D曲率高等數(shù)學(xué)同濟(jì)大學(xué)第六上冊(cè)

會(huì)計(jì)學(xué)1D曲率高等數(shù)學(xué)同濟(jì)大學(xué)第六上冊(cè)則弧長(zhǎng)微分公式為或幾何意義:若曲線由參數(shù)方程表示:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第1頁(yè)/共19頁(yè)二、曲率及其計(jì)算公式在光滑弧上自點(diǎn)M

開(kāi)始取弧段,其長(zhǎng)為對(duì)應(yīng)切線定義弧段上的平均曲率點(diǎn)

M

處的曲率注意:

直線上任意點(diǎn)處的曲率為0!機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束轉(zhuǎn)角為第2頁(yè)/共19頁(yè)例1.

求半徑為R

的圓上任意點(diǎn)處的曲率.解:

如圖所示,可見(jiàn):R

愈小,則K

愈大,圓弧彎曲得愈厲害;R

愈大,則K

愈小,圓弧彎曲得愈小.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第3頁(yè)/共19頁(yè)有曲率近似計(jì)算公式故曲率計(jì)算公式為又曲率K的計(jì)算公式二階可導(dǎo),設(shè)曲線弧則由機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第4頁(yè)/共19頁(yè)說(shuō)明:(1)若曲線由參數(shù)方程給出,則(2)若曲線方程為則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第5頁(yè)/共19頁(yè)例2.

我國(guó)鐵路常用立方拋物線作緩和曲線,處的曲率.點(diǎn)擊圖片任意處播放\暫停說(shuō)明:鐵路轉(zhuǎn)彎時(shí)為保證行車平穩(wěn)安全,求此緩和曲線在其兩個(gè)端點(diǎn)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束且

l<<R.

其中R是圓弧彎道的半徑,l

是緩和曲線的長(zhǎng)度,離心力必須連續(xù)變化,因此鐵道的曲率應(yīng)連續(xù)變化.第6頁(yè)/共19頁(yè)例2.

我國(guó)鐵路常用立方拋物線作緩和曲線,且

l<<R.

處的曲率.其中R是圓弧彎道的半徑,l

是緩和曲線的長(zhǎng)度,求此緩和曲線在其兩個(gè)端點(diǎn)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束解:顯然第7頁(yè)/共19頁(yè)例3.

求橢圓在何處曲率最大?解:故曲率為K

最大最小機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束求駐點(diǎn):第8頁(yè)/共19頁(yè)設(shè)從而

K

取最大值.這說(shuō)明橢圓在點(diǎn)處曲率機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束計(jì)算駐點(diǎn)處的函數(shù)值:最大.第9頁(yè)/共19頁(yè)三、曲率圓與曲率半徑設(shè)M

為曲線C

上任一點(diǎn),在點(diǎn)在曲線把以D為中心,R

為半徑的圓叫做曲線在點(diǎn)

M

處的曲率圓(密切圓),R

叫做曲率半徑,D

叫做曲率中心.在點(diǎn)M

處曲率圓與曲線有下列密切關(guān)系:(1)有公切線;(2)凹向一致;(3)曲率相同.M

處作曲線的切線和法線,的凹向一側(cè)法線上取點(diǎn)D

使機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第10頁(yè)/共19頁(yè)設(shè)曲線方程為且求曲線上點(diǎn)M

處的曲率半徑及曲率中心設(shè)點(diǎn)M

處的曲率圓方程為故曲率半徑公式為滿足方程組的坐標(biāo)公式.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第11頁(yè)/共19頁(yè)由此可得曲率中心公式(注意與異號(hào))當(dāng)點(diǎn)M(x,y)沿曲線移動(dòng)時(shí),的軌跡G

稱為曲線C的漸屈線,相應(yīng)的曲率中心曲率中心公式可看成漸曲線C稱為曲線G

的漸伸線

.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束屈線的參數(shù)方程(參數(shù)為x).點(diǎn)擊圖中任意點(diǎn)動(dòng)畫(huà)開(kāi)始或暫停第12頁(yè)/共19頁(yè)例4.設(shè)一工件內(nèi)表面的截痕為一橢圓,現(xiàn)要用砂輪磨削其內(nèi)表面,問(wèn)選擇多大的砂輪比較合適?解:設(shè)橢圓方程為由例3可知,橢圓在處曲率最大,即曲率半徑最小,且為顯然,砂輪半徑不超過(guò)時(shí),才不會(huì)產(chǎn)生過(guò)量磨損,或有的地方磨不到的問(wèn)題.例3目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第13頁(yè)/共19頁(yè)(仍為擺線)例5.

求擺線的漸屈線方程.解:代入曲率中心公式,得擺線目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第14頁(yè)/共19頁(yè)擺線半徑為a

的圓周沿直線無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)時(shí),點(diǎn)擊圖中任意點(diǎn)動(dòng)畫(huà)開(kāi)始或暫停其上定點(diǎn)M的軌跡即為擺線.參數(shù)的幾何意義擺線的漸屈線點(diǎn)擊圖中任意點(diǎn)動(dòng)畫(huà)開(kāi)始或暫停機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第15頁(yè)/共19頁(yè)內(nèi)容小結(jié)1.弧長(zhǎng)微分或2.曲率公式3.曲率圓曲率半徑曲率中心機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第16頁(yè)/共19頁(yè)思考與練習(xí)1.曲線在一點(diǎn)處的曲率圓與曲線有何密切關(guān)系?答:

有公切線;凹向一致;曲率相同.2.求雙曲線的曲率半徑

R,并分析何處R

最小?解:則