勾股定理的逆定理

數(shù)學新課標（RJ）八年級下冊探究新知探究新知新知梳理新知梳理重難互動探究重難互動探究第十七章勾股定理17.2勾股定理的逆定理17.2勾股定理的逆定理教材重難處理

教材【第33頁例2】改編題如圖17－2－1所示，某港口P位于東西方向的海岸線上．“遠航”號、“海天”號輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行，“遠航”號每小時航行16n

mile，“海天”號每小時航行12n

mile，它們離開港口一個半小時后分別位于點Q，R處，且相距30n

mile.如果知道“遠航”號沿東北方向航行，請解答下列問題：17.2勾股定理的逆定理(1)求證：△PRQ是直角三角形；(2)“海天”號沿哪個方向航行呢？(3)求△PRS與△PQS的面積之比；(4)如果將方向線看成坐標軸，求點S的坐標．圖17－2－117.2勾股定理的逆定理17.2勾股定理的逆定理17.2勾股定理的逆定理探究新知

?活動1知識準備17.2勾股定理的逆定理1．在直角三角形中，兩直角邊長分別為6cm，8cm，則斜邊長是__________．2．若在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝50°，則△ABC為_______三角形．3．已學過的直角三角形的判定方法：___________________________________、__________________________________________．10_cm直角有一個角是90°的三角形是直角三角形有兩個角互余的三角形是直角三角形

?活動2教材導學17.2勾股定理的逆定理下面的四組數(shù)分別是一個三角形的三邊長a，b，c.①a＝5，b＝12，c＝13；②a＝6，b＝8，c＝10；③a＝7，b＝24，c＝25；④a＝8，b＝15，c＝17.17.2勾股定理的逆定理(1)計算驗證，這四組數(shù)有幾組滿足a2＋b2＝c2?(2)分別用每組數(shù)為三邊作三角形，用量角器量一量，它們有幾個是直角三角形？你認為所得到的結(jié)論的共同特點是什么？[答案](1)都滿足(2)略新知梳理

?知識點一勾股定理的逆定理17.2勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2＋b2＝c2，那么這個三角形是____________________．[注意](1)c為三角形中最長的邊；(2)長度為c的邊所對的角為直角．勾股數(shù)：能夠成為直角三角形三邊長的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．直角三角形17.2勾股定理的逆定理

?知識點二互逆命題互逆命題：如果兩個命題的題設(shè)、結(jié)論_______________，我們就把這樣的兩個命題叫做______________．原命題與逆命題：如果我們把其中一個叫做____________，那么另一個叫做它的____________．[注意]一個命題有真假之分，其逆命題也有真假之分．原命題是真命題，逆命題不一定是真命題；原命題是假命題，逆命題也不一定就是假命題．正好相反互逆命題原命題逆命題17.2勾股定理的逆定理

?知識點三逆定理一般地，如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是正確的，它也是一個定理，稱這兩個定理互為逆定理．[說明](1)逆定理一定是真命題；(2)勾股定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，因此該命題也叫勾股定理的逆定理．重難互動探究探究問題一直角三角形的判別17.2勾股定理的逆定理[解析]首先求出線段a，b，c的平方數(shù)，看它們之間是否滿足較小兩數(shù)的平方和等于最大數(shù)的平方．第(3)小題可設(shè)a＝3k，b＝4k，c＝5k后，再判斷．17.2勾股定理的逆定理解：(1)∵52

＋122

＝169，132

＝169，∴52

＋122

＝132，∴這個三角形是直角三角形．(2)∵42

＋52

＝41,62

＝36，∴42

＋52≠62，∴這個三角形不是直角三角形．17.2勾股定理的逆定理(3)設(shè)三角形的三邊長分別為3k，4k，5k，∵(3k)2

＋(4k)2

＝25k2，(5k)2

＝25k2，∴(3k)2

＋(4k)2

＝(5k)2，∴這個三角形是直角三角形．(4)∵(m4－n4)2＋(2m2n2)2＝m8－2m4n4＋n8＋4m4n4＝m8＋2m4n4＋n8＝(m4＋n4)2

，∴這個三角形是直角三角形．17.2勾股定理的逆定理[歸納總結(jié)]判定直角三角形的一般步驟：(1)先找出三角形中最長的邊c；(2)分別計算a2＋b2和c2；(3)判斷a2＋b2和c2是否相等．若相等則是直角三角形；若不相等，則不是直角三角形．具體運用時，只要看兩條較小邊長的平方和是否等于最大邊長的平方即可．17.2勾股定理的逆定理探究問題二勾股定理及其逆定理的綜合運用17.2勾股定理的逆定理[解析]要求四邊形ABCD的面積，將它轉(zhuǎn)化為兩個三角形面積之和，已知AB⊥BC，所以連接AC，則△ABC為直角三角形，同時，根據(jù)勾股定理的逆定理可證明△ACD也是直角三角形．17.2勾股定理的逆定理17.2勾股定理的逆定理[歸納總結(jié)]單一應(yīng)用：先由勾股定理的逆定理得出直角三角形后，再求這個直角三角形的角度或求面積．綜合應(yīng)用：先由勾股定理求出三角形的邊，再由勾股定理的逆定理確定三角形的形狀，進而解決其他問題．逆向應(yīng)用：(非直角三角形的判定)如果一個三角形的較短的兩邊的平方和不等于最長邊的平方，那么，這個三角形就不是直角三角形．當一個四邊形不是規(guī)則四邊形時，往往將其面積通過割或者補的辦法轉(zhuǎn)化為三角形的面積計算．一個直角三角形中，若已知兩邊長應(yīng)考慮計算第三邊長；若一個三角形三邊長都已知，則考慮判定該三角形是不是直角三角形．17.2勾股定理的逆定理例3

如圖17－2－3所示，南北向MN為我國領(lǐng)域，即MN以西為我領(lǐng)海，以東為公海，上午9時50分，我國反走私艇A發(fā)現(xiàn)正東方向有一走私艇C以13海里/時的速度偷偷向我領(lǐng)海開來，便立即通知正在MN線上巡邏的我國反走私艇B，已知A，C兩艇的距離是13海里，A，B兩艇的距離是5海里，反走私艇B測得離C艇的距離是12海里，若走私艇C的速度不變，最早會在什么時間進入我國領(lǐng)海？圖17－2－317.2勾股定理的逆定理[解析]為減小思考問題的“跨度”，可將原問題分解成下述“子問題”：(1)△ABC是什么類型的三角形？(2)走私艇C進入我領(lǐng)海的最近距離是多少？(3)走私艇C最早會在什么時間進入？這樣問題就可迎刃而解．17.2勾股定理的逆定理17.2勾股定理的逆定理[歸納總結(jié)](1)在應(yīng)用題中要學會建立數(shù)學模型，靈活運用勾股定理的逆定理判斷哪些三角形是直角三角形，然后在直角三角形中運用勾股定理求出要求的線段長．(2)應(yīng)注意解決這類問題的手段和工具是構(gòu)造直角三角形，運用勾股定理及其逆定理求解．17.2勾股定理的逆定理探究問題三互逆命題17.2勾股定理的逆定理[解析]寫出一個命題的逆命題關(guān)鍵是要識別這個命題的題設(shè)和結(jié)論，把一個命題的題設(shè)和結(jié)論對調(diào)就得到這個命題的逆命題.(1)的題設(shè)是兩直線平行，結(jié)論是同位角相等．(2)的題設(shè)是x＝1，結(jié)論是x2－1＝0.(3)的題設(shè)是兩個角是對頂角，結(jié)論是這兩個角相等．17.2勾股定理的逆定理解：(1)命題成立．逆命題是“同位角相等，兩直線平行”．逆命題成立．(2)命題成立．逆命題是“若x2－1＝0，則x＝1”．逆命題不成立，因為當x2－1＝0時，