84 C．60 D．48【分析】這道題比起前幾年出的高考題要簡單些，只要分類清楚沒有問題，分為三類：分別種兩種花、三種花、四種花，分這三類來列出結(jié)果．【解答】解：分三類：種兩種花有A42種種法；種三種花有2A43種種法；種四種花有A44種種法．共有A42+2A43+A44=84．應(yīng)選B二、填空題〔共4小題，每題5分，總分值20分〕13．〔5分〕〔2023?全國卷Ⅰ〕假設(shè)x，y滿足約束條件，那么z=2x﹣y的最大值為9．【分析】首先作出可行域，再作出直線l0：y=2x，將l0平移與可行域有公共點(diǎn)，直線y=2x﹣z在y軸上的截距最小時，z有最大值，求出此時直線y=2x﹣z經(jīng)過的可行域內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)，代入z=2x﹣y中即可．【解答】解：如圖，作出可行域，作出直線l0：y=2x，將l0平移至過點(diǎn)A處時，函數(shù)z=2x﹣y有最大值9．14．〔5分〕〔2023?全國卷Ⅰ〕拋物線y=ax2﹣1的焦點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，那么以拋物線與兩坐標(biāo)軸的三個交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積為2．【分析】先根據(jù)拋物線y=ax2﹣1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為坐標(biāo)原點(diǎn)，求得a，得到拋物線方程，進(jìn)而可知與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得答案．【解答】解：由拋物線y=ax2﹣1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為坐標(biāo)原點(diǎn)得，，那么與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為〔0，﹣1〕，〔﹣2，0〕，〔2，0〕，那么以這三點(diǎn)圍成的三角形的面積為故答案為215．〔5分〕〔2023?全國卷Ⅰ〕在△ABC中，AB=BC，．假設(shè)以A，B為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)C，那么該橢圓的離心率e=．【分析】設(shè)AB=BC=1，，那么，由此可知，從而求出該橢圓的離心率．【解答】解：設(shè)AB=BC=1，，那么，∴，．答案：．16．〔5分〕〔2023?全國卷Ⅰ〕等邊三角形ABC與正方形ABDE有一公共邊AB，二面角C﹣AB﹣D的余弦值為，M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，那么EM，AN所成角的余弦值等于．【分析】先找出二面角的平面角，建立邊之間的等量關(guān)系，再利用向量法將所求異面直線用基底表示，然后利用向量的所成角公式求出所成角即可．【解答】解：設(shè)AB=2，作CO⊥面ABDE，OH⊥AB，那么CH⊥AB，∠CHO為二面角C﹣AB﹣D的平面角，結(jié)合等邊三角形ABC與正方形ABDE可知此四棱錐為正四棱錐，那么，=故EM，AN所成角的余弦值故答案為：三、解答題〔共6小題，總分值74分〕17．〔10分〕〔2023?全國卷Ⅰ〕設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且acosB﹣bcosA=c．〔Ⅰ〕求的值；〔Ⅱ〕求tan〔A﹣B〕的最大值．【分析】此題考查的知識點(diǎn)是正弦定理及兩角和與差的正切函數(shù)，〔Ⅰ〕由正弦定理的邊角互化，我們可將中，進(jìn)行轉(zhuǎn)化得到sinAcosB=4cosAsinB，再利用弦化切的方法即可求的值．〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕的結(jié)論，結(jié)合角A，B，C為△ABC的內(nèi)角，我們易得tanA=4tanB＞0，那么tan〔A﹣B〕可化為，再結(jié)合根本不等式即可得到tan〔A﹣B〕的最大值．【解答】解：〔Ⅰ〕在△ABC中，，由正弦定理得即sinAcosB=4cosAsinB，那么；〔Ⅱ〕由得tanA=4tanB＞0當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故當(dāng)時，tan〔A﹣B〕的最大值為．18．〔12分〕〔2023?全國卷Ⅰ〕四棱錐A﹣BCDE中，底面BCDE為矩形，側(cè)面ABC⊥底面BCDE，BC=2，，AB=AC．〔Ⅰ〕證明：AD⊥CE；〔Ⅱ〕設(shè)CE與平面ABE所成的角為45°，求二面角C﹣AD﹣E的大?。痉治觥俊?〕取BC中點(diǎn)F，證明CE⊥面ADF，通過證明線面垂直來到達(dá)證明線線垂直的目的．〔2〕在面AED內(nèi)過點(diǎn)E作AD的垂線，垂足為G，由〔1〕知，CE⊥AD，那么∠CGE即為所求二面角的平面角，△CGE中，使用余弦定理求出此角的大?。窘獯稹拷猓骸?〕取BC中點(diǎn)F，連接DF交CE于點(diǎn)O，∵AB=AC，∴AF⊥BC．又面ABC⊥面BCDE，∴AF⊥面BCDE，∴AF⊥CE．再根據(jù)，可得∠CED=∠FDC．又∠CDE=90°，∴∠OED+∠ODE=90°，∴∠DOE=90°，即CE⊥DF，∴CE⊥面ADF，∴CE⊥AD．〔2〕在面ACD內(nèi)過C點(diǎn)作AD的垂線，垂足為G．∵CG⊥AD，CE⊥AD，∴AD⊥面CEG，∴EG⊥AD，那么∠CGE即為所求二面角的平面角．作CH⊥AB，H為垂足．∵平面ABC⊥平面BCDE，矩形BCDE中，BE⊥BC，故BE⊥平面ABC，CH?平面ABC，故BE⊥CH，而AB∩BE=B，故CH⊥平面ABE，∴∠CEH=45°為CE與平面ABE所成的角．∵CE=，∴CH=EH=．直角三角形CBH中，利用勾股定理求得BH===1，∴AH=AB﹣BH=AC﹣1；直角三角形ACH中，由勾股定理求得AC2=CH2+AH2=3+〔AC﹣1〕2，∴AB=AC=2．由面ABC⊥面BCDE，矩形BCDE中CD⊥CB，可得CD⊥面ABC，故△ACD為直角三角形，AD===，故CG===，DG==，，又，那么，∴，即二面角C﹣AD﹣E的大小．19．〔12分〕〔2023?大綱版Ⅱ〕函數(shù)f〔x〕=﹣x2+ax+1﹣lnx．〔Ⅰ〕當(dāng)a=3時，求函數(shù)f〔x〕的單調(diào)遞增區(qū)間；〔Ⅱ〕假設(shè)f〔x〕在區(qū)間〔0，〕上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【分析】〔1〕求單調(diào)區(qū)間，先求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)大于等于0即可．〔2〕f〔x〕在區(qū)間〔0，〕上是減函數(shù)，即f′〔x〕≤0在區(qū)間〔0，〕上恒成立，然后用別離參數(shù)求最值即可．【解答】解：〔Ⅰ〕當(dāng)a=3時，f〔x〕=﹣x2+3x+1﹣lnx∴解f′〔x〕＞0，即：2x2﹣3x+1＜0函數(shù)f〔x〕的單調(diào)遞增區(qū)間是．〔Ⅱ〕f′〔x〕=﹣2x+a﹣，∵f〔x〕在上為減函數(shù)，∴x∈時﹣2x+a﹣≤0恒成立．即a≤2x+恒成立．設(shè)，那么∵x∈時，＞4，∴g′〔x〕＜0，∴g〔x〕在上遞減，∴g〔x〕＞g〔〕=3，∴a≤3．20．〔12分〕〔2023?全國卷Ⅰ〕5只動物中有1只患有某種疾病，需要通過化驗(yàn)血液來確定患病的動物．血液化驗(yàn)結(jié)果呈陽性的即為患病動物，呈陰性即沒患?。旅媸莾煞N化驗(yàn)方法：方案甲：逐個化驗(yàn)，直到能確定患病動物為止．方案乙：先任取3只，將它們的血液混在一起化驗(yàn)．假設(shè)結(jié)果呈陽性那么說明患病動物為這3只中的1只，然后再逐個化驗(yàn)，直到能確定患病動物為止；假設(shè)結(jié)果呈陰性那么在另外2只中任取1只化驗(yàn)．〔Ⅰ〕求依方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)不少于依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)的概率；〔Ⅱ〕ξ表示依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)，求ξ的期望．【分析】〔1〕由題意得到這兩種方案的化驗(yàn)次數(shù)，算出在各個次數(shù)下的概率，寫出化驗(yàn)次數(shù)的分布列，求出方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)不少于依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)的概率．〔2〕根據(jù)上一問乙的化驗(yàn)次數(shù)的分布列，利用期望計(jì)算公式得到結(jié)果．【解答】解：〔Ⅰ〕假設(shè)乙驗(yàn)兩次時，有兩種可能：①先驗(yàn)三只結(jié)果為陽性，再從中逐個驗(yàn)時，恰好一次驗(yàn)中概率為：②先驗(yàn)三只結(jié)果為陰性，再從其它兩只中驗(yàn)出陽性〔無論第二次試驗(yàn)中有沒有，均可以在第二次結(jié)束〕，∴乙只用兩次的概率為．假設(shè)乙驗(yàn)三次時，只有一種可能：先驗(yàn)三只結(jié)果為陽性，再從中逐個驗(yàn)時，恰好二次驗(yàn)中概率為在三次驗(yàn)出時概率為∴甲種方案的次數(shù)不少于乙種次數(shù)的概率為：〔Ⅱ〕ξ表示依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)，∴ξ的期望為Eξ=2×0.6+3×0.4=2.4．21．〔12分〕〔2023?全國卷Ⅰ〕雙曲線的中心為原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，兩條漸近線分別為l1，l2，經(jīng)過右焦點(diǎn)F垂直于l1的直線分別交l1，l2于A，B兩點(diǎn)．||、||、||成等差數(shù)列，且與同向．〔Ⅰ〕求雙曲線的離心率；〔Ⅱ〕設(shè)AB被雙曲線所截得的線段的長為4，求雙曲線的方程．【分析】〔1〕由2個向量同向，得到漸近線的夾角范圍，求出離心率的范圍，再用勾股定理得出直角三角形的2個直角邊的長度比，聯(lián)想到漸近線的夾角，求出漸近線的斜率，進(jìn)而求出離心率．〔2〕利用第〔1〕的結(jié)論，設(shè)出雙曲線的方程，將AB方程代入，運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長公式，求出待定系數(shù)，即可求出雙曲線方程．【解答】解：〔1〕設(shè)雙曲線方程為，由，同向，∴漸近線的傾斜角為〔0，〕，∴漸近線斜率為：，∴．∵||、||、||成等差數(shù)列，∴|OB|+|OA|=2|AB|，∴|AB|2=〔|OB|﹣|OA|〕〔|OB|+|OA|〕=〔|OB|﹣|OA|〕?2|AB|，∴，∴，可得：，而在直角三角形OAB中，注意到三角形OAF也為直角三角形，即tan∠AOB=，而由對稱性可知：OA的斜率為k=tan，∴，∴2k2+3k﹣2=0，∴；∴，∴，∴．〔2〕由第〔1〕知，a=2b，可設(shè)雙曲線方程為﹣=1，∴c=b．由于AB的傾斜角為+∠AOB，故AB的斜率為tan〔+∠AOB〕=﹣cot〔∠AOB〕=﹣2，∴AB的直線方程為y=﹣2〔x﹣b〕，代入雙曲線方程得：15x2﹣32bx+84b2=0，∴x1+x2=，x1?x2=，∴4=?=?，