彈性地基梁理論

會(huì)計(jì)學(xué)1彈性地基梁理論3.1概述彈性地基梁：

是指擱置在具有一定彈性的地基上、各點(diǎn)與地基緊密相貼的梁。

例如：鐵路枕木、鋼筋混凝土條形基礎(chǔ)梁等等。通過這種梁將作用在它上面的荷載，分不到較大面積的地基上，即使承載力較低的地基，能承受較大的荷載，又使梁的變形減小，提高剛度降低內(nèi)力。地下建筑襯砌的計(jì)算，與彈性地基梁理論有密切的關(guān)系。第1頁/共57頁●彈性地基梁理論：

彈性地基梁是超靜定結(jié)構(gòu)，分布于梁上的地基反力大小及變化規(guī)律，與作用于梁上的荷載、梁的幾何形狀及尺寸、材料及地基的物理力學(xué)性質(zhì)有關(guān)，單用靜力平衡條件是不能求得的，實(shí)用上常采用一定的假定，以資簡化。目前，計(jì)算彈性地基梁的理論主要有以下兩種。3.1概述第2頁/共57頁一、以溫克爾假定為基礎(chǔ)的局部變形理論。認(rèn)為地基反力的大小僅與該點(diǎn)的地基沉降量成正比。按照這個(gè)假定來計(jì)算彈性地基梁，是將地基看成為無限多個(gè)各自孤立的彈簧，地基沉降只發(fā)生在梁的底面范圍內(nèi)（實(shí)際上，臨近梁四周的地基也發(fā)生沉陷）。另外，地基反力與其沉陷量間的比例系數(shù)，是與地基類別、受壓面積大小、加力的大小、加力的方向與次數(shù)有關(guān)，并不是常數(shù)，很難取得準(zhǔn)確值。所以，一般說來，溫克爾假定不能很好的符合實(shí)際情況。但當(dāng)硬地層上有一層較薄的松軟土層，而梁放在松軟土層上時(shí)，溫克爾假定比較符合實(shí)際。3.1概述第3頁/共57頁

二、把地基假定為半無限彈性體的共同變形理論。所謂半無限彈性體，是指地基表面為無限平面，梁擱置在上面，表面以下的地基為均質(zhì)、各向同性的無線彈性體。地基的沉降量，用彈性力學(xué)方法計(jì)算。地基反力，根據(jù)梁與地基的變形協(xié)調(diào)條件求的。采用這個(gè)假定，地基某點(diǎn)的沉降量不僅與該點(diǎn)的壓力有關(guān)，與其他點(diǎn)的壓力也有關(guān)；地基沉陷不僅發(fā)生在梁的底面范圍，也發(fā)生在臨近四周的范圍內(nèi)。同時(shí)反映地基性質(zhì)的是用它的彈性模量和泊松比，他們與受壓面積的大小和加力的大小無關(guān)。所以這個(gè)假定比溫克爾假定能更好的反映實(shí)際情況。3.1概述第4頁/共57頁

上述兩種理論，各有優(yōu)缺點(diǎn)，工程上都在使用，但在計(jì)算上局部變形理論更簡便些。由于目前對(duì)作用在襯砌結(jié)構(gòu)上的主要荷載——圍巖壓力還沒有完全認(rèn)識(shí)，取值不可能準(zhǔn)確，因此，在襯砌結(jié)構(gòu)計(jì)算中，多采用局部變形理論計(jì)算圍巖彈性抗力，使計(jì)算簡化。此外，某些工程問題，如圓柱水池、穹頂結(jié)構(gòu)，尚可比擬于局部變形理論進(jìn)行求解。3.1概述第5頁/共57頁3.2彈性地基梁的撓度曲線微分

方程式及其參數(shù)求解

在彈性地基梁局部變形理論中，除了采用溫克爾假外，還認(rèn)為梁的變形與地基的變形是協(xié)調(diào)的，即梁底面與地基表面始終是相貼的，沒有縫隙，地基的沉陷或隆起與梁的撓度是處處相等的。另外，由于梁與地基間的摩擦力對(duì)計(jì)算結(jié)果影響不大，可略去不計(jì)。梁的高跨比一般很小，其變形符合平面假定，因此，在分析中可直接引用材料力學(xué)有關(guān)的梁理論的若干結(jié)論。下面推導(dǎo)彈性地基梁局部變形理論的計(jì)算公式。第6頁/共57頁

設(shè)有長為l、寬為b的彈性地基等裁面宣粱，梁上作用有任意荷裁，其坐標(biāo)、荷裁及內(nèi)力的正方向如圖5—1所示。3.2彈性地基梁的撓度曲線微分

方程式及其參數(shù)求解第7頁/共57頁

在以下討論中，取粱變形前的左端截面中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸向右為正，y軸向下為正。分布荷載q(x)及集中荷載p向下為正，集中力偶荷載M順時(shí)針向?yàn)檎?。彎矩Mx。使梁上邊緣受拉為正，剪力：q(x)使微段反時(shí)針轉(zhuǎn)為正。撓度(沉陷)y(x)向下為正，角變位⊙x反時(shí)針轉(zhuǎn)為正。地基反力p(x)向上為正。3.2彈性地基梁的撓度曲線微分

方程式及其參數(shù)求解第8頁/共57頁

為建立撓度曲線微分方程式，在有分布荷裁q(x)的區(qū)段，裁取一微段dx來研究，其受力圖如圖5—1所示。由微段平衡條件得：根據(jù)溫克爾假定及地基與粱變形協(xié)調(diào)條件，地基反力p(x)與該點(diǎn)梁酌撓度成正比，即3.2彈性地基梁的撓度曲線微分

方程式及其參數(shù)求解第9頁/共57頁式中p(x)——梁單位長度上的地基反力(公斤／厘米)，

b——梁的寬度(厘米)，

k——比例系數(shù)，在地下建筑中稱圍巖彈性抗力系數(shù)

(公斤／厘米3。)，其物理意義為使單位面積地基沉陷單位深度時(shí)所需要的力。各種圍巖的彈性抗力系數(shù)，交附表5—3及附表5—4；

y(x)——梁的撓度(厘米)。3.2彈性地基梁的撓度曲線微分

方程式及其參數(shù)求解第10頁/共57頁

將公式(5—1)代入微段平衡方程式，并賂去高階微量后得由材料力學(xué)知，梁的彎矩與其撓度間有微分關(guān)系3.2彈性地基梁的撓度曲線微分

方程式及其參數(shù)求解第11頁/共57頁

將公式(5—3)代入公式(5—2)，并利用公式(5—4)后，得彈性地基梁的撓度曲線微分方程式中α——彈性地基梁的彈性特征值(1／厘米）

E——梁材料的彈性模量(公斤／厘米2)I——梁截面慣性矩(厘米4)。方程式(5—5)是一個(gè)四階常系數(shù)非齊次線性常微分式，下面將根據(jù)荷裁性質(zhì)及分布范圍，討論它的解。3.2彈性地基梁的撓度曲線微分

方程式及其參數(shù)求解第12頁/共57頁當(dāng)梁跨間無荷載時(shí)q(x)＝p＝M＝o，梁的變形及內(nèi)力由梁的端效應(yīng)引起，例如，圖5—2所示情況。這時(shí)梁的撓度曲線由微分方程式(5—5)對(duì)應(yīng)的齊次方程式求得3.2彈性地基梁的撓度曲線微分

方程式及其參數(shù)求解第13頁/共57頁

設(shè)方程式(5—5a)的解為yx＝er(ay)(其中r為常數(shù))，代人方程式(5—5。)后，得特征方程式它的四個(gè)根是兩對(duì)共軛復(fù)數(shù)因此，齊次方程式(5—5a)的四個(gè)線性無關(guān)的解為，3.2彈性地基梁的撓度曲線微分

方程式及其參數(shù)求解第14頁/共57頁當(dāng)利用歐拉公式及雙曲線函數(shù)定義時(shí)，即這四個(gè)解可寫為3.2彈性地基梁的撓度曲線微分

方程式及其參數(shù)求解第15頁/共57頁

§2.2.1梁跨間無荷載時(shí)的解這樣齊次方程式(5—5a)的通解為式中C1~C4為積分常數(shù)由梁兩端的四個(gè)邊界條件確定。將通解yx代入公式(5—3)及(5—4)，并利用公式(5—6)及下列微分關(guān)系后得第16頁/共57頁

§2.2.1梁跨間無荷載時(shí)的解

§2.2.1梁跨間無荷載時(shí)的解不難求得路問無荷載時(shí)，梁的變位及內(nèi)力為為了使用方便，用梁的起始端的初參數(shù)(物理量)替換式中的積分常數(shù)C1l—C4,如圖5—2所示，取梁左端：X＝o處的撓度y。、角變位Θ。彎矩M。及剪力Q。為初參數(shù)。那么，根據(jù)這些條化并注意到：x=0時(shí)、Ф1＝1，Ф2=Ф3=Ф4=0，從公式(5—10)求得第17頁/共57頁

§2.2.1梁跨間無荷載時(shí)的解

§2.2.1梁跨間無荷載時(shí)的解將C1l—C4代入公式(5—10)，得梁跨間無荷哉時(shí)，變位及內(nèi)力的初參數(shù)解為：第18頁/共57頁

3.3

梁跨間有荷載時(shí)的解第19頁/共57頁

3.3

梁跨間有荷載時(shí)的解首先討論集中力P的影響:梁段上荷載撓度曲線方程:顯然C點(diǎn)以右的撓度除初參數(shù)y。、Θ。、M。及Q。的影響按上式考慮外，還應(yīng)加上因P的影響產(chǎn)生的附加項(xiàng)△yx。第20頁/共57頁集中力P對(duì)其作用點(diǎn)c以右部分的撓度影響，正如在C點(diǎn)增加一個(gè)初參致p時(shí)(對(duì)C點(diǎn)以右部分而言)所產(chǎn)生的撓度?？紤]到這時(shí)的坐標(biāo)原點(diǎn)應(yīng)為x=ap，則P對(duì)其作用點(diǎn)C以右部分撓度影響的附加項(xiàng)為：或簡寫為

3.3

梁跨間有荷載時(shí)的解第21頁/共57頁同理，對(duì)于集中力偶M作用點(diǎn)D以右的部分，應(yīng)考慮以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)增加初參數(shù)－M后的撓度影響附加項(xiàng)．即

3.3

梁跨間有荷載時(shí)的解第22頁/共57頁

分布荷載q(x)對(duì)其以右部分的撓度影響附加項(xiàng)應(yīng)分為兩種情況討論。一是在荷載分布范圍EF內(nèi)，二是在荷載分布范圍以外，分別在兩區(qū)段]上積分，求得分布荷載q(x)在該二范圍內(nèi)引起的撓度附加項(xiàng)為：

3.3

梁跨間有荷載時(shí)的解第23頁/共57頁因此,梁跨間有荷載的撓曲線方程應(yīng)為:

3.3

梁跨間有荷載時(shí)的解第24頁/共57頁運(yùn)用相同的方法可導(dǎo)得各段角變位、彎矩及剪力的附加項(xiàng)。將它們匯總，最后得彈性地基等截面直梁的變位及內(nèi)力一般公式為：

3.3

梁跨間有荷載時(shí)的解第25頁/共57頁第26頁/共57頁式中y。Q?！蛇吔鐥l件確定的初參數(shù)，意義同前，

am,ap——集中力偶M及集中力P的作用點(diǎn)坐標(biāo)；

3.3

梁跨間有荷載時(shí)的解第27頁/共57頁例:

局部梯形荷載，有

3.3

梁跨間有荷載時(shí)的解第28頁/共57頁當(dāng)利用分部積分

3.3

梁跨間有荷載時(shí)的解第29頁/共57頁

3.3

梁跨間有荷載時(shí)的解第30頁/共57頁

3.3

梁跨間有荷載時(shí)的解第31頁/共57頁（F）

3.3

梁跨間有荷載時(shí)的解第32頁/共57頁（F）

3.3

梁跨間有荷載時(shí)的解第33頁/共57頁

對(duì)于全跨梯形荷載彈性地基等截面直梁

3.3

梁跨間有荷載時(shí)的解第34頁/共57頁第35頁/共57頁

3.4彈性地基短梁、長梁及剛性梁

在概述中我們提到，當(dāng)?shù)鼗旱膭偠群艽?，地基抗力近似為直線分布，地基梁的計(jì)算可退化為靜定問題計(jì)算。

為了計(jì)算方便，我們將地基梁分為剛性梁、柔性梁（長梁）和彈性梁（短梁）三種。

定義換算長度：

λ=αl

第36頁/共57頁

3.4彈性地基短梁、長梁及剛性梁

短梁(又稱有限長梁、彈性梁)：

l＜λ＜2.75

一般彈性地基梁，按上述方法計(jì)算第37頁/共57頁剛性梁：λ＜1

可認(rèn)為梁是絕對(duì)剛性的，即EI→∞，剛性梁的地基反力呈直線分布，其變位及內(nèi)力可由靜力平衡條件求得。

也可以把剛性梁視為短梁的特例，直接由短粱導(dǎo)得計(jì)算公式。此時(shí)取α→0，作極限運(yùn)算。因?yàn)?/p>

3.4彈性地基短梁、長梁及剛性梁第38頁/共57頁則

3.4彈性地基短梁、長梁及剛性梁第39頁/共57頁式{……}內(nèi)為正時(shí)才值取，為負(fù)時(shí)舍去

3.4彈性地基短梁、長梁及剛性梁第40頁/共57頁長梁：λ>=2．75無限長梁：若荷載作用點(diǎn)距梁兩端的換算長度均>=2．75

，可忽略該荷載對(duì)梁端的影響，這類梁稱為無限長梁。無限長梁：若荷載作用點(diǎn)僅距梁一端的換算長度>=2．75

時(shí)，可忽略該荷載對(duì)這一端的影響，而對(duì)另一端的影響

不能忽略，這類梁稱為半無限長梁。無限長梁可化為兩個(gè)半無限長粱，因此，我們只討論半無限長梁。

3.4彈性地基短梁、長梁及剛性梁第41頁/共57頁由于作用在梁上的荷載，組合方式甚多，計(jì)算上應(yīng)分別對(duì)待，在此不作詳細(xì)討論，僅討論與襯砌計(jì)算有關(guān)的全跨梯形荷載情形。

3.4彈性地基短梁、長梁及剛性梁第42頁/共57頁

3.4彈性地基短梁、長梁及剛性梁第43頁/共57頁

3.4彈性地基短梁、長梁及剛性梁式中因此：第44頁/共57頁

3.4彈性地基短梁、長梁及剛性梁第45頁/共57頁式中

3.4彈性地基短梁、長梁及剛性梁第46頁/共57頁

3.5彈性地基梁解的應(yīng)用例1第47頁/共57頁

3.