《大學(xué)物理實驗》第二部分 誤差理論與有效數(shù)字

PAGEPAGE25第1章誤差理論與有效數(shù)字1.1測量與誤差在物理實驗中，總要進行大量的測量工作。測量包含兩個必要的過程，一是對許多物理量進行檢測，二是對測量的數(shù)據(jù)進行處理。在實驗前，必須對所觀測的對象進行分析研究，以確定實驗方法和選擇具有適當(dāng)精度的測量儀器。在實驗后，對測得的數(shù)據(jù)加以整理、歸納，用一定的方式(列表或圖解)表示出它們之間的相互關(guān)系，并對實驗結(jié)果給予合理的解釋，做出正確判斷。以上這些過程都與誤差理論密切相關(guān)。例如，計算中取幾位有效數(shù)字，作圖時選多大的比例值等。若處理數(shù)據(jù)不當(dāng)，就會影響測量結(jié)果的準(zhǔn)確度，因此不能隨心所欲。否則，實驗中精細(xì)的測量都是徒勞的。1.1.1測量的基本概念1.測量的含義任何實驗都離不開測量，沒有測量就沒有科學(xué)。在一定條件下，任何物理量都必然具有某一客觀真實的數(shù)據(jù)。所謂測量就是把待測物理量與作為計量單位的同類已知量相比較，找出待測物理量是單位多少倍的過程。這個倍數(shù)叫做測量的讀數(shù)，讀數(shù)加上單位記錄下來就是數(shù)據(jù)。任何物理量都是有單位的。因此，在物理實驗中測量物理量記錄數(shù)據(jù)時，一定要記錄單位。在完成測量時，必須明確測量對象、測量單位、測量方法和測量準(zhǔn)確度，通常把這四點稱為測量的四要素。2.測量的分類按測量方法的不同，測量可分為直接測量和間接測量；按測量條件的不同，測量又分為等精度測量和不等精度測量。=1\*GB2⑴、直接測量和間接測量直接測量是把一個量與同類量直接進行比較以確定待測量的量值。一般基本量的測量都屬于此類，如用米尺測量物體的長度，用天平稱鐵塊的質(zhì)量，用秒表測量單擺的周期等。儀表上所標(biāo)明的刻度或從顯示裝置上直接讀取的值，都是直接測量的量值。在物理實驗中，能夠直接測量的量畢竟是少數(shù)，大多數(shù)是根據(jù)直接測量所得數(shù)據(jù)在一定的函數(shù)關(guān)系下，通過運算得出所需要的結(jié)果。例如，直接測出單擺的長度和單擺的周期，應(yīng)用公式，以求重力加速度，這種測量稱為間接測量。=2\*GB2⑵、等精度測量和不等精度測量對某一量進行多次測量，得個數(shù)值：如果每次測量都是在相同的條件下進行的，則沒有理由認(rèn)為所得的個值中，某一個值比另一個值要測得準(zhǔn)確些。在這種情況下，所進行的一系列測量稱為等精度測量。所謂相同條件的含義，是指同一個人，用同一臺儀器，每次測量的周圍條件都相同(如測量時環(huán)境、氣溫、照明情況等未變動)。這種情況就可認(rèn)為各測量值的精確程度是相同的。對某一量，進行了次測量，得到個值：如果每次測量的條件不同，那么這些值的精確程度不能認(rèn)為是相同的。在這種情況下，所進行的一系列測量叫做不等精度測量。例如，同一實驗者用精度不同的3種天平稱量某一物體質(zhì)量，得到3個值、、，或者用3種不同的方法測量某一物質(zhì)的密度，得3個值、、，這都是不等精度測量。大學(xué)物理實驗中一般都采用等精度測量。1.1.2誤差的基本概念1.1.2.1真值任何一個物理量在某一時刻和某一位置或某一狀態(tài)下，都存在著一個客觀值，這個客觀值稱為真值。1.1.2.2絕對誤差與相對誤差1.絕對誤差測量當(dāng)然希望得到真值，但測量總是在一定的環(huán)境（溫度、濕度等)和儀器條件下進行的，由于測量條件（環(huán)境、溫度、濕度等）的變化以及儀器精度的不同，因而在任何測量中，測量結(jié)果與待測量客觀存在的真值之間總存在著一定的差異。測量值與真值的差值叫做測量誤差簡稱誤差。即 (1-1)由于是測量值對真值的絕對偏離，通常把它稱為絕對誤差。顯然，絕對誤差除大小外，還有正負(fù)（方向）。2.相對誤差絕對誤差的大小能夠反映對同一被測量的測量效果的好壞。例如，對一長度為1m左右的物體進行測量，絕對誤差為5cm的就比為10cm的測量效果好。但對不同的被測量就很難確定了，如測量長為1000m的物體的絕對誤差是1m，測量長為100cm（1-2）由相對誤差的大小就可以比較兩個測量結(jié)果的好與壞，上述例中的第一個測量相對誤差是0.1%，第二個測量相對誤差是1%，顯然第一個測量比第二個測量效果好。任何測量都不可避免地存在誤差，所以，一個完整的測量結(jié)果應(yīng)該包括測量值和誤差兩個部分。1.1.2.3.誤差的分類誤差按其性質(zhì)和產(chǎn)生原因可分為三大類：系統(tǒng)誤差、隨機誤差和粗大誤差。1.系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差的特征是：在同一條件下，多次測量同一個量時，誤差的大小和方向保持恒定，或在條件改變時，誤差的大小和方向按一定規(guī)律變化。增加測量次數(shù)并不能減少這種誤差對測量結(jié)果的影響。=1\*GB2⑴、系統(tǒng)誤差的主要來源①儀器誤差這是由于測量工具或儀器本身的缺陷而產(chǎn)生的，如天平臂不等長,砝碼標(biāo)稱質(zhì)量不準(zhǔn)確，尺子刻度偏大，表盤刻度不均勻等。②方法誤差這是由于實驗方法或理論不完善而導(dǎo)致的。如采用伏安法測電阻時，電表的內(nèi)阻產(chǎn)生的誤差，采用單擺周期公式測量周期時，擺角引起的誤差，這些都是方法誤差。③環(huán)境誤差這是由于周圍環(huán)境與實驗要求不一致而引起的誤差。如測量時實際溫度與所要求的溫度有偏差，測量過程中溫度、濕度、氣壓等按一定規(guī)律變化的因素引起的誤差。④人身誤差這是由于測量者本身的生理特點或固有習(xí)慣所引起的誤差，例如某些人在進行動態(tài)測量記錄某一信號時有滯后的傾向等。系統(tǒng)誤差一般都有較明顯的原因，因此可以采用適當(dāng)?shù)拇胧┘右韵拗苹蛳鼘y量結(jié)果的影響。系統(tǒng)誤差是測量誤差的重要組成部分，所以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差，弄清其產(chǎn)生原因，進而消除它對測量結(jié)果的影響則是物理實驗的一項重要任務(wù)。=2\*GB2⑵、發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差的方法提高測量精度，首要問題是發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差，然而在測量過程中形成系統(tǒng)誤差的因素是復(fù)雜的，目前還沒有能夠適用于發(fā)現(xiàn)各種系統(tǒng)誤差的普遍方法，只有根據(jù)具體測量過程和測量儀器進行全面的仔細(xì)分析，針對不同情況合理選擇一種或幾種方法加以校驗，才能最終確定有無系統(tǒng)誤差。下面簡單介紹幾種適用于發(fā)現(xiàn)某些系統(tǒng)誤差的常用方法。=1\*GB3①實驗對比法。這種方法主要適用于發(fā)現(xiàn)固定系統(tǒng)誤差，其基本思想是改變產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的條件，進行不同條件的測量。例如，采用不同方法測同一物理量，若其結(jié)果不一致，表明至少有一種方法存在系統(tǒng)誤差。還可采用儀器對比法、參量改變對比法，改變實驗條件對比法、改變實驗操作人員對比法等，測量時可根據(jù)具體實驗情況選用。②理論分析法。主要進行定性分析來判斷是否有系統(tǒng)誤差。如分析儀器所要求的工作條件是否滿足，實驗所依據(jù)的理論公式所要求的條件在測量過程中是否滿足，如果這些要求沒有滿足，則實驗必有系統(tǒng)誤差。③數(shù)據(jù)分析法。主要進行定量分析來判斷是否有系統(tǒng)誤差。一般可采用殘余誤差觀察法、殘余誤差校驗法、不同公式計算標(biāo)準(zhǔn)差比較法、計算數(shù)據(jù)比較法等方法。=3\*GB2⑶、系統(tǒng)誤差的減小和消除在實際測量中，如果判斷出有系統(tǒng)誤差存在，就必須進一步分析可能產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的因素，設(shè)法減小和消除系統(tǒng)誤差。由于測量方法、測量對象、測量環(huán)境及測量人員不盡相同，因而沒有一個普遍適用的方法來減小或消除系統(tǒng)誤差。下面簡單介紹幾種減小和消除系統(tǒng)誤差的方法和途徑。①從產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的根源上消除。從產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的根源上消除誤差是最根本的方法，通過對實驗過程中的各個環(huán)節(jié)進行認(rèn)真仔細(xì)分析，發(fā)現(xiàn)產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的各種因素?？梢詮南旅鎺讉€方面采取措施從根源上消除或減小誤差：:采用近似性較好又比較切合實際的理論公式，盡可能滿足理論公式所要求的實驗條件，選用能滿足測量誤差所要求的實驗儀器裝置，嚴(yán)格保證儀器設(shè)備所要求的測量條件，采用多人合作，重復(fù)實驗的方法。②引入修正項消除系統(tǒng)誤差。通過預(yù)先對儀器設(shè)備將要產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差進行分析計算，找出誤差規(guī)律，從而找出修正公式或修正值，對測量結(jié)果進行修正。③采用能消除系統(tǒng)誤差的方法進行測量。對于某種固定的或有規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差，可以采用交換法、抵消法、補償法、對稱測量法、半周期偶數(shù)次測量法等特殊方法進行清除。采用什么方法要根據(jù)具體的實驗情況及實驗者的經(jīng)驗來決定。無論采用哪種方法都不可能完全將系統(tǒng)誤差消除，只要將系統(tǒng)誤差減小到測量誤差要求允許的范圍內(nèi)，或者系統(tǒng)誤差對測量結(jié)果的影響小到可以忽略不計，就可以認(rèn)為系統(tǒng)誤差已被消除。2.隨機誤差(偶然誤差)在同一條件下多次測量同一物理量時，每次出現(xiàn)的誤差時大時小，時正時負(fù)，沒有確定的規(guī)律，但就總體來說服從一定的統(tǒng)計規(guī)律，這種誤差稱為隨機誤差。=1\*GB2⑴、隨機誤差產(chǎn)生的原因這種誤差是由于人的感官靈敏度和儀器精密程度的限制，周圍環(huán)境的干擾以及伴隨著測量而來的不可預(yù)料的隨機因素的影響而造成的。=2\*GB2⑵、隨機誤差的特征圖1-1偶然誤差的正態(tài)分布隨機誤差的特征是單個測量具有隨機性，不可預(yù)知，多次測量呈現(xiàn)一定的統(tǒng)計規(guī)律。當(dāng)測量次數(shù)很大時，可以認(rèn)為近似服從正態(tài)分布（高斯分布），如圖1-1所示。橫坐標(biāo)表示隨機誤差；縱坐標(biāo)表示誤差出現(xiàn)的概率密度函數(shù)。由圖可知，隨機誤差具有下面的一些特性性。圖1-1偶然誤差的正態(tài)分布①單峰性。測量值與真值相差越小，其可能性越大；與真值相差很大，其可能性較小。②對稱性。測量值與真值相比，大于或小于某量的可能性是相等的。③有界性。在一定的測量條件下，誤差的絕對值不會超過一定的限度。④抵償性。隨機誤差的算術(shù)平均值隨測量次數(shù)的增加越來越小。3.粗大誤差由于測量時，觀測者不正確的使用儀器、粗心大意觀察錯誤或記錯數(shù)據(jù)而引起的不正確的結(jié)果。這種誤差稱為粗大誤差。它實際上是一種測量錯誤，相應(yīng)數(shù)據(jù)應(yīng)當(dāng)予以剔除。1.1.3直接測量的誤差估計由于在測量過程中不可避免地存在有隨機誤差，因而對某一物理量進行多次測量的結(jié)果不會是完全相同的。設(shè)對某一物理量在相同條件下進行重復(fù)測量，獲得了一組數(shù)據(jù)：，，…，。一般地講，這個數(shù)據(jù)是彼此不同的，如果把它們?nèi)繉懗鰜碜鳛闇y量結(jié)果當(dāng)然是不方便的，用其中任一個測量值作為測量結(jié)果顯然也是不全面的，那么應(yīng)該用怎樣一個數(shù)來表達這一結(jié)果才合適呢？1.用算術(shù)平均值表示真值=1\*GB2⑴、算術(shù)平均值原理在相同條件下對某物理量進行次等精度重復(fù)測量，每次的測量值分別為，，…，，真值為，則任意一次測量的誤差。對此式求和得：兩邊同除以，得：令：得（1-3）又根據(jù)隨機誤差的性質(zhì)，當(dāng)時，。因而當(dāng)足夠大時，算術(shù)平均值將趨近于真值，我們可以用算術(shù)平均值作為多次測量的最近真值，即多次測量的最佳值。=2\*GB2⑵、算術(shù)平均值在實驗中的指導(dǎo)意義根據(jù)算術(shù)平均值原理，在多次重復(fù)測量時，由于偶然誤差的抵償性，使得算術(shù)平均值趨近于真值，即算術(shù)平均值的誤差趨近于零。所以增加測量次數(shù)可以減小測量的隨機誤差，這對于提高測量結(jié)果的可靠性是有利的。因此，在實驗中如有可能，都應(yīng)當(dāng)進行多次測量。但是并不是測量次數(shù)越多越好，因為增加測量次數(shù)必定要延長測量時間，這將給保持穩(wěn)定的測量條件增加困難。同時，增加測量次數(shù)也會給測量者造成疲勞，這又可能引起較大的觀測誤差。所以實際測量次數(shù)不必過多，一般在科學(xué)研究中，取10至20次；而在我們的物理實驗中由于時間有限可以取5到10次。2.測量列的標(biāo)準(zhǔn)誤差（方差）測量列是指在相同的條件下對同一個物理量進行多次重復(fù)測量所得測量值的集合。由于隨機誤差的存在，測量列中各個測量數(shù)據(jù)相互稍有差異，標(biāo)準(zhǔn)誤差就是對這組數(shù)據(jù)可靠性的一種評價。=1\*GB2⑴、測量列標(biāo)準(zhǔn)誤差（方差）的概念測量列標(biāo)準(zhǔn)誤差的定義為：測量列中各測量值誤差的平方和的平均值的平方根。（1-4）由于被測量的真值是未知數(shù)，各測量值的誤差也都無法求出，因此不可能按式（1-4）計算標(biāo)準(zhǔn)誤差。=2\*GB2⑵、測量列標(biāo)準(zhǔn)誤差（方差）的計算公式根據(jù)算術(shù)平均值原理，我們知道，測量列中測量值的算術(shù)平均值是該測量列表示的待測量真值的最佳值。因此，在實驗中我們用算術(shù)平均值代表真值，這樣我們就可以得到測量列中各個測量值與算術(shù)平均值的差，稱之為偏差。即（1-5）如果用偏差來計算測量列的方差，理論分析表明，偏差與誤差的關(guān)系為：（1-6）將式（1-6）代入（1-4）式，就得到用偏差表示的標(biāo)準(zhǔn)誤差的計算公式：(1-7)=3\*GB2⑶、測量列標(biāo)準(zhǔn)誤差（方差）的統(tǒng)計意義標(biāo)準(zhǔn)誤差不是測量值的實際誤差，也不是誤差范圍，它只是對一組測量數(shù)據(jù)可靠性的估計。標(biāo)準(zhǔn)誤差小，測量的可靠性就大一些。反之，則測量不大可靠。那么，標(biāo)準(zhǔn)誤差和各測量值的實際誤差之間有什么關(guān)系呢？按照隨機誤差的高斯理論，測量列的標(biāo)準(zhǔn)誤差為時，此測量列中任一測量值的誤差有68.3%的可能性落在[-，+]區(qū)間之內(nèi)。我們把區(qū)間[-，+]稱為置信區(qū)間，其相應(yīng)的概率P()=68.3%稱為置信概率。=4\*GB2⑷、算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差（方差）根據(jù)算術(shù)平均值原理，當(dāng)測量次數(shù)無限增多時，其算術(shù)平均值就無限接近真值。然而，實際測量次數(shù)總是有限的，因而有限次測量的算術(shù)平均值與真值之間總是有一定的偏離的。換句話說，有限次測量的算術(shù)平均值也是有誤差的。例如我們通過測量獲得了一組數(shù)據(jù)，并得出一個算術(shù)平均值作為測量的結(jié)果。那么以后別人，甚至我們自己再按完全相同的情況重復(fù)這種測量時，由于隨機誤差的影響，不一定能得出完全相同的平均值。這種現(xiàn)象就是算術(shù)平均值誤差的具體表現(xiàn)。理論分析表明，一組個測量值的測量列標(biāo)準(zhǔn)誤差與其算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)誤差之間的關(guān)系是：（1-8）用偏差表示則為：（1-9）它表示在范圍內(nèi)包含真值的概率為68.3%。由式（1-8）可知，隨著測量次數(shù)增加減小，這就是通常所說的增加測量次數(shù)可以減小隨機誤差。但由于與成反比，的下降比的增長速率慢得多，后變化極慢，所以實際測量次數(shù)一般取5～20次。但時，要獲得時同樣的測量置信概率，應(yīng)乘一因子。例1-1：用單擺測重力加速度公式為，對擺長l測量10次，測得值如下表：測量次序12345678910l/cm100.299.899.9100.2100.0100.199.9100.099.9100.1對周期T測量5次，測得值如下表：測量次序12345T/s2.0012.0021.9982.0031.997求和的算術(shù)平均值，算術(shù)平均偏差，某一次測量結(jié)果的的標(biāo)準(zhǔn)偏差，算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差。解:1.1.4.1儀器的最大誤差測量是用儀器或量具進行的。有的儀器比較粗糙或靈敏度較低；有的儀器比較精確或靈敏度較高，但任何儀器都存在誤差。儀器誤差就是指在正確使用儀器的條件下，測量所得結(jié)果的最大誤差，用符號表示。儀器精度的級別通常是由制造工廠和計量機構(gòu)使用更精確的儀器、量具，檢定比較后給出的。下面列出常見儀器的最大誤差。表1-1物理實驗教學(xué)中正確使用儀器時儀器的最大誤差儀器備注米尺0.5mm最小刻度1mm游標(biāo)卡尺取卡尺分度值螺旋測微計0.004mm量程在0～50mm物理天平0.05g感量0.1g電表量程,準(zhǔn)確度等級數(shù)字式儀表儀器最小讀數(shù)直流電阻箱為示值，是直流電阻箱準(zhǔn)確度等級，是與準(zhǔn)確度等級有關(guān)的系數(shù)，是所使用的電阻箱的旋鈕數(shù)其它儀器由實驗室給出2.儀器的標(biāo)準(zhǔn)誤差.儀器的標(biāo)準(zhǔn)誤差與儀器的最大誤差有如下關(guān)系 =1\*GB2⑴、儀器誤差密度函數(shù)呈均勻分布時S= (1-10)=2\*GB2⑵、儀器誤差密度函數(shù)呈正態(tài)分布時（1-11）1.1.5間接測量的誤差傳遞直接測量所得的結(jié)果都是有誤差的，由直接測量值經(jīng)過運算而得到的間接測量值也有誤差。估算間接測量誤差的方法叫做誤差傳遞。1.誤差的一般傳遞公式設(shè) (1-12)若各直接測量值的絕對誤差分別為，則間接測量值的絕對誤差為，其計算方法如下：將式(1-12)求全微分，得 (1-13)由于分別相對于是一個很小量，將式(1-13)中用代替，則 (1-14)由于具體誤差的符號并不知道，為謹(jǐn)慎起見，只能作最不利考慮，認(rèn)為各項誤差將累加，這樣可能導(dǎo)致誤差估算偏大，因此將式(1-14)中各項分別取絕對值相加。即 (1-15)相對誤差為 (1-16)式(1-13)和(1-14)稱為誤差傳遞的一般公式，或稱為誤差的算術(shù)合成。2.標(biāo)準(zhǔn)誤差的傳遞公式若各直接測量值的絕對誤差分別為標(biāo)準(zhǔn)誤差、、、…、等，則間接測量值的誤差估算需要用誤差的方根合成，即絕對誤差為 (1-17)相對誤差為 (1-18)式(1-17)和式(1-18)稱為標(biāo)準(zhǔn)誤差的傳遞公式。表1-1列出了一些常用函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤差傳遞公式。誤差傳遞公式不僅可以用來計算間接測量值的誤差，而且還可以用來分析各直接測量值的誤差對最后結(jié)果影響的大小。對于那些影響大的直接測量值，預(yù)先考慮采取措施，以減小它們的影響，從而為合理選用儀器和實驗方法提供依據(jù)。表1-2常用函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤差傳遞公式函數(shù)表達式標(biāo)準(zhǔn)誤差傳遞公式1.2實驗不確定度及測量結(jié)果的表示在科學(xué)、工程、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和商業(yè)貿(mào)易等各個領(lǐng)域都需要提供測量結(jié)果及其測量結(jié)果可信任度的數(shù)據(jù)。以往人們習(xí)慣于用誤差來表示測量結(jié)果的可信任度。由于誤差是測量結(jié)果與被測量（真）值之差，而被測量（真）值大多數(shù)情況下是未知量，從而使得這種表示方法受到質(zhì)疑。1993年國家標(biāo)準(zhǔn)化組織（ISO）在國際計量局、國際電工委員會、國際理論物理與應(yīng)用物理聯(lián)合會、國際理論化學(xué)與應(yīng)用化學(xué)聯(lián)合會、國際臨床化學(xué)聯(lián)合會等7個國際組織的支持下出版了《測量不確定度表示法則》，建議用“不確定度”(Uncertainty)一詞，取代誤差(Error)來表示實驗結(jié)果，用以評定實驗測量結(jié)果的質(zhì)量，表征被測量真值在某個量值的范圍。每個測量結(jié)果總存在著不確定度，作為一個完整的測量結(jié)果不僅要標(biāo)明其量值大小，還要標(biāo)出測量不確定度，以表明該測量結(jié)果的可信賴程度。1.2.1不確定度的分類不確定度根據(jù)其性質(zhì)和估算方法不同，可分為類不確定度和類不確定度。類不確定度是被測量列能用統(tǒng)計方法估算出來的不確定度分量，用表示；類不確定度則是不能用統(tǒng)計方法估算的所有不確定度分量，用表示。1.2.2直接測量不確定度的簡化估算測量次數(shù)時，類不確定度分量的估算我們知道測量次數(shù)較多時，偶然誤差呈現(xiàn)正態(tài)分布?？捎脕砉浪銣y量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)誤差，因此，在不確定度表示中，可以用它作為類分量。對有限次測量，由誤差理論可知，要得到與無限次測量相同的置信概率，類分量應(yīng)在前乘一因子，即類不確定度為 (1-19)因子的值，在置信概率及測量次數(shù)確定后，可從專門的數(shù)學(xué)表中查到。在置信概率時，相應(yīng)的部分與的數(shù)值，如下表所示。表1-3時不同測量次數(shù)下的值測量次數(shù)2345678910自由度1234567891.841.321.201.141.111.091.081.071.06類不確定度分量的簡化估算類不確定度原則上應(yīng)考慮影響量的各種可能值，作為基礎(chǔ)訓(xùn)練，我們簡化處理，主要考慮儀器標(biāo)準(zhǔn)誤差。由1.1.4小節(jié)可知，儀器誤差的概率密度函數(shù)遵循正態(tài)分布時，其“等價標(biāo)準(zhǔn)誤差”（），此時類分量為：() (1-20)對于均勻分布，因為，且置信概率，要得到的置信概率，應(yīng)乘上系數(shù)0.683/0.577，即對于均勻分布，的B類分量為： （） (1-21)為了簡便，在以后的計算中，我們不考慮它是什么誤差分布，都認(rèn)為是均勻分布，且取置信概率，此時類分量為：。合成不確定度=1\*GB2⑴、單次測量的合成不確定度作為單次測量，不存在采用統(tǒng)計方法計算的不確定度類分量。因此，單次測量的合成不確定度就等于不確定度類分量。=2\*GB2⑵、多次測量的合成不確定度多次測量的合成不確定度，即類和類不確定度的總和，其合成公式為(1-22)式中,為多次測量量N的合成不確定度；是該測量量的類不確定度分量；為它的類不確定度分量。上式為合成不確定度的計算公式，它是由兩個彼此間相互獨立的統(tǒng)計和非統(tǒng)計不確定度的方根和。合成不確定度表明在測量過程中所有不確定度因素對測量結(jié)果的合成影響。1.2.3.間接測量不確定度的估算1.不確定度傳遞公式由直接測量量的不確定度引起的間接測量量的不確定度傳遞公式，如同標(biāo)準(zhǔn)差傳遞公式一樣。設(shè)間接測量量的函數(shù)為其中則間接測量量的最佳估計值為當(dāng)間接測量的函數(shù)式為和差形式時，相應(yīng)的不確定度為 (1-23)當(dāng)間接測量的函數(shù)式為積商形式（或含和差的積商形式）時，其不確定度的簡便運算式為(1-24)其中式中，為被測量的合成不確定度；、、為各直接測量量的不確定度；為被測量的平均值。式（1-23）適用于間接測量量與直接測量的函數(shù)關(guān)系是和差形式，而式（1-24）則適用于積商形式的函數(shù)關(guān)系，它實際上是相對不確定度的傳遞公式。表1-2常用函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤差傳遞公式中的標(biāo)準(zhǔn)誤差，換成不確定度的符號，就是常用函數(shù)間接測量不確定度的傳遞公式。在物理實驗中一般都采用這種傳遞公式計算間接測量的不確定度。1.2.4不確定度取舍原則不確定度一般保留1～2位數(shù)字，當(dāng)首位數(shù)字等于或大于3時，取一位；小于3時，取兩位，其后面的數(shù)字取舍法則為“只進不舍”（非零即進）。如應(yīng)保留為0.5cm；應(yīng)保留為0.22mm。計算過程中，不確定度可以多保留一位。1.2.5用不確定度表示測量結(jié)果測得值取幾位，由不確定度來決定。即測得值保留的最后一位數(shù)與不確定度的末位對齊，后面的尾數(shù)則采用“小于5舍，大于5進，等于5將保留的數(shù)字湊成偶數(shù)”的原則取舍。1.直接測量結(jié)果的表示=1\*GB2⑴、直接單次測量結(jié)果的表示由于是單次測量，計算不確定度時只須考慮儀器本身帶來的誤差，故其測量結(jié)果的表達式可寫為(1-25)=2\*GB2⑵、直接多次測量結(jié)果的表示對于直接多次重復(fù)測量，其測量結(jié)果的表達式為(1-26)如某長度的測量平均值為，合成不確定度為，則結(jié)果為2.間接多次測量結(jié)果的表示當(dāng)所測物理量需通過測量其它相關(guān)量來間接獲得時，測量的合成不確定度是由多方面的因素合成的。設(shè)間接測量量的函數(shù)為則相應(yīng)的不確定度為 (1-27)測量結(jié)果的最后表達式為(1-28)1.3有效數(shù)字及簡算方法1.3.1有效數(shù)字的概念一般來說，實驗所處理的數(shù)值有2種：一種是沒有誤差的準(zhǔn)確值(如測量的次數(shù)，公式中的純數(shù)等)；另一種是測量值。測量值總含有一定的誤差，因此它的測量數(shù)據(jù)就不應(yīng)無止境地寫下去。要由不確定度來決定。例如，測量值=(1.39423±0.0028)，由誤差可知其第三位小數(shù)“4”是不可靠的，其后的數(shù)字就沒有全部表示出來的必要。結(jié)果應(yīng)寫成，其中“1”、“3”和“9”是可靠數(shù)字，后面“4”和“2”是反映誤差的可疑數(shù)字。一般規(guī)定，數(shù)值中的可靠數(shù)字與所保留的1位(或2位)可疑數(shù)字，統(tǒng)稱為有效數(shù)字。測量儀器與有效數(shù)字的關(guān)系測量結(jié)果的有效數(shù)字一方面反映了被測物理量的大小，同時也反映了測量儀器的測量精度。如用米尺測得一物體的長度為=(26.3±0.5)mm，最后1位數(shù)“3”是估讀出來的，是可疑數(shù)字，測量值為3位有效數(shù)字。如果同樣這個物體用游標(biāo)尺測量其長度，得=(26.30±0.02)mm，是4位有效數(shù)字，測量準(zhǔn)確度要高些。測量方法與有效數(shù)字的關(guān)系有效數(shù)字位數(shù)的多少，還與測量方法有關(guān)。例如用秒表測量單擺的周期，一般其誤差為0.1s。如只測一個周期，得到；若連續(xù)測100個周期，其大小為191.2s，則周期的平均值。可見，由于采用了不同的測量方法，結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)也隨之變化了。3.“0”有效數(shù)字中的“0”不同于其它九個數(shù)字，“0”的位置不同，其性質(zhì)不同。要切記有效數(shù)字的位數(shù)是從第一個不為零的數(shù)字算起的，末位為“0”和數(shù)字中間出現(xiàn)的“0”都屬于有效數(shù)字。例如，10.30中的2個零，雖然其中一個處在中間，一個處在末尾，但因它們都反映了被測量的大小，故都屬于有效數(shù)字。4.有效數(shù)字的科學(xué)計數(shù)法有效數(shù)字的位數(shù)與小數(shù)點位置或單位的換算無關(guān)。如1.20m可以寫成120cm，它仍然是三位有效數(shù)字，但不能寫成1200mm，因為它是四位有效數(shù)字，它們表示的測量精度并不相同。同樣，可以1.20m可以寫成0.00120km，不能寫成0.0012km。因此，在有效數(shù)字作單位換算時，一般用科學(xué)計數(shù)法表示，即1.3.2有效數(shù)字的運算為獲得實驗結(jié)果，往往需要對測得的數(shù)據(jù)進行運算。運算結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)的多少，由誤差（或不確定度）計算結(jié)果來確定。但在做誤差計算以前的測量值運算過程中，可由有效數(shù)字運算規(guī)則進行初步的取舍，以簡化運算過程。下面將分別介紹有效數(shù)字的運算規(guī)則。1.加減運算幾個數(shù)相加減時，最后結(jié)果的可疑數(shù)字所占位數(shù)與參加運算的各數(shù)值中可疑數(shù)字所占位數(shù)最高的相同。下面例題運算過程中數(shù)字下畫線的是可疑數(shù)字。例1-2已知，式中A=(103.3±0.5)cm，B=(13.561±0.012)cm，C=(1.652±0.005)cm，試問計算結(jié)果應(yīng)保留幾位數(shù)字?解：先觀察一下具體的運算過程：一個數(shù)字與一個可疑數(shù)字相加或是相減，其結(jié)果必然是可疑數(shù)字。本例各數(shù)值中最先出現(xiàn)可疑數(shù)字的位置在小數(shù)點后第一位(即103.3)，按照運算結(jié)果保留一位可疑數(shù)字的原則，上例的簡算方法為Y=103.3＋13.6-1.7=115.2(cm)結(jié)果表示為Y=(115.2±0.5)cm，=0.5％2.乘法運算兩個數(shù)相乘的積，其有效數(shù)字的位數(shù)與參與運算的各數(shù)值中有效數(shù)字位數(shù)最少的一個相同，但如果它們的最高位相乘的積大于或等于10，其積的有效數(shù)字位數(shù)應(yīng)比參與運算的有效數(shù)字中位數(shù)最少的多一位。例1-31.1111×1.11=?試問計算結(jié)果應(yīng)保留幾位數(shù)字?解：先觀察一下具體的運算過程：見運算式，因為一個數(shù)字與一個可疑數(shù)字相乘，其結(jié)果必然是可疑數(shù)字，所以，由上面的運算過程可見，小數(shù)點后面第二位的“3”及其以后的數(shù)字都是可疑數(shù)字。按照保留1位可疑數(shù)字的原則，計算結(jié)果應(yīng)寫成1.23，為3位有效數(shù)字。即在此例中，5位有效數(shù)字與3位有效數(shù)字相乘，計算結(jié)果為3位有效數(shù)字。上例簡化為例1-4試問計算結(jié)果應(yīng)保留幾位數(shù)字?解：先觀察一下具體的運算過程：由上面的運算過程可見，小數(shù)點后面第一位的“9”及其以后的數(shù)字都是可疑數(shù)字。按照保留1位可疑數(shù)字的原則，計算結(jié)果應(yīng)寫成359.9，為4位有效數(shù)字。此例中，4位有效數(shù)字與3位有效數(shù)字相乘，因為最高位相乘的積大于10，計算結(jié)果為4位有效數(shù)字。上例簡化為3.除法運算兩個數(shù)相除，一般情況商的有效數(shù)字的位數(shù)應(yīng)和被除數(shù)及除數(shù)中位數(shù)較少者的位數(shù)相同，但若被除數(shù)有效數(shù)字的位數(shù)小于或等于除數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)，并且它的最高位的數(shù)小于除數(shù)的最高位的數(shù)，則商的有效數(shù)字位數(shù)應(yīng)比被除數(shù)少一位。例1-5解：例1-6解:4.乘方、開方運算乘方、開方運算法則和乘法運算法則相同。如，。5.函數(shù)運算有效數(shù)字取位規(guī)定=1\*GB2⑴、對數(shù)運算對數(shù)運算分兩種情況，對常用對數(shù)其運算結(jié)果由首數(shù)和尾數(shù)構(gòu)成，規(guī)定其尾數(shù)的位數(shù)與真數(shù)的有效數(shù)字的位數(shù)相同。如；對自然對數(shù)其運算結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)與真數(shù)的有效數(shù)字的位數(shù)相同。如。=2\*GB2⑵、指數(shù)運算指數(shù)運算結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)與指數(shù)的小數(shù)點后的位數(shù)相同（包括小數(shù)點后的零）。例如：，小數(shù)點后有二位，所以，，小數(shù)點后有七位，則。=3\*GB2⑶、三角函數(shù)運算通常三角函數(shù)運算結(jié)果的有效位數(shù)由角度的有效數(shù)字決定。一般當(dāng)角度精確至?xí)r，三角函數(shù)可以取5位有效數(shù)字；當(dāng)角度精確至?xí)r，三角函數(shù)可以取6位有效數(shù)字；當(dāng)角度精確至?xí)r，三角函數(shù)可以取7位有效數(shù)字；當(dāng)角度精確至?xí)r，三角函數(shù)可以取8位有效數(shù)字。如，。6.常數(shù)和系數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)在運算過程中，公式中的常數(shù)（如等）和系數(shù)（如純數(shù)2），可以認(rèn)為其有效數(shù)字是無限多的，它們的有效數(shù)字位數(shù)只要取到不降低運算結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)即可。如計算圓周長，時，取，取參與運算即可。7.計算的中間過程計算的中間過程，有效數(shù)字可暫保留二位可疑數(shù)字，即多保留一位有效數(shù)字，但最終計算結(jié)果仍要按前面的規(guī)定處理有效數(shù)字。應(yīng)該強調(diào)的是，在上述的近似計算規(guī)則中，由于具體問題所要求的準(zhǔn)確度或采用的方法不同，可能得出具有不同