高中數(shù)學(xué) 1.1.2、3四種命題精品同步導(dǎo)學(xué) 新人教A選修21

1.1.2四種命題.1．1.3四種命題間的相互關(guān)系..1.了解四種命題的概念．2.認識四種命題的結(jié)構(gòu)，會寫某命題的逆命題、否命題和逆否命題．3.認識四種命題之間的關(guān)系以及真假性之間的關(guān)系．4.會利用命題的等價性解決問題..1.結(jié)合命題真假的判定，考查四種命題的結(jié)構(gòu)．(重點、難點)2.對條件式的結(jié)論進行否定．(易錯點)3.理解四種命題的關(guān)系．(重點)4.等價命題的應(yīng)用．(難點)..下列語句中是命題的有

，是真命題的是

.(填序號)①四邊相等的四邊形是平行四邊形；②ax2＋bx＋c＝0是一元二次方程；③2是質(zhì)數(shù)嗎？④x2＋x＋1>0.①②④④.1．四種命題內(nèi)容欄目名稱定義表示形式互逆命題對于兩個命題，如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的

和

，那么這樣的兩個命題叫做

．其中一個命題叫原命題，另一個叫做原命題的

.原命題為“若p，則q”；逆命題為“

”結(jié)論條件互逆命題逆命題若q，則p.內(nèi)容欄目名稱定義表示形式互否命題對于兩個命題，其中一個命題的條件和結(jié)論恰好是另一個命題的

和

，這樣的兩個命題叫做互否命題．如果把其中的一個命題叫做原命題，那么另一個叫做原命題的

.原命題為“若p，則q”；否命題為“

”互為逆否命題對于兩個命題，其中一個命題的條件和結(jié)論恰好是另一個命題的

和

，這樣的兩個命題叫做互為逆否命題．如果把其中的一個命題叫做原命題，那么另一個叫做原命題的

.原命題為“若p，則q”；逆否命題為“

”條件的否定結(jié)論的否定否命題結(jié)論的否定條件的否定逆否命題若綈p，則綈q若綈p，則綈q.2.四種命題之間的相互關(guān)系.3．四種命題的真假性(1)四種命題的真假性，有且僅有下面四種情況.原命題逆命題否命題逆否命題真真

真假

假真

假假

真假假真真真假假.(2)四種命題的真假性之間的關(guān)系①兩個命題互為逆否命題，它們有

的真假性．②兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性

．相同關(guān)系沒有.答案：

C

.2．命題“若a>2，則a>6”以及它的逆命題、否命題、逆否命題中，真命題的個數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4解析：若a>2，則a>6是假命題；逆命題：若a>6，則a>2是真命題；否命題：若a≤2，則a≤6是真命題；逆否命題：若a≤6，則a≤2是假命題．答案：B.3．命題“若a>b，則2a>2b－1”的否命題為________．答案：若a≤b，則2a≤2b－1.4．把下列命題改寫成“若p，則q”的形式，并寫出它們的逆命題、否命題和逆否命題．(1)正數(shù)的平方根不等于0；(2)當(dāng)a≤2時，f(x)＝x2－ax＋1在[1，＋∞)上單調(diào)遞增．解析：(1)原命題：若a是正數(shù)，則a的平方根不等于0.逆命題：若a的平方根不等于0，則a是正數(shù)．否命題：若a不是正數(shù)，則a的平方根等于0.逆否命題：若a的平方根等于0，則a不是正數(shù)．.(2)原命題：若a≤2，則f(x)＝x2－ax＋1在[1，＋∞)上單調(diào)遞增．逆命題：若f(x)＝x2－ax＋1在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，則a≤2.否命題：若a>2，則f(x)＝x2－ax＋1在[1，＋∞)上不單調(diào)遞增．逆否命題：若f(x)＝x2－ax＋1在[1，＋∞)上不單調(diào)遞增，則a>2...

(2011·陜西高考)設(shè)a，b是向量，命題“若a＝－b，則|a|＝|b|”的逆命題是()A．若a≠－b，則|a|≠|(zhì)b|B．若a＝－b，則|a|≠|(zhì)b|C．若|a|≠|(zhì)b|，則a≠－b

D．若|a|＝|b|，則a＝－b.解析：命題“若a＝－b，則|a|＝|b|”的逆命題是“若|a|＝|b|，則a＝－b”，所以選D.答案：D. 分別寫出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題．(1)若實數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，則b2＝ac；(2)函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是減函數(shù)時，loga2<0..[解題過程](1)名稱命題原命題若實數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，則b2＝ac逆命題若實數(shù)a，b，c滿足b2＝ac，則a，b，c成等比數(shù)列否命題若實數(shù)a，b，c不成等比數(shù)列，則b2≠ac逆否命題若實數(shù)a，b，c，且b2≠ac，則a，b，c不成等比數(shù)列.(2)名稱命題原命題若函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，則loga2<0逆命題若loga2<0，則函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是減函數(shù)否命題若函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，則loga2≥0逆否命題若loga2≥0，則函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函數(shù).[題后感悟](1)寫命題的四種形式時，首先要找出命題的條件和結(jié)論，然后寫出命題的條件的否定和結(jié)論的否定，再根據(jù)四種命題的結(jié)構(gòu)寫出所求命題．(2)交換原命題的條件和結(jié)論，得到逆命題．同時否定原命題的條件和結(jié)論，得到否命題．交換原命題的條件和結(jié)論，并且同時否定，得到逆否命題．.1.寫出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題．(1)若m·n＜0，則方程mx2－x＋n＝0有實根；(2)“若x＝2，則x2＋x－6＝0”；(3)垂直于同一平面的兩直線平行．解析：(1)逆命題：若方程mx2－x＋n＝0有實數(shù)根，則m·n＜0.否命題：若m·n≥0，則方程mx2－x＋n＝0沒有實數(shù)根．逆否命題：若方程mx2－x＋n＝0沒有實數(shù)根，則m·n≥0..(2)逆命題：“若x2＋x－6＝0，則x＝2”．否命題：“若x≠2，則x2＋x－6≠0”．逆否命題：“若x2＋x－6≠0，則x≠2”．.(3)原命題：若兩直線垂直于同一平面，則兩直線平行．逆命題：如果兩條直線平行，那么這兩條直線垂直于同一個平面．否命題：如果兩條直線不垂直于同一平面，那么這兩條直線不平行．逆否命題：如果兩條直線不平行，那么這兩條直線不垂直于同一平面．. 寫出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題，并判斷命題的真假．(1)若方程x2＋2x＋a＝0有實根，則a<1；(2)若ab＝0，則a＝0或b＝0；(3)若x2＋y2＝0，則x，y全為零．..[解題過程](1)原命題：若方程x2＋2x＋a＝0有實根，則a<1，假命題．逆命題：若a<1，則方程x2＋2x＋a＝0有實根，真命題．否命題：若方程x2＋2x＋a＝0無實根，則a≥1，真命題．逆否命題：若a≥1，則方程x2＋2x＋a＝0無實根，假命題．.(2)逆命題：若a＝0或b＝0，則ab＝0.真命題．否命題：若ab≠0，則a≠0，且b≠0.真命題．逆否命題：若a≠0，且b≠0，則ab≠0.真命題．(3)逆命題：若x，y全為零，則x2＋y2＝0.真命題．否命題：若x2＋y2≠0，則x，y不全為零．真命題．逆否命題：若x，y不全為零，則x2＋y2≠0.真命題．.[題后感悟]對于命題在判斷它的真假性時，如果直接判斷有難度可以利用原命題與逆否命題、逆命題與否命題的等價性，先判斷等價命題的真假，由等價命題的真假確定原來命題的真假．.2.判斷下列命題的真假，并寫出它們的逆命題、否命題、逆否命題，同時判斷這些命題的真假．(1)若a>b，則ac2>bc2；(2)若四邊形的對角互補，則該四邊形是圓的內(nèi)接四邊形；(3)若在二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac<0，則該二次函數(shù)圖象與x軸有公共點．.解析：(1)該命題為假．因為當(dāng)c＝0時，ac2＝bc2.逆命題：若ac2>bc2，則a>b，為真．否命題：若a≤b，則ac2≤bc2，為真．逆否命題：若ac2≤bc2，則a≤b，為假．.(2)該命題為真．逆命題：若四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，則四邊形的對角互補．為真．否命題：若四邊形的對角不互補，則該四邊形不是圓的內(nèi)接四邊形，為真．逆否命題：若四邊形不是圓的內(nèi)接四邊形，則四邊形的對角不互補，為真．.(3)該命題為假．∵當(dāng)b2－4ac<0時，二次方程ax2＋bx＋c＝0沒有實數(shù)根，因此二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸無公共點．逆命題：若二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸有公共點，則b2－4ac<0，為假．否命題：若在二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac≥0，則該二次函數(shù)圖象與x軸沒有公共點，為假．逆否命題：若二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸沒有公共點，則b2－4ac≥0，為假．. 證明：已知函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)，a、b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，則a＋b≥0..[規(guī)范作答]證法一：原命題的逆否命題為“已知函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)，a，b∈R，若a＋b<0，則f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．”4分若a＋b<0，則a<－b，b<－a，6分又∵f(x)在R上是增函數(shù)，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a).10分∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，即逆否命題為真命題.11分∴原命題為真命題.12分.證法二：假設(shè)a＋b<0，則a<－b，b<－a，2分又∵f(x)在R上是增函數(shù)，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a).6分∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b).9分這與已知條件f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)相矛盾.11分因此假設(shè)不成立，故a＋b≥0.12分.[題后感悟](1)由于原命題與其逆否命題是等價的，因此當(dāng)證明原命題感到困難或?qū)υ}不易判斷真假時，可考慮證明或判斷它的逆否命題是否成立．(2)利用逆否命題與原命題等價，可以省去否定條件和結(jié)論時的過程，簡化問題的求解．...為了便于書寫各種命題，當(dāng)原命題不是“若p，則q”的形式時，應(yīng)先將命題寫成規(guī)范形式“若p，則q”，然后再進行書寫．例如：寫出命題“偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱”的逆命題、否命題、逆否命題．由于原命題不是以“若p，則q”的形式給出，因此先把命題“偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱”改寫成“若函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，則f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱”，則：.逆命題：若f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，則函數(shù)f(x)為偶函數(shù)；否命題：若函數(shù)f(x)不是偶