其他-4第一章4第四節(jié)條件概率

第四節(jié)條件概率一、條件概率的定義

直觀上，用來表示在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的可能性大小的數，稱為在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率。記為P(B|A).例設有100件的某一批產品，其中有5件不合格品，而5件不合格品中又有3件是次品，2件是廢品。現任意在100件產品中抽取一件，求

1）抽得的是廢品的概率；

2）已知抽得的是不合格品,它是廢品的概率。解：令A表示“抽得的是廢品”這一事件，B表示“抽得的是不合格品”這一事件按古典概率計算易得：由此看到P（A）≠P（A|B）本例中條件概率P（A|B）是根據條件概率的直觀意義計算出來的，但一般地，條件概率如何定義呢？

通過簡單的運算得：

這好象給了我們一個“情報”，使我們得以在某個縮小了的范圍內來考慮問題.上述關系具有普遍意義：(1)從古典概率看：(2)從頻率的穩(wěn)定性上看：設實驗E做了n次，令：nA,nB,nAB分別表示事件A,B及AB在n次試驗中發(fā)生的次數，那么nAB/nB表示在B發(fā)生的那些結果中，A又出現的頻率，即：已知B發(fā)生的條件下，A發(fā)生的條件頻率fn(A|B)。

如果n足夠大，

fn(AB)接近P(AB),fn(B)接近P(B),則nAB/nB接近P(A|B),因此，在統計概率中上式亦成立。

若事件B已發(fā)生,則為使A也發(fā)生,試驗結果必須是既在B中又在A中的樣本點,即此點必屬于AB.由于我們已經知道B已發(fā)生,故B變成了新的樣本空間,于是有公式.(3)從直觀上看：1．定義:

設A，B是兩事件，且P(B)>0，稱為在事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率.注

（1）若P(A)>0，同樣可定義（2）條件概率P（?|B）滿足概率定義的三條公理，即

1.對于每一事件A，有1≥P（A/B）≥0;

2.P（|B）=1

3.設A1，A2……兩兩不相容，則有

P（Φ|B）=0P（A|B）=1?P（A|B）

P(A1∪A2|B)=P(A1|B)+P(A2|B)?P(A1A2|B)等等概率所證明的重要結果都適用于條件概率，例如：(3)P（A）與條件概率P（A|B）的關系：

P(A)>P(A|B)，P(A)<P(A|B),P(A)=P(A|B)這三種關系都有可能成立。后一種情況就是以后討論的獨立性。2．計算

一般有兩種方法：

(1)由條件概率定義：P(B|A)=P(AB)/P(A)

（在原樣本空間中求P(AB)、P(A)）

(2)按古典概型公式：P(B|A)=NAB/NA

（在壓縮后的樣本空間中考慮）

例1：100件產品，其中5件不合格品，5件不合格品中又有3件是次品，2件廢品。在100件中任意抽一件。

求（1）抽得是廢品B的概率;

（2）已知抽得的是不合格品A，它是廢品

的概率P(B|A)。條件概率P(A|B)與P(A)的區(qū)別

每一個隨機試驗都是在一定條件下進行的，設A是隨機試驗的一個事件，則P(A)是在該試驗條件下事件A發(fā)生的可能性大小.P(A)與P(A|B)的區(qū)別在于兩者發(fā)生的條件不同,它們是兩個不同的概念,在數值上一般也不同.

而條件概率P(A|B)是在原條件下又添加“B發(fā)生”這個條件時A發(fā)生的可能性大小，即P(A|B)仍是概率.例設某種動物由出生算起活到20年以上的概率為0.8，活到25年以上的概率為0.4.問現年20歲的這種動物，它能活到25歲以上的概率是多少？解：設A={能活20年以上}，B={能活25年以上}依題意，P(A)=0.8,P(B)=0.4所求為P(B|A).例2

一次擲10顆色子，已知至少出現了一個1點，求至少出現兩個1點的概率。由古典概型：于是所求概率為解設A:擲10顆色子，至少出現一個1點，

B:擲10顆色子，至少出現兩個1點，則AB.恰出現一個一點1.乘法公式

由條件概率定義，若P(B)>0，則P(AB)=P(A|B)P(B)

若P(A)>0,則P(AB)=P(B|A)P(A)

上述公式可推廣到任意有窮多個事件時的情形，例如，設A，B，C為事件，且P(AB)>0，則

P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)

這里，注意到由假設P(AB)>0可推得P(A)≥P(AB)>0.一般，設A1,A2,…,An為n個事件，n≥2,且P(A1A2…An-1)>0，則有:P(A1A2…An)=

P(A1)?P(A2|A1)…

?P(An-1|A1A2…An-2)?P(An|A1A2…An-1)二、關于條件概率的三個定理例1.盒中5個白球，2個黑球，連續(xù)不放回地取3次球，求第一、二次取得白球且第三次才取得黑球的概率。解：設Ai表示第i次取到黑球在利用條件概率求無條件P時，條件P往往用古典概型計算。例2.設某光學儀器廠制造的透鏡，第一次落下時打破的概率為1/2，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率為7/10，若前兩次落下未打破，第三次落下打破的概率為9/10，試求透鏡落下三次而未打破的概率。

解：Ai(i=1,2,3)表示事件“透鏡第i次落下打破”，以B表示事件“透鏡落下三次而未打破”。

因為B=ā1ā2ā3

，故有

P(B)=P(ā1ā2ā3)=P(ā1)P(ā2|ā1)P(ā3|ā1ā2)

=(1-1/2)(1-7/10)(1-9/10)=3/200

法二，按題意B=A1∪ā1A2∪ā1ā2A3

而A1，ā1A2，ā1ā2A3

是兩兩互不相容的事件，故有P(B)=P(A1)+P(ā1A2)+P(ā1ā2A3)

一個罐子中包含b個白球和r個紅球.隨機地抽取一個球，觀看顏色后放回罐中，并且再加進c個與所抽出的球具有相同顏色的球.這種手續(xù)進行四次，試求第一、二次取到白球且第三、四次取到紅球的概率.

（波里亞罐子模型）b個白球,r個紅球于是W1W2R3R4表示事件“連續(xù)取四個球，第一、第二個是白球，第三、四個是紅球.”

解:設Wi={第i次取出是白球},i=1,2,3,4Rj={第j次取出是紅球}，j=1,2,3,4用乘法公式容易求出

當c>0時，由于每次取出球后會增加下一次也取到同色球的概率.這是一個傳染病模型.每次發(fā)現一個傳染病患者，都會增加再傳染的概率.=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)P(W1W2R3R4)

監(jiān)獄看守通知三個囚犯,在他們中要隨機地選出一個處決,而把另外兩個釋放.囚犯甲請求看守秘密地告訴他,另外兩個囚犯中誰將獲得自由.因為我已經知道他們兩人中至少有一人要獲得自由，所以你泄露這點消息是無妨的.甲如果你知道了你的同伙中誰將獲釋，那么，你自己被處決的概率就由1/3增加到1/2,因為你就成了剩下的兩個囚犯中的一個了.乙丙NO！

對于看守的上述理由,你是怎么想的?解：記A={囚犯甲被處決},B={囚犯乙被處決}C={囚犯丙被處決}依題意，P(A)=1/3,P(A|)=P(A)／[1-P(B)]=1/2,P(A|)=1/2,看守說得對.甲

下面建立兩個用來計算復雜概率的重要公式：全概率公式和貝葉斯公式主要用于計算比較復雜事件的概率,它們實質上是加法公式和乘法公式的綜合運用.綜合運用加法公式P(AB)=P(A)+P(B)A、B互斥乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)P(A)>0先介紹樣本空間的劃分的定義。定義：設為試驗E的樣本空間，B1,B2,…,Bn為E的一組事件，若

（1）BiBj=Φ,ij,i,j=1,2,…,n;

（2）B1∪B2∪…∪Bn=，

則稱B1，B2，…,Bn為樣本空間的一個劃分。

例如，設試驗E為“擲一顆骰子觀察其點數”。它的樣本空間為={1，2，3，4，5，6}。E的一組事件B1={1，2，3}，B2={4，5}，B3={6}是的一個劃分，而事件組C1={1，2，3}，C2={3，4}，C3={5，6}不是的劃分。

設試驗E的樣本空間為，A為E的事件，B1，B2，…Bn為的一個劃分，且P(Bi)>0(i=1,2，…，n)則

P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+…+P(A|Bn)P(Bn)

稱為全概率公式。

證：因為A=A=A（B1∪B2∪…∪Bn）=AB1∪AB2∪…∪ABn由假設P(Bi)>0(i=1,2，…，n)，且

(ABi)∩(ABj)=，i≠j，于是

P(A)=P(AB1)+P(AB2)+…+P(ABn)

=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+…+P(A|Bn)P(Bn)2.全概率公式在較復雜情況下直接計算P(A)不易,但A總是伴隨著某個Bi出現，適當地去構造這一組Bi往往可以簡化計算.全概率公式的來由,不難由上式看出:“全”部概率P(A)被分解成了許多部分之和.它的理論和實用意義在于:例一箱同類型的產品,由三家工廠生產,其中1/2由甲廠生產,乙丙廠各生產1/4,又甲乙廠生產的產品均有2%的次品率,丙廠有4%的次品率,求任取一產品是次品的概率P(A);任取一產品是次品且恰是由甲廠生產的概率P(AB1);任取一產品發(fā)現是次品,問它是由甲廠生產的概率P(B1|A)

甲B1乙B2丙B3解:={箱中的全部產品}A:任取一產品是次品,Bi:取到的產品分別是由甲,乙,丙廠生產的.由題意:P(B1)=1/2,P(B2)=P(B3)=1/4,P(A|B1)=P(A|B2)=2/100;P(A|B3)=4/100且BiBj=Φ,ij,i,j=1,2,3.B1∪B2∪B3=S由全概率公式

P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3)=0.025.2)由乘法公式

P(AB1)=P(A|B1)P(B1)=0.01.3)P(B1|A)=P(B1A)/P(A),

由上面計算為0.4.

小結:利用全概率公式求P(A)時,關鍵是1)找到S的一個劃分B1，B2，…，Bn,A總隨著Bi出現,而

P(A|Bi)及P(Bi)容易求出.2)這個公式還可以從另外一個角度去理解，把Bi看成導致事件A發(fā)生的一種可能途徑。對于不同的途徑，A發(fā)生的概率即條件概率P（A/Bi）各不同，而采取哪個途徑卻是隨機的。直觀上易理解，在這種機制下，A的綜合概率P（A）應在最小的P（A/Bi）和最大的P（A/Bi）之間，它也不一定是所有P（A/Bi）的算術平均，因為各途徑被使用的機會P（Bi）各不同，正確的答案就是諸P（Bi）I=1,2,…n為權的加權平均值。

全概率公式還可以從另外一個角度去理解，B1

B2

…

Bn原因A結果P（Bi）P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+…+P(A|Bn)P(Bn)

加權平均值全概公式例盒中12個乒乓球，9個沒用過，第一次比賽從盒中任取3個球，用后放回，第二次比賽再從盒中任取3個球，求：第二次比賽時所取的3個球都是沒用過的概率。解：設A:第二次比賽時所取的3個球都是沒用過的;Bi:第一次比賽時所取的3個球恰有i個是沒用過的。則A的發(fā)生依賴于Bi的情況，Bi構成了任取3個球這一試驗的樣本空間的一個劃分。于是該球取自哪號箱的可能性最大?實際中還有下面一類問題，是“已知結果求原因”

這一類問題在實際中更為常見，它所求的是條件概率，是已知某結果發(fā)生條件下，求各原因發(fā)生可能性大小.

某人從任一箱中任意摸出一球，發(fā)現是紅球,求該球是取自1號箱的概率.1231紅4白或者問:接下來我們介紹為解決這類問題而引出的貝葉斯公式

該公式于1763年由貝葉斯(Bayes)給出.它是在觀察到事件B已發(fā)生的條件下，尋找導致B發(fā)生的每個原因的概率.定理：設試驗E的樣本空間為,A為E的事件，B1，B2，…，Bn為的一個劃分，且P（A）>0，P（Bi）>0（i=1，2，…，n），則

i=1，2，…，n.稱為貝葉斯（Bayes）公式。證：由條件概率的定義及全概率公式有i=1，2，…，n3.貝葉斯公式例2:對以往數據分析結果表明，當機器調整得良好時，產品的合格率為90%，而當機器發(fā)生某一故障時，其合格率為30%。每天早上機器開動時，機器調整良好的概率為75%，試求已知某日早上第一件產品是合格品時，機器調整良好的概率是多少？

解:設A為事件“產品合格”，B為事件“機器調整良好”已知:P(A|B)=0.9，P(A|B)=0.3,P（B）=0.75，所需求的概率為P(B|A)，由貝葉斯公式先驗概率后驗概率

全概率公式還可以從另外一個角度去理解，B1

B2

…

Bn原因A結果P（Bi）P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+…+P(A|Bn)P(Bn)

加權平均值全概公式

貝葉斯公式的解釋：P(B1)，P(B2)…，它是在沒有進一步的信息（不知A是否發(fā)生）的情況下，人們對B1，B2…，發(fā)一可能性大小的認識，現在有了新的信息（知道A發(fā)生），人們對B1，B2…發(fā)生可能性大小有了新的估價。

貝葉斯公式從數量上刻劃了這種變化。

貝葉斯公式作用在于“由結果推原因”，現在有一個“結果”A發(fā)生了，在眾多可能的“原因”中，到底是哪一個導致了這個結果？這是一個在日常生活和科學技術中常要問的問題。

在不了解案情細節(jié)(事件B)之前，偵破人員根據過去的前科，對他們作案的可能性有一個估計，設為比如原來認為作案可能性較小的某甲，現在變成了重點嫌疑犯.例如，某地發(fā)生了一個案件，懷疑對象有甲、乙、丙三人.甲乙丙P(A1)P(A2)P(A3)但在知道案情細節(jié)后,這個估計就有了變化.P(A1|B)知道B發(fā)生后P(A2

|B)P(A3|B)最大偏小例3:據調查某地區(qū)居民的肝癌發(fā)病率為0.0004，若記“該地區(qū)居民患肝癌”為事件B1并記B2=B1,則

P（B1）=0.0004，P（B2）=0.9996

現用甲胎蛋白法檢查肝癌，若呈陰性，表明不患肝癌，若呈陽性，表明患肝癌，由于技術和操作不完善以及種種特殊原因，是肝癌者還未必檢出陽性，不是患者也有可能檢出呈陽性，據多次實驗統計這二者錯誤發(fā)生的概率為：

P（A|B1）=0.99,P（A|B2）=0.05

其中事件A表示“陽性”，現設某人已檢出呈陽性，問他患肝癌的概率P（B1|A）是多少？解：

在實際中，醫(yī)生常用另一些簡單易行的輔助方法先進行初查，排除大量明顯不是肝癌的人，當醫(yī)生懷疑某人有可能患肝癌時，才建議用甲胎蛋白法檢驗。這時在被懷疑的對象中，肝癌的發(fā)病率已顯著提高了，比如說

P（B1）=0.4，這時再用貝葉斯公式進行計算，可得這樣就大大提高了甲胎蛋白法的準確率了。值得一提的是，后來的學者依據貝葉斯公式的思想發(fā)展了一整套統計推斷方法，叫作“貝葉斯統計”.可見貝葉斯公式的影響.

例2甲、乙、丙三人同時對飛機進行射擊,三人擊中的概率分別為0.4、0.5、0.7.飛機被一人擊中而擊落的概率為0.2,被兩人擊中而擊落的概率為0.6,若三人都擊中,飛機必定被擊落,求飛機被擊落的概率.

設B={飛機被擊落}

Ai={飛機被i人擊中},i=1,2,3

由全概率公式

P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)則B