高中數(shù)學(xué)2.3.4圓與圓的位置關(guān)系一 新人教B必修2

2.3.4圓與圓的位置關(guān)系.

1.理解五種圓與圓的位置關(guān)系，掌握它的位置關(guān)系的判定方法．2．會利用圓與圓的位置關(guān)系求解圓的方程，了解圓系的使用方法．學(xué)習(xí)目標(biāo).

課堂互動講練知能優(yōu)化訓(xùn)練課前自主學(xué)案2.3.4.課前自主學(xué)案溫故夯基初中平面幾何介紹的兩個圓的位置關(guān)系，畫圖表示如圖．.知新益能1．圓與圓的位置關(guān)系圓與圓的位置關(guān)系如下表所示(注意“?”與“?”的不同)．.幾何法兩圓的位置關(guān)系代數(shù)法|C1C2|＞r1＋r2?相離?__________|C1C2|＝r1＋r2?外切?Δ＝0|r1－r2|＜|C1C2|＜r1＋r2?相交?________|C1C2|＝|r1－r2|?內(nèi)切?_________|C1C2|＜|r1－r2|?內(nèi)含?_________Δ＜0Δ＞0Δ＝0Δ＜0.思考感悟兩圓沒有交點，一定外離嗎？提示：不一定，還可能內(nèi)含．.2．相交弦與公切線問題設(shè)兩圓圓心距為d，兩圓半徑分別為R、r(R≥r)，則(1)當(dāng)d＞R＋r時，兩圓_______，此時有_______公切線；(2)當(dāng)d＝R＋r時，兩圓______，連心線過切點，有_______外公切線，_______內(nèi)公切線；(3)當(dāng)R－r＜d＜R＋r時，兩圓相交，連心線垂直平分公共弦，有_______外公切線；(4)當(dāng)d＝R－r時，兩圓內(nèi)切，連心線過切點，只有一條公切線．外離四條外切兩條一條兩條.3．圓系與圓系方程具有某種共同性質(zhì)的圓的集合，稱為_______．(1)同心圓系(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2，x0，y0為常數(shù)，r為參數(shù)．(2)圓心共線且半徑相等圓系(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2，r為常數(shù)，圓心(x0，y0)在直線Ax＋By＋C＝0上移動．(3)過兩已知圓fi(x，y)＝x2＋y2＋Dix＋Eiy＋Fi＝0(i＝1,2)的交點的圓系方程，x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0，圓系.即f1(x，y)＋λf2(x，y)＝0(λ≠－1)．當(dāng)λ＝－1時，變?yōu)?D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0，表示過兩圓的交點的直線(當(dāng)兩圓是同心圓時，此直線不存在)，當(dāng)兩圓相交時，此直線為公共弦所在直線；當(dāng)兩圓相切時，此直線為兩圓的公切線；當(dāng)兩圓相離時，此直線為與兩圓連心線垂直的直線．(4)過直線與圓交點的圓系方程設(shè)直線l：Ax＋By＋C＝0與圓C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交，則方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0表示過直線l與圓C的兩個交點的圓系方程．.課堂互動講練考點一判斷兩圓的位置關(guān)系考點突破利用幾何法計算圓心距．.例1

判斷下列兩圓的位置關(guān)系，若相交，請求出交點坐標(biāo)及公共弦長．(1)(x＋2)2＋(y－2)2＝1和(x－2)2＋(y－5)2＝16；(2)x2＋y2＋6x－7＝0和x2＋y2＋6y－27＝0.【分析】

由兩圓的圓心距與半徑關(guān)系可判定兩圓的位置關(guān)系，兩圓相交求交點，可由圓的方程聯(lián)立方程組，解方程組求交點坐標(biāo)，求弦長可由兩點間的距離公式或由幾何法求解．...求弦長的另一種方法：因為③式是公共弦所在直線的方程，所以第一個圓的圓心(－3,0)到直線的距離為..(2)求兩圓相交時的公共弦長的方法，方法一：代數(shù)法，即求兩圓交點，再利用兩點間的距離公式求解；方法二：利用幾何法求解，兩種方法比較，選用方法二更簡捷．.跟蹤訓(xùn)練1

a為何值時，兩圓x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0，(1)相切；(2)相交；(3)外離．解：將兩圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y＋2)2＝9，(x＋1)2＋(y－a)2＝4.設(shè)兩圓圓心距為d，則d2＝(a＋1)2＋(－2－a)2＝2a2＋6a＋5.(1)當(dāng)d＝5即2a2＋6a＋5＝25時，兩圓外切，此時a＝－5或a＝2.當(dāng)d＝1即2a2＋6a＋5＝1時，兩圓內(nèi)切，.此時a＝－1或a＝－2.(2)當(dāng)1<d<5即1<2a2＋6a＋5<25時，兩圓相交，此時－5<a<－2或－1<a<2.(3)當(dāng)d>5即2a2＋6a＋5>25時，兩圓外離，此時a>2或a<－5..考點二公共弦問題研究公共弦所在直線的方程或弦長．.例2

已知兩圓x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.(1)試判斷兩圓的位置關(guān)系；(2)求公共弦所在直線的方程；(3)求公共弦的長度．【分析】

只有當(dāng)兩圓相交時，才能將兩圓方程相減得到公共弦所在直線的方程，并求公共弦的長度．..【點評】求兩相交圓的公共弦的方程及公共弦長時，一般不用求交點的方法，常用兩方程相減法消去二次項，得到公共弦的方程，再由勾股定理求弦長．.跟蹤訓(xùn)練2判斷兩圓C1：x2＋y2－2x＝0與C2：x2＋y2－4y＝0的位置關(guān)系．若相交，求其公共弦長．...考點三圓系方程的應(yīng)用靈活選擇圓系方程來待定其系數(shù)．.例3

求圓心在直線x－y－4＝0上，且經(jīng)過兩圓x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交點的圓的方程．【分析】

求出圓心坐標(biāo)，代入直線方程即可．..【點評】關(guān)鍵是求圓心坐標(biāo)，并進(jìn)行檢驗是否增、失根．.跟蹤訓(xùn)練3求過直線2x＋y＋4＝0和圓x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的交點，且面積最小的圓的方程．解：設(shè)過直線2x＋y＋4＝0和圓x2＋y2＋2x－4y＋1＝0交點的圓系方程為x2＋y2＋2x－4y＋1＋λ(2x＋y＋4)＝0，整理得x2＋y2＋2(1＋λ)x－(4－λ)y＋1＋4λ＝0.要使圓的面積最小，即要求半徑r最小．..考點四兩圓位置關(guān)系的應(yīng)用利用兩圓位置關(guān)系的幾何性質(zhì)，建立代數(shù)關(guān)系式．.例4如圖，Rt△ABC的斜邊長為定值2m，以斜邊的中點O為圓心作半徑為n的圓，BC的延長線交圓于P，Q兩點，求證：|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2為定值．.【分析】

建立平面直角坐標(biāo)系，用字母或數(shù)值表示A，P，Q的坐標(biāo)，代入式子化簡推證．【證明】

如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點，以直線BC為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，于是有B(－m,0)，C(m,0)，P(－n,0)，Q(n,0)．.設(shè)A(x，y)，由已知，點A在圓x2＋y2＝m2(x≠±m(xù))上，|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2＝(x＋n)2＋y2＋(x－n)2＋y2＋4n2＝2x2＋2y2＋6n2＝2m2＋6n2.∵m，n均為定值，∴|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2為定值．【點評】本題為一幾何問題，若不通過建系用坐標(biāo)方法則不易解決，解答過程中應(yīng)注意：(1)點B，C關(guān)于O點對稱，點P，Q關(guān)于O點對稱，(2)A(x，y)滿足x2＋y2＝m2(x≠±m(xù))．.跟蹤訓(xùn)練4一動圓經(jīng)過定點M(－4,0)且與已知圓(x－4)2＋y2＝9相外切，求動圓圓心的軌跡方程．解：∵(x－4)2＋y2＝9，∴圓心C(4,0)，r1＝3.如圖所示．..方法感悟.方程組有兩組不同實數(shù)解?兩圓相交，有一組實數(shù)解?