寧夏回族自治區(qū)銀川市2021屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期5月普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試文

PAGEPAGE11絕密★啟用前寧夏回族自治區(qū)銀川市2021屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期5月普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試文注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．作答時(shí)，務(wù)必將答案寫在答題卡上。寫在本試卷及草稿紙上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，滿分60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．集合，，則A．{0，1，2} B．{-1,0，1，2} C．{1，2} D．{﹣1，0，1}2．已知()，則=A．1 B． C．3 D．93．七巧板是中國(guó)古代勞動(dòng)人民發(fā)明的一種傳統(tǒng)智力玩具，它由五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成．（清）陸以湉《冷廬雜識(shí)》卷中寫道：近又有七巧圖，其式五，其數(shù)七，其變化之式多至千余，體物肖形，隨手變幻，蓋游戲之具，足以排悶破寂，故世俗皆喜為之．如圖是一個(gè)用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率為A． B． C． D．4．已知，則的值為A.B.C.D.5．函數(shù),的圖象可能是A．B．C． D．6．設(shè)直線：，與圓：交于，，且，則的值是A．10或30 B．10 C．－30 D．10或－307．達(dá)芬奇的經(jīng)典之作《蒙娜麗莎》舉世聞名．如圖，畫中女子神秘的微笑，數(shù)百年來(lái)讓無(wú)數(shù)觀賞者入迷．某業(yè)余愛(ài)好者對(duì)《蒙娜麗莎》的縮小影像作品進(jìn)行了粗略測(cè)繪，將畫中女子的嘴唇近似看作一個(gè)圓弧，在嘴角A，C處作圓弧的切線，兩條切線交于B點(diǎn)，測(cè)得如下數(shù)據(jù)：AB＝6cm，BC＝6cm，AC＝10.392cm(其中eq\f(\r(3),2)≈0.866)．根據(jù)測(cè)量得到的結(jié)果推算：將《蒙娜麗莎》中女子的嘴唇視作的圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角大約等于A． B． C． D．8．已知拋物線的焦點(diǎn)為，為拋物線上一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，則A．4 B．2 C． D．9．圓臺(tái)上、下底面的圓周都在一個(gè)直徑為10的球面上，其上、下底面半徑分別為4和5，則該圓臺(tái)的體積為A． B． C． D．10．在中，若，則A． B． C．或 D．或11．設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，若，且是的一個(gè)四等分點(diǎn)，則雙曲線C的離心率是A． B． C． D．512．平行于軸的直線與函數(shù)的圖像交于，兩點(diǎn)，則線段長(zhǎng)度的最小值為A．B．C．D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．設(shè)滿足約束條件，則的最小值是_____.14．在中，為邊上的中線，為的中點(diǎn)，若,則=_________．15．如圖圓錐的高，底面直徑是圓上一點(diǎn)，且，則與所成角的余弦值為_(kāi)______.16．關(guān)于函數(shù)有下述四個(gè)結(jié)論：①是偶函數(shù)；②在區(qū)間上單調(diào)遞減；③在有四個(gè)零點(diǎn)；④的值域是；⑤的周期為.其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是_________．三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分)17.（12分）已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，且是的等差中項(xiàng).（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若是數(shù)列的前n項(xiàng)和，若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．(12分)如圖，在直三棱柱中，，

為上的一點(diǎn)，．（1）若，求證：平面.（2）平面將棱柱分割為兩個(gè)幾何體，記上面一個(gè)幾何體的體積為，下面一個(gè)幾何體的體積為，求的值．19．（12分）2021年3月底，我國(guó)新冠肺炎疫情得到有效防控，但海外確診病例卻持續(xù)暴增，防疫物資供不應(yīng)求.某醫(yī)療器械廠開(kāi)足馬力，日夜生產(chǎn)防疫所需物品.質(zhì)量檢驗(yàn)員為了檢測(cè)生產(chǎn)線上零件的質(zhì)量情況，從生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取了50個(gè)零件進(jìn)行測(cè)量，根據(jù)所測(cè)量的零件質(zhì)量（單位：克），得到如圖的頻率分布直方圖：（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求這50個(gè)零件質(zhì)量的中位數(shù)（結(jié)果精確到0.01)；（2）若從這50個(gè)零件中質(zhì)量位于之外的零件中隨機(jī)抽取2個(gè)，求這兩個(gè)零件中恰好有1個(gè)是質(zhì)量在上的概率；（3）以各組數(shù)據(jù)的中間數(shù)值代表這組數(shù)據(jù)的平均水平，以頻率代表概率，已知這批零件有10000個(gè)，某采購(gòu)商提出兩種收購(gòu)方案：A．所有零件均以50元/百克收購(gòu)；B．質(zhì)量位于的零件以40元/個(gè)收購(gòu)，其他零件以30元/個(gè)收購(gòu).請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算為該廠選擇收益最好的方案.20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的焦距為4，且過(guò)點(diǎn)．（1）求橢圓的方程（2）設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，問(wèn)是否存在直線，使得為的垂心，若存在，求出直線的方程；若不存在，說(shuō)明理由．21．(12分)已知函數(shù)（其中，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．（1）若在點(diǎn)處的切線方程為，求；（2）若，函數(shù)恰好有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23兩題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分.22．[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)，且，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為．（1）寫出曲線和直線的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線與軸交點(diǎn)記為，與曲線交于，兩點(diǎn)，求．23．[選修4-5：不等式選講]已知是正實(shí)數(shù)，且．（1）求的最小值；（2）求證：．2021年數(shù)學(xué)(文科)參考答案選擇題123456789101112BCDABDCBBAAD二、填空題：13.14.15．16．②③⑤ 17.【解析】（1）因?yàn)閿?shù)列是公差為的等差數(shù)列，所以，2分故，所以；4分所以數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，因?yàn)槭堑牡炔钪许?xiàng)，所以，所以，解得；數(shù)列的通項(xiàng)公式為；6分（2）由（1）可知，故數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列8分，，10分因?yàn)楹愠闪?，所以，即?shí)數(shù)的取值范圍為12分18.【解析】（1）如圖，取中點(diǎn)，連接，．在直三棱柱中∵∴，，∵∴且，∴四邊形是平行四邊形∴．2分由題意為正三角形，側(cè)棱，，兩兩平行且都垂直于平面．∴，，4分∵，平面，，∴平面，又∵．∴平面．6分（2）正三棱柱的底面積，則體積．...5分下面一個(gè)幾何體為四棱錐，底面積，6分因?yàn)槠矫嫫矫?，過(guò)點(diǎn)作邊上的高線，如圖，在平面與平面垂直的性質(zhì)可得垂直于平面，故四棱錐的高等于．則，9分從而．11分∴12分19．【答案】（1）中位數(shù)為71.47；（2）；（3）該廠選擇方案B；答案見(jiàn)解析.【詳解】（1）零件質(zhì)量位于的頻率為，零件質(zhì)量位于的頻率為，2分，這50個(gè)零件質(zhì)量的中位數(shù)位于區(qū)間，設(shè)為，則，解得，故這50個(gè)零件質(zhì)量的中位數(shù)為71.474分（2）質(zhì)量位于的零件個(gè)數(shù)為個(gè)，質(zhì)量位于的零件個(gè)數(shù)為個(gè)，6分故這兩個(gè)零件中恰好有1個(gè)是質(zhì)量在上的概率為.8分（3）這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，9分方案A：收益為元；10分質(zhì)量位于的零件個(gè)數(shù)為個(gè)，質(zhì)量位于之外的零件個(gè)數(shù)為個(gè)，方案B：收益為元.11分，該廠選擇方案B.12分20.【解析】（1）由已知可得，2分解得，，所以橢圓的方程為．4分（2）由已知可得，，，，，可設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程整理，得．6分設(shè)，，，，則，，，，即．8分，，，即．，或．10分由△，得．又時(shí)，直線過(guò)點(diǎn)，不合要求，，故存在直線滿足題設(shè)條件．12分21.【解析】（1）,2分由題意可知，解得4分（2），6分問(wèn)題等價(jià)于的圖象和直線恰好有2個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍．令，則．令，則，∴在上單調(diào)遞減．又，∴當(dāng)時(shí)，，，∴在上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，，，∴在上單調(diào)遞減，∴的極大值即最大值為．8分∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．10分∴當(dāng)時(shí)，的圖象和直線恰好有2個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)恰好有兩個(gè)零點(diǎn)．12分22.解：（1）曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)，且，轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為．3分直線的極坐標(biāo)方程為，轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為．5分（2）直線與軸交點(diǎn)記為，即，轉(zhuǎn)換為參數(shù)方程為為參數(shù)）與曲