專題03“三法”解決平面向量數(shù)量積問題(解析版)

2020高考數(shù)學(xué)壓軸題命題區(qū)間探究與突破專題第二篇三角與平面向量專題03“三法”解決平面向量數(shù)量積問題方法綜述平面向量的數(shù)量積是高考考查的重點、熱點，往往以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)常常以平面圖形為載體，借助于向量的坐標(biāo)形式等考查數(shù)量積、夾角、垂直的條件等問題；也易同三角函數(shù)、解析幾何等知識相結(jié)合，以工具的形式出現(xiàn).由于命題方式靈活多樣，試題內(nèi)容活潑、新穎，因此，在高考試卷中備受青睞，是一個穩(wěn)定的高頻考點.解決這類問題有三種基本方法：投影法、基底法和坐標(biāo)法.“三法”的準(zhǔn)確定位應(yīng)是并舉！即不應(yīng)人為地、憑主觀劃分它們的優(yōu)劣，而應(yīng)具體問題具體分析.本專題舉例說明解答解決平面向量數(shù)量積問題的方法、技巧.解題策略類型一投影定義法【例1】【2020?山東壽光現(xiàn)代中學(xué)月考】如圖，在平面四邊形ABCD中，AB1BC,AD1CD,/BAD=120o,AB=AD=1,uuvuuv若點E為邊CD上的動點，則AE-BE的最小值為()21A一21A一A16D.3C.區(qū)【答案】A【解析】連接BD,取AD中點為O,可知^ABD為等腰三角形，而AB1BC,AD1CD，所以VBCD為等- uuiv uuuv邊三角形，BD=』3。設(shè)DE=tDC(0<t<1)LUTLWuuivuuivLUVUULVUUVLUVUIVUUUVLUVUULV3LUVUULVUUVAE?BE=(AD+DE)-(BD+DE)=AD-BD+DE-(AD+BD)+DE2=—+BD-DE+DE22一3 3 … 1 21K—2t+2(0<t<1)，所以當(dāng)t=4時，上式取最小值行，選A.

【指點迷津】1、數(shù)量積與投影的關(guān)系（數(shù)量積的幾何定義）:向量a,b數(shù)量積公式為a-向量a,b數(shù)量積公式為a-brrabcos。，rr可變形為a-b=cos。(r.'acos。進(jìn)而與向量投影找到聯(lián)系rr（1）數(shù)量積的投影定義：向量a,b的數(shù)量積等于其中一個向量的模長乘以另一個向量在該向量上的投影,rrarraTbrr（記人rTr為a在b上的投影）（2）投影的計算公式：由數(shù)量積的投影定義出發(fā)可知投影也可利用數(shù)量積和模長進(jìn)行求解:rra-b人rr=r~aTbb即數(shù)量積除以被投影向量的模長2、數(shù)量積投影定義的適用范圍：作為數(shù)量積的幾何定義，通常適用于處理幾何圖形中的向量問題（1） 圖形中出現(xiàn)與所求數(shù)量積相關(guān)的垂直條件，尤其是垂足確定的情況下（此時便于確定投影）例如：直角三角形，菱形對角線，三角形的外心（外心到三邊投影為三邊中點）（2） 從模長角度出發(fā)，在求數(shù)量積的范圍中，如果所求數(shù)量積中的向量中有一個模長是定值，則可以考慮利用投影，從而將問題轉(zhuǎn)化為尋找投影最大最小的問題【舉一反三】uunruuiruuir[2020-海南文昌一中期末】在AABC中，AB=2AC=2，P,Q為線段BC上的點，且BP=PQ=QC.uuruur5若AP.AQ=&，則ABAC=( )代…C60°D30°uuruuiruuir【解析】不妨設(shè)IBP1=1PQ1=1QC1=x,BC=3xAAuuruuruuruuruuruur.AP.AQ=(AB+BP)-(AC+CQ)uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur=AB.AC+BP.AC+AB-CQ+BP-CQ

uuruuruuorumruuruuruuoruur=AB-AC+BP-AC-AB-BP-BP-BPuuruuruuruuruuruur=AB-AC+BP-BC-BP-BP=2cosZABC+3x2-x2=—9?.?cosZABC=-x2+—18+1-9x2由余弦定理：cos/ABc=r-聯(lián)立得到：x=——3…八 1 …八…cosXABC=-—.,./ABC=120。，故選B2類型二基底法【例2【例2】［2020-贛州三中月考】在直角AABC中，M，N是斜邊BC上的兩個三等分點，已知AABC的面umruur積為2,則AM-AN的最小值為（*15A.——3*15A.——3C.1615「16D.—9【答案】【解析】our由題，設(shè)點M為斜邊BC上靠近點b的三等分點,umrmuorumr1umr2uur1【解析】our則AM=AB+BM=AB+3BC=3AB+3AC,uuruuruuruur1uur1umr2uurAN=AC+CN=AC——BC=-AB+-AC3 3 3 ，ourumr所以AM-AN=(2uur1uur\(ourumr所以AM-AN=(2uur1uur\(1uur2uur)

-AB+-AC--AB+-AC"3 3 )5uuuruuur22uur5uuruur2uur=_AB2+—AB-AC+-AC2999uuuruur因為直角VABC，所以AB1AC,則AB?AC=0,因為，“海uuruur..umrAB2+AC2—2AB|?|AC=8,當(dāng)且僅當(dāng)uuruuruur.umr二|?|AC=2AB|-|ACuur..umr=2,則AB|?|AC=4,所以uur 」AB=AC=2時等號成立，所以AM?AN—~x8=k，故選Duuuuruuur216【指點迷津】rr rr遇到幾何圖形中計算某兩個向量a,b數(shù)量積的問題，如果無法尋找到計算數(shù)量積的要素（a,b模長，夾角），rr那么可考慮用合適的兩個向量（稱為基底）將a,b兩個向量表示出來，進(jìn)而進(jìn)行運算.這也是在幾何圖形中處理向量數(shù)量積的一個重要方法.

如何選擇“合適”的基底：題目中是否有兩個向量模長已知，數(shù)量積可求呢？如果有，那就是它們了.所以在此類題目中首先可先確定那些向量的數(shù)量積與模長已知.常見的可以邊所成向量作基底的圖形有：等邊三角形，已知兩邊的直角三角形，矩形，特殊角的菱形等.【舉一反三】[2020-江蘇金陵中學(xué)開學(xué)考試】在等腰AABC中，已知底邊BC=2，點d為邊AC的中點，點E為邊ABini'ini' 1uuruur上一點且滿足EB=2AE，若BD-AC=--，則EC-AB=4【答案】3uuruuruuruur1uuruur1/umruur)1/uuruur)【解析】QD為AC的中點，BD=BA+AD=BA+—AC=BA+BC—BA)=BA+BC)2 2 2uuirunruurAC=BC-BAuur即22-BAuuruur1BDuuirunruurAC=BC-BAuur即22-BAuuruur1BD-AC=-2uur一=-1，可得BA=必2uurQAC2uuruuruuruuruuruur1uurBC2-2BA-BC+BA2，BA-BC=-BC2=22unruuurEC-AB=BE人AB=(2uuruur、uur-BA-BC-BA=13 )uurunruur2 4-BA2-BC-BA=—x5-2=-3 3■類型二坐標(biāo)法【例3[2020廣西大學(xué)附屬中學(xué)月考】在四邊形ABCD中，AD〃BC，AB=2乙，AD=5，/A=30。，uuvuuv點E在線段CB的延長線上，且AE=BE，則BD-AE=.【答案】-1.【解析】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則B（2、/3,0），Dig3,：）因為AD〃BC，ABAD=30。，所以ZCBA=150°因為AE=BE，所以ABAE=ZABE=30°所以直線be的斜率為七，其方程為y=—3-(x-2^3)直線ae直線ae的斜率為一言，其方程為y=-§xy=-y(x-2血，—得x=\：3,y=—i,所以、43y=———x3_ umruur -'35一E(、/3,—1).所以BDgAE=(―^-,2)^(v'3,—1)=—1【指點迷津】常見的可考慮建系的圖形：具備對稱性質(zhì)的圖形：長方形，正方形，等邊三角形，圓形帶有直角的圖形：直角梯形，直角三角形具備特殊角度的圖形(300,45。,60。,120。等)【舉一反三】【2020河北邯鄲一中期末】如圖，平行四邊形ABCD的兩條對角線相交于M，點P是MD的中點，若uurAB=2uurAB=2，umrAD=1，且ABAD=60o，uuruur

則AP-CP=【答案】-；8【解析】思路：本題抓住ABAD【答案】-；8【解析】思路：本題抓住ABAD=60。這個特殊角，可以考慮建立坐標(biāo)系，uur

同時由AB=2，uurAD=1可以寫出各點坐標(biāo)，從而將所求向量坐標(biāo)化后即可求解解：以AB為x軸，過A的垂線作為y軸得：B(2,0),D(1,毛(5l\,以寫出各點坐標(biāo)，從而將所求向量坐標(biāo)化后即可求解解：以AB為x軸，過A的垂線作為y軸得：B(2,0),D(1,毛(5l\,C-，后)<38，-8uur?.?AP=uur,CP=(13uuruur7AP-CP=-81717答案：一虧8強(qiáng)化訓(xùn)練uurumr1.【2019?廣東順德一中月考】如圖，在AABC中，AD1AB，BC=<3BD，AD=1，則AC-AD=（ ）B.3D.-3c.-w3uuruur[uuuruuur)uurZumr)uuuruur【解析】由題知AC-AD=MD+DC、AD=MD2+DC-AD因為BC=v3BDnBD+DC=氣,3BDnDC=(3-1)BDuuruur(—)uuruur(—)umrumr所以AC-AD=1+3-1BD-AD=1+3-UDB-DA

umruur又因為DB?DAumruur又因為DB?DA=uuir..umrDB|?|DAcosZADB=1，所以AC?AD=1+ 3-U=，故選A.uuuvuuuv2.[2020-天津市和平區(qū)二中月考】在VABC中，/A=60。,AB=3,AC=2.若BD=2DC,uuy uuivuuv ULUVUUIVAE=XAC-AB(XeR)，且AD?AE=-4，則人的值為3【答案】iiuuurunr umr1umr2unr【解析】AB?AC=3x2xcos600=3,AD=3AB+3AC，則TOC\o"1-5"\h\zuuruur1uur 2uuir uuruuurx 2X 1 2 3AD?AE=(-AB+—AC)(XAC—AB)=—x3+——x4-—x9-—x3=-4nX=—3 3 3 3 3 3 113.[2020-江蘇徐州一中月考】如圖，在VABC中，D是BC的中點，E在邊AB上，BE=2EA,AD與CEuuvuuvuuvunv AB交于點O.若AB?AC=6AO?EC，則=的值是 ./I/I【答案】t'3.【解析】如圖，過點D作DF//CE，交AB于點F，由BE=2EA，D為BC中點，知BF=FE=EA,AO=OD.AAuuruuruur/iuuruur^uuruuruuruurAOgEC=3ADgAC-A^=AB+AC^^AC-AE23fuuruur)(3fuuruur)(uur1uurA-MB+ACMAC——AB2 \ 3 )3(uuuruur1uuuruur

=_ABgAC——AB2+AC2-21 31uuuruurA-ABgAC3 )uuuruurA二uuuruurA二ABgAC-±AB2+AC213 3 )3(2uuuruur12uuuruuur1uuur3uuuruuuruuur=ABgAC-_AB2+_AC2=ABgAC22 ，1uur3uur1uur3uuruuruur得±AB2=-AC2,即AB=J3|AC,故4.[2020-海南東方一中期末】設(shè)AABC的外接圓的圓心為O，半徑為2,且滿足uuruuruurunrunruuruuruuruurunrOA-OB=OB-OC=OC-OA，則I^OB—OAI+IXOB-OCl(XeR)的最小值為.【答案】23uuruuuruur【解析】由題意可知，向量OA,OB,OC的模都等于2,uuruuruuruuruuruur uuruuuruur因為OA-OB=OB-OC=OC-OA，所以向量OA,OB,OC兩兩間的夾角為120°,uuruuruuruur由幾何意義可知，要求"B—OAI+IXOB—OCI的最小值，即求直線OB上的點M到A,C兩點間的距離之和的最小值，顯然當(dāng)A,M,C三點共線時，點M到A,C兩點的距離的和最小，設(shè)uuuruuuruuuruuur質(zhì)OB—OAI+IXOB—OCI=m,由余弦定理可得m =AC=V22+22-2x2x2xcos120。=2、昏.minuuuruuuruuuruuur5.[2020-江蘇亳州一中月考】)在AABC所在的平面上有一點P，滿足PA+PB+PC=AB，則uuruurPAPA-PBuuruuu=PB-PC1【答案】—萬uuruuruuruuuruuruuruuruuruuruuruur【解析】因為PA+PB+PC=AB，二PA+PB+PC=PB—PA，二PC=—2PAuurIPCI一p，a，c三點共線，如圖所示，uur-=2IPAIuuruurPA-PBuuruurPA-PBuuruur=PB-PCuur..uurPA-\PBcosZAPBuuruur P^-PCcosZCPBPAcosZAPB■uuut-T- PCcos（?！猌APB）PAcosZAPB—umr —PCcosZAPB12uuuruur6uuuruur6.[2020陜西寶雞一中期中】在VABC中，AB=3，BC=4，AC=2，若點O為VABC的重心，則AO-AC的值為 5【答案】6

【解析】取BC中點為d,Q點O為VABC的重心，AO=|AD（重心的性質(zhì)），LUT2UULT 3l+||-4|AO=二AD，由余弦定理得：cosABAC= (1、2x3(1、2x3x——+4"4uuuruur2uuruurAO-AC=-AD-AC31(umruur)uur1umruiruur1=_MBuuuruur2uuruurAO-AC=-AD-AC33 3 37.【2020黑龍江大慶一中期末】如圖，在等腰直角三角形ABC中，ABAC=90。,AB=2，以AB為直UUTUUT UUTUUT徑在VABC外作半圓O,P是半圓弧AB上的動點，點Q在斜邊BC上，若AB-AQ=2，則AQ-CP的取值范圍是.取值范圍是.【答案】|_-V2-1,0【解析】取AB中點為【解析】取AB中點為O，建立如下圖所示的直角坐標(biāo)系則A(-1,0),B(1,0),C(-1,-2)，設(shè)APOB=9，0g[0,兀]，則P(cos0,sin0)kBC=0:2)t，則BC:y=x-1BC 1—(-1)uur uuur設(shè)點Q(m,m-1),mg[-1,1]，則AB=(2,0),AQ=(m+1,m-1)uuruuur unrAB-AQ=2n2(m+1)=2nm=0，.AQ=(1,-1)UUTQCP=(cos0+1,sin0+2)

uuruuor (兀、AC-CP=cos0+1-sin。一2=-sin0+cos0-1=~^/2sin。一一-1I4)Q0eQ0e[0,兀]兀3兀4，T.?.0—一e4八兀兀 uuruur /-(J2)一八則當(dāng)0-4=-4,即0=°時’AC-。取最大值一72、〔-t|t=0TOC\o"1-5"\h\z八兀兀 3兀 umruur 一當(dāng)0-=~，即0=~時，AC-CP取最小值-<2x1-1=-\.'2-14 2 4uuruur r n則AQ?CP的取值范圍是|_-J2-1,0皿皿皿uur,,8.[2020甘肅武威一中期中】如圖所示，在△ABC中，AB=AC=2,AD=DC,DE=2EB，AE的延長線uuruur umruur交uuruur umruur交BC邊于點尸，若AF-BC=-；，則AE-AC=22【答案】§【解析】如圖，過點D做DGPAF,B易得:EFBE_1DG一旬一B易得:EFBE_1DG一旬一3EF=1DG3 ，CD1 八八1 1…=了，故DG=~AF，可得：EF=~AFAC2 2 6BFBE1FGAD1 1~FG—旬—2，g^~~c^~i,可得 —5 ，uuruuruur1uuruor1uuruor4uur1uurDG~AF同理:uurAF=AB+BF=AB+_BC=AB+_(AC-AB)=—AB+—AC5 5 5 5 ,uuuruuur 4 uuur1 uuuruuuruuur1 uuur4uuur 2 uuuruuur4由AF-BC=-4，可得(一AB+—AC)-(AC-AB)=—AC2-—AB2+—AB-AC=-5 5 5 5 5 5 5TOC\o"1-5"\h\z1,4,2— 4 2可得.一x4一―x4+—x2x2cosZBAC=-—可得.cosZBAC=—5 5 5 5 3uuruur5uuruur54uur1uuruur2uuruur1uur2 21 22AE-AC=—AF-AC=-(—AB+-AC)-AC=-AB-AC+-AC2=_x2x2x—+—x4=——6 65 5 3 5 3 36 9，CA，CA=1，點d、E分別是邊AB、BC的中9.【2020云南德宏一中期末】等腰AABC中，ZACB=§uuruur；uuruur；AE-DP的最大值為.點，點P是AABC（包括邊界）內(nèi)一點，則AE=TOC\o"1-5"\h\z<7 9【答案】—— -2 8…… 2?！窘馕觥吭诘妊麬ABC中，ZACB=-3，CA=1，所以CA=BC=1，因為E分別是邊BC的中點，所以EC=1BC=1在^ACE中，ZACE=120。,\AE2,\AE2=AC2+CE2-2-AC-CE-cos120。=12+-2x1x-x21 1c7=1+—+2=—4 4umrAE=建立直角坐標(biāo)系如下圖所示，則A乎0建立直角坐標(biāo)系如下圖所示，則A乎0)D(0,0),E，設(shè)P（x，y），則uurumrAE-DP=又直線uurumrAE-DP=又直線AC的方程是y=技x+上，直線BC的方程是y=223一.1x+——，3 2-3x-y+2-0-三3x-y+1-03 2y-0令Z=￥x+y，則yfx+4Z，當(dāng)直線過點Bm。9，Z有最大值；8(^31^. 、—3龍工y*丁，4J(x,y)-丁x+4，uuuruuruuuruur9所以AE-DP的