常用模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)

會(huì)計(jì)學(xué)1常用模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)一、為何要設(shè)計(jì)模擬低通濾波器首先將要設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器的指標(biāo)，轉(zhuǎn)變成模擬低通原型濾波器的指標(biāo)后，設(shè)計(jì)“模擬低通原型”濾波器。模擬濾波器的設(shè)計(jì)(逼近)不屬于本課程的范圍，但由于沒學(xué)過,在此介紹常用的二種模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)。1、Butterworth巴特渥斯濾波器2、Chebyshev切比雪夫?yàn)V波器它們都有嚴(yán)格的設(shè)計(jì)公式，現(xiàn)成的曲線和圖表供設(shè)計(jì)，它們?yōu)V波器各有特點(diǎn)。第1頁/共64頁典型模擬濾波器的特點(diǎn)1、Butterworth巴特渥斯濾波器它具有單調(diào)下降的幅頻特性；即最平幅度。2、Chebyshev切比雪夫?yàn)V波器在通帶或阻帶等波紋，可提高選擇性。3.Bessel貝塞爾濾波器在通帶內(nèi)有較好的線性相位特性。4.Ellipse橢圓濾波器其選擇性相對(duì)前三種是最好的。第2頁/共64頁二、模擬濾波器設(shè)計(jì)思想根據(jù)模擬濾波器設(shè)計(jì)要求，求出相應(yīng)的模擬系統(tǒng)函數(shù).使其逼近某個(gè)理想濾波器的特性。(濾波器的特性包括有：幅度特性、相位特性/群時(shí)延特性)，在此我們采用幅度平方函數(shù)特性來設(shè)計(jì)。第3頁/共64頁三、根據(jù)幅度平方函數(shù)確定系統(tǒng)函數(shù)

1、求濾波器的幅度平方函數(shù)設(shè)計(jì)模擬濾波器經(jīng)常要借助其幅度平方函數(shù)其中:Ha(s)是模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。假設(shè)p1,z1為Ha(s)的一個(gè)零點(diǎn)和一個(gè)極點(diǎn)，則-p1,-z1必為Ha(-s)的一個(gè)零點(diǎn)和極點(diǎn)，Ha(s)、Ha(-s)的零極點(diǎn)成象限對(duì)稱分布。所以必然有如下形式：＊＊-z1-p1z1p1＊＊第4頁/共64頁2、根據(jù)幅度平方函數(shù)設(shè)計(jì)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)的步驟我們知道，實(shí)際濾波器都是穩(wěn)定的，因此其極點(diǎn)一定位于S平面左半平面，這樣可根據(jù)幅度平方函數(shù)通過如下步驟分配零、極點(diǎn)來設(shè)計(jì)出模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。(1)由來確定象限對(duì)稱的S平面函數(shù)。(2)將因式分解，得到各零點(diǎn)和極點(diǎn)。(3)按照與Ha(s)的低頻特性或高頻特性的對(duì)比就可確定出增益常數(shù)。

第5頁/共64頁(1)由來確定象限對(duì)稱的S平面函數(shù)。

將代入中即得到s平面函數(shù)。第6頁/共64頁(2)將因式分解，得到各零點(diǎn)和極點(diǎn)。將左半平面的極點(diǎn)歸于Ha(s)。如無特殊要求，可取的對(duì)稱零點(diǎn)的任一半作為Ha(s)的零點(diǎn)。如要求是最小相位延時(shí)濾波器，則應(yīng)取左半平面零點(diǎn)作為Ha(s)的零點(diǎn)。且軸上的零點(diǎn)或極點(diǎn)都是偶次的，其中一半屬于Ha(s)

。

第7頁/共64頁(3)按照與Ha(s)的低頻特性或高頻特性,確定出增益常數(shù)。由的條件，代入可求得增益常數(shù)。第8頁/共64頁例子根據(jù)以下幅度平方函數(shù)確定系統(tǒng)函數(shù)Ha(s).第9頁/共64頁四、Butterworth巴特渥斯低通濾波器

1、幅度平方函數(shù)Butterworth低通濾波器具有通帶最平幅度逼近

特性，是一全極點(diǎn)型濾波器，且極點(diǎn)均勻分布上Ωc的圓上，并且與虛軸對(duì)稱。其最主要特點(diǎn)：在通帶內(nèi)，幅頻最平坦，隨著頻率的升高而單調(diào)下降。其幅度平方函數(shù)為其中N為整數(shù)，表示濾波器的階次，Ωc定義為截止頻率，為振幅響應(yīng)衰減到-3dB處的頻率。第10頁/共64頁2、Butterworth濾波器的極點(diǎn)分布

由可知Butterworth的零點(diǎn)全部在S=∞處，它是全極點(diǎn)型濾波器，且分布在半徑為Ωc的圓上,呈象限對(duì)稱分布。為了得到穩(wěn)定的濾波器，s左半平面的極點(diǎn)必須分配給Ha(s)，s右半平面的極點(diǎn)分配給Ha(-s)。取其分布在左平面的極點(diǎn),設(shè)計(jì)出巴特沃斯低通濾波器.第11頁/共64頁3、Butterworth的幅度響應(yīng)

及極點(diǎn)分布其中左半平面構(gòu)成Butterworth濾波器的系統(tǒng)函數(shù)極點(diǎn)不會(huì)落在S平面上的虛軸上第12頁/共64頁4、Butterworth濾波器階數(shù)N與幅度響應(yīng)的關(guān)系當(dāng)N增大時(shí)，濾波器的特性曲線變得陡峭，則更接近理想矩形幅度特性。第13頁/共64頁5、3dB帶寬第14頁/共64頁6、Butterworth濾波器的特點(diǎn)（總結(jié)）(1)當(dāng)Ω=0時(shí)，即Ω=0處無衰減。(2)當(dāng)Ω=Ωc時(shí)，在止帶內(nèi)的逼近是單調(diào)變化的，不管N為多少，所有幅頻特性曲線都經(jīng)過-3dB點(diǎn)，或說衰減3dB,這就是3dB不變性?；蛲◣ё畲笏p第15頁/共64頁(3)在Ω<Ωc的通帶內(nèi)：前(2N-1)階導(dǎo)數(shù)為零，因而Butterworth又稱最平幅度特性濾波器。隨著Ω由0變到Ωc，|Ha(jΩ)|2單調(diào)減小，N越大，減小越慢，也就是通帶內(nèi)特性越平坦。有最大平坦的幅度特性，即N階Butterworth低通濾波器在Ω=0處：第16頁/共64頁(4)在Ω>Ωc，即在過渡帶及阻帶中，|Ha(jΩ)|2

也隨Ω增加而單調(diào)減小，但是Ω/Ωc>1，故比通帶內(nèi)衰減的速度要快得多，N越大，衰減速度越大。當(dāng)Ω=Ωs

，即頻率為阻帶截止頻率時(shí)，衰減為：(5)濾波器的特性完全由其階數(shù)N決定。N越大，則通帶內(nèi)在更大范圍內(nèi)更接近于1，在止帶內(nèi)迅速地接近于零，因而幅頻特性更接近于理想的矩形頻率特性。2為阻帶最小衰減。第17頁/共64頁7、歸一化的Butterworth濾波器的系統(tǒng)函數(shù)在一般設(shè)計(jì)中，都先把Ωc設(shè)為1rad/s，這樣使頻率得到歸一化。歸一化的Butterworth濾波器的極點(diǎn)分布以及相應(yīng)系數(shù)都有現(xiàn)成表可查。即若令第18頁/共64頁8、Butterworth濾波器設(shè)計(jì)步驟

(1)根據(jù)設(shè)計(jì)規(guī)定，確定Ωc和N。(2)由確定Ha(s)Ha(-s)的極點(diǎn)。(3)Sk

的前N個(gè)值(k=1,2,...,N)，即Re(Sk)<0部分的極點(diǎn)，構(gòu)成Ha(s).(4)常數(shù)K0

可由A(Ω)和Ha(s)的低頻或高頻特性對(duì)比確定。

第19頁/共64頁9、例子導(dǎo)出Butterworth低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，設(shè)Ωc=1rad/s，N=3。解：方法一：根據(jù)幅度平方函數(shù)：第20頁/共64頁方法二方法二：由于Ωc=1rad/s,查表得第21頁/共64頁10、Butterworth濾波器的階數(shù)N設(shè)計(jì)公式第22頁/共64頁(1)已知Ωc、Ωs和As求ButterworthDF階數(shù)N第23頁/共64頁（2）已知Ωc、Ωs和Ω=Ωp的衰減Ap求ButterworthDF階數(shù)N第24頁/共64頁（3）已知Ωp、Ωs和Ω=Ωp的衰減Ap和As求ButterworthDF階數(shù)N第25頁/共64頁例子1試設(shè)計(jì)一個(gè)模擬低通Butterworth濾波器取N=3階，根據(jù)N=3，查表得歸一化系統(tǒng)函數(shù)：第26頁/共64頁第27頁/共64頁例子2設(shè)低通DF的3dB帶寬頻率wc=0.2π,止帶頻率ws=0.4π,在w=ws處的止帶衰減20lg|H(ejws)|=-15dB,試用脈沖響應(yīng)不變法（沖激不變法）設(shè)計(jì)一個(gè)Butterworth低通DF。(設(shè)采樣頻率fs=20kHz）解：設(shè)計(jì)分為4步。（1）將數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)轉(zhuǎn)變?yōu)槟M濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)。因?yàn)椋篺s=20kHz,則采樣間隔為T=1/fs=1/20kHz第28頁/共64頁對(duì)于沖激不變法，頻率變換是線性的。第29頁/共64頁(2)設(shè)計(jì)Ha(s)將上述設(shè)計(jì)指標(biāo)代入求出N階數(shù)第30頁/共64頁第31頁/共64頁第32頁/共64頁第33頁/共64頁x(n)0.534-0.5331.2411.599y(n)0.5341.241-0.5331.0010.306y(n)x(n)并聯(lián)型級(jí)聯(lián)型第34頁/共64頁例子3試用雙線性變換法設(shè)計(jì)Butterworth低通DF。已知低通DF的3dB帶寬頻率，止帶起始頻率，在處的止帶衰減解：（1）將DF的設(shè)計(jì)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為模擬濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)。對(duì)雙線性變換法根據(jù)3dB帶寬頻率第35頁/共64頁第36頁/共64頁第37頁/共64頁1.試設(shè)計(jì)一個(gè)模擬低通Butterworth（BW）型濾波器，要求截止頻率fp=5kHz,通帶最大衰減Ap=3dB,阻帶起始頻率fs=10kHz,阻帶衰減As=30dB。作業(yè)第38頁/共64頁五、切貝雪夫低通濾波器Chebyshev

1、引入原因Butterworth濾波器頻率特性，無論在通帶與阻帶都隨頻率而單調(diào)變化，因此如果在通帶邊緣滿足指標(biāo)，則在通帶內(nèi)肯定會(huì)有富裕量，也就是會(huì)超過指標(biāo)的要求，因而并不經(jīng)濟(jì)。更有效的方法是將指標(biāo)的精度要求均勻地分布在通帶內(nèi)，或均勻分布在阻帶內(nèi)，或同時(shí)均勻在通帶與阻帶內(nèi)，這時(shí)就可設(shè)計(jì)出階數(shù)較低的濾波器。這種精度均勻分布的辦法可通過選擇具有等波紋特性的逼近函數(shù)來完成。第39頁/共64頁2、Chebyshev濾波器的種類

在一個(gè)頻帶中，通帶或阻帶具有這種等紋特性可分為：（1）ChebyshevI型：在通帶中是等波紋的，在阻帶內(nèi)是單調(diào)的；（2）ChebyshevII型：在通帶中是單調(diào)的，在阻帶內(nèi)是等波紋的；由應(yīng)用的要求，決定采用哪種型式的Chebyshev濾波器第40頁/共64頁（1）ChebyshevI型幅頻特性和零極點(diǎn)圖（N=3）N=3ChebyshevI型，下面我們僅講此類型第41頁/共64頁（2）ChebyshevII型幅頻特性和零極點(diǎn)圖（N=3）N=3ChebyshevII型，其設(shè)計(jì)思想同ChebyshevI型，在此課程中我們就不作介紹。第42頁/共64頁3、ChebyshevI型幅度平方函數(shù)ChebyshevI型模擬濾波器的振幅平方函數(shù)為：第43頁/共64頁4、CN(x):N階Chebyshev多項(xiàng)式

(1)函數(shù)Chebyshev多項(xiàng)式：第44頁/共64頁（2）Chebyshev多項(xiàng)式圖形01-11-1xC4(x)C5(x)CN(x)第45頁/共64頁5、通帶等波紋振蕩第46頁/共64頁6、確定通帶內(nèi)波紋值ε第47頁/共64頁7、確定階數(shù)N

（1）N階特性階數(shù)N等于通帶內(nèi)最大和最小值個(gè)數(shù)的總和?？捎煞l特性中看出N階數(shù)。且當(dāng)：N=奇數(shù)，則Ω=0處有一最大值，N=偶數(shù)，則Ω=0處有一最小值。N=3和N=5N=4和N=6第48頁/共64頁（2）N階公式由止帶起始點(diǎn)s處的關(guān)系求出Chebyshev的階數(shù)。第49頁/共64頁8、求濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)

(1)求極點(diǎn)--1第50頁/共64頁8、求濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)

(1)求極點(diǎn)--2第51頁/共64頁8、求濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)

(1)求極點(diǎn)--3ChebyshevI型濾波器的極點(diǎn)，是一組分布在以bc為長(zhǎng)軸，以ac處為短軸的橢園上的點(diǎn)。第52頁/共64頁9、ChebyshevI型濾波器的歸一化系統(tǒng)函數(shù)若N=偶數(shù)時(shí)，當(dāng)s=0時(shí)，即=0。式中，k為歸一化系數(shù)。若N=奇數(shù)時(shí)，當(dāng)s=0時(shí)，即=0。第53頁/共64頁則歸一化后的Chebyshev濾波器系統(tǒng)函數(shù)為第54頁/共64頁10、ChebyshevDF設(shè)計(jì)步驟①首先要先確定ε，N和Ωc。②計(jì)算a，b。③確定Ha(s)Ha(-s)的極點(diǎn)。④取Re(Si)<0的極點(diǎn)，得到Ha(s)。

k可由A(Ω)和Ha(s)