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文檔簡介

2021-2022高考數(shù)學模擬試卷注意事項1.考生要認真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知集合,,則的真子集個數(shù)為()A.1個 B.2個 C.3個 D.4個2.若,滿足約束條件,則的最大值是()A. B. C.13 D.3.己知集合,,則()A. B. C. D.4.已知的內(nèi)角、、的對邊分別為、、,且,,為邊上的中線,若,則的面積為()A. B. C. D.5.有一改形塔幾何體由若千個正方體構(gòu)成,構(gòu)成方式如圖所示,上層正方體下底面的四個頂點是下層正方體上底面各邊的中點.已知最底層正方體的棱長為8,如果改形塔的最上層正方體的邊長小于1,那么該塔形中正方體的個數(shù)至少是()A.8 B.7 C.6 D.46.下列不等式成立的是()A. B. C. D.7.某工廠利用隨機數(shù)表示對生產(chǎn)的600個零件進行抽樣測試,先將600個零件進行編號,編號分別為001,002,……,599,600.從中抽取60個樣本,下圖提供隨機數(shù)表的第4行到第6行:若從表中第6行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù),則得到的第6個樣本編號是()A.324 B.522 C.535 D.5788.已知集合,,則等于()A. B. C. D.9.如圖,在中,,且,則()A.1 B. C. D.10.已知拋物線,F(xiàn)為拋物線的焦點且MN為過焦點的弦,若,,則的面積為()A. B. C. D.11.已知是等差數(shù)列的前項和,若,設,則數(shù)列的前項和取最大值時的值為()A.2020 B.20l9 C.2018 D.201712.已知函數(shù)的零點為m,若存在實數(shù)n使且,則實數(shù)a的取值范圍是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.某班有學生52人,現(xiàn)將所有學生隨機編號,用系統(tǒng)抽樣方法,抽取一個容量為4的樣本,已知5號、31號、44號學生在樣本中,則樣本中還有一個學生的編號是__________.14.設函數(shù),則______.15.三對父子去參加親子活動,坐在如圖所示的6個位置上,有且僅有一對父子是相鄰而坐的坐法有________種(比如:B與D、B與C是相鄰的,A與D、C與D是不相鄰的).16.在中,,,則_________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)選修4-4:坐標系與參數(shù)方程在平面直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,且曲線的極坐標方程為.(1)寫出直線的普通方程與曲線的直角坐標方程;(2)設直線上的定點在曲線外且其到上的點的最短距離為,試求點的坐標.18.(12分)如圖,在四棱錐中,底面,,,,為的中點,是上的點.(1)若平面,證明:平面.(2)求二面角的余弦值.19.(12分)已知橢圓,直線不過原點且不平行于坐標軸,與有兩個交點,,線段的中點為.(Ⅰ)證明:直線的斜率與的斜率的乘積為定值;(Ⅱ)若過點,延長線段與交于點,四邊形能否為平行四邊形?若能,求此時的斜率,若不能,說明理由.20.(12分)已知函數(shù),.(1)求證:在區(qū)間上有且僅有一個零點,且;(2)若當時,不等式恒成立,求證:.21.(12分)已知.(1)求不等式的解集;(2)記的最小值為,且正實數(shù)滿足.證明:.22.(10分)已知.(Ⅰ)當時,解不等式;(Ⅱ)若的最小值為1,求的最小值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.C【解析】

求出的元素,再確定其真子集個數(shù).【詳解】由,解得或,∴中有兩個元素,因此它的真子集有3個.故選:C.【點睛】本題考查集合的子集個數(shù)問題,解題時可先確定交集中集合的元素個數(shù),解題關鍵是對集合元素的認識,本題中集合都是曲線上的點集.2.C【解析】

由已知畫出可行域,利用目標函數(shù)的幾何意義求最大值.【詳解】解:表示可行域內(nèi)的點到坐標原點的距離的平方,畫出不等式組表示的可行域,如圖,由解得即點到坐標原點的距離最大,即.故選:.【點睛】本題考查線性規(guī)劃問題,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想以及運算求解能力,屬于基礎題.3.C【解析】

先化簡,再求.【詳解】因為,又因為,所以,故選:C.【點睛】本題主要考查一元二次不等式的解法、集合的運算,還考查了運算求解能力,屬于基礎題.4.B【解析】

延長到,使,連接,則四邊形為平行四邊形,根據(jù)余弦定理可求出,進而可得的面積.【詳解】解:延長到,使,連接,則四邊形為平行四邊形,則,,,在中,則,得,.故選:B.【點睛】本題考查余弦定理的應用,考查三角形面積公式的應用,其中根據(jù)中線作出平行四邊形是關鍵,是中檔題.5.A【解析】

則從下往上第二層正方體的棱長為:,從下往上第三層正方體的棱長為:,從下往上第四層正方體的棱長為:,以此類推,能求出改形塔的最上層正方體的邊長小于1時該塔形中正方體的個數(shù)的最小值的求法.【詳解】最底層正方體的棱長為8,則從下往上第二層正方體的棱長為:,從下往上第三層正方體的棱長為:,從下往上第四層正方體的棱長為:,從下往上第五層正方體的棱長為:,從下往上第六層正方體的棱長為:,從下往上第七層正方體的棱長為:,從下往上第八層正方體的棱長為:,∴改形塔的最上層正方體的邊長小于1,那么該塔形中正方體的個數(shù)至少是8.故選:A.【點睛】本小題主要考查正方體有關計算,屬于基礎題.6.D【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性和正余弦函數(shù)的圖象可確定各個選項的正誤.【詳解】對于,,,錯誤;對于,在上單調(diào)遞減,,錯誤;對于,,,,錯誤;對于,在上單調(diào)遞增,,正確.故選:.【點睛】本題考查根據(jù)初等函數(shù)的單調(diào)性比較大小的問題;關鍵是熟練掌握正余弦函數(shù)圖象、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調(diào)性.7.D【解析】

因為要對600個零件進行編號,所以編號必須是三位數(shù),因此按要求從第6行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù),大于600的,重復出現(xiàn)的舍去,直至得到第六個編號.【詳解】從第6行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù),編號內(nèi)的數(shù)據(jù)依次為:,因為535重復出現(xiàn),所以符合要求的數(shù)據(jù)依次為,故第6個數(shù)據(jù)為578.選D.【點睛】本題考查了隨機數(shù)表表的應用,正確掌握隨機數(shù)表法的使用方法是解題的關鍵.8.B【解析】

解不等式確定集合,然后由補集、并集定義求解.【詳解】由題意或,∴,.故選:B.【點睛】本題考查集合的綜合運算,以及一元二次不等式的解法,屬于基礎題型.9.C【解析】

由題可,所以將已知式子中的向量用表示,可得到的關系,再由三點共線,又得到一個關于的關系,從而可求得答案【詳解】由,則,即,所以,又共線,則.故選:C【點睛】此題考查的是平面向量基本定理的有關知識,結(jié)合圖形尋找各向量間的關系,屬于中檔題.10.A【解析】

根據(jù)可知,再利用拋物線的焦半徑公式以及三角形面積公式求解即可.【詳解】由題意可知拋物線方程為,設點點,則由拋物線定義知,,則.由得,則.又MN為過焦點的弦,所以,則,所以.故選:A【點睛】本題考查拋物線的方程應用,同時也考查了焦半徑公式等.屬于中檔題.11.B【解析】

根據(jù)題意計算,,,計算,,,得到答案.【詳解】是等差數(shù)列的前項和,若,故,,,,故,當時,,,,,當時,,故前項和最大.故選:.【點睛】本題考查了數(shù)列和的最值問題,意在考查學生對于數(shù)列公式方法的綜合應用.12.D【解析】

易知單調(diào)遞增,由可得唯一零點,通過已知可求得,則問題轉(zhuǎn)化為使方程在區(qū)間上有解,化簡可得,借助對號函數(shù)即可解得實數(shù)a的取值范圍.【詳解】易知函數(shù)單調(diào)遞增且有惟一的零點為,所以,∴,問題轉(zhuǎn)化為:使方程在區(qū)間上有解,即在區(qū)間上有解,而根據(jù)“對勾函數(shù)”可知函數(shù)在區(qū)間的值域為,∴.故選D.【點睛】本題考查了函數(shù)的零點問題,考查了方程有解問題,分離參數(shù)法及構(gòu)造函數(shù)法的應用,考查了利用“對勾函數(shù)”求參數(shù)取值范圍問題,難度較難.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.18【解析】

根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義和方法,所抽取的4個個體的編號成等差數(shù)列,故可根據(jù)其中三個個體的編號求出另一個個體的編號.【詳解】解:根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義和方法,所抽取的4個個體的編號成等差數(shù)列,已知其中三個個體的編號為5,31,44,故還有一個抽取的個體的編號為18,故答案為:18【點睛】本題主要考查系統(tǒng)抽樣的定義和方法,屬于簡單題.14.【解析】

由自變量所在定義域范圍,代入對應解析式,再由對數(shù)加減法運算法則與對數(shù)恒等式關系分別求值再相加,即為答案.【詳解】因為函數(shù),則因為,則故故答案為:【點睛】本題考查分段函數(shù)求值,屬于簡單題.15.192【解析】

根據(jù)題意,分步進行分析:①,在三對父子中任選1對,安排在相鄰的位置上,②,將剩下的4人安排在剩下的4個位置,要求父子不能坐在相鄰的位置,由分步計數(shù)原理計算可得答案.【詳解】根據(jù)題意,分步進行分析:①,在三對父子中任選1對,有3種選法,由圖可得相鄰的位置有4種情況,將選出的1對父子安排在相鄰的位置,有種安排方法;②,將剩下的4人安排在剩下的4個位置,要求父子不能坐在相鄰的位置,有種安排方法,則有且僅有一對父子是相鄰而坐的坐法種;故答案為:【點睛】本題考查排列、組合的應用,涉及分步計數(shù)原理的應用,屬于基礎題.16.【解析】

先由題意得:,再利用向量數(shù)量積的幾何意義得,可得結(jié)果.【詳解】由知:,則在方向的投影為,由向量數(shù)量積的幾何意義得:,∴故答案為【點睛】本題考查了投影的應用,考查了數(shù)量積的幾何意義及向量的模的運算,屬于基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)的普通方程為.的直角坐標方程為(2)(-1,0)或(2,3)【解析】

(1)對直線的參數(shù)方程消參數(shù)即可求得直線的普通方程,對整理并兩邊乘以,結(jié)合,即可求得曲線的直角坐標方程。(2)由(1)得:曲線C是以Q(1,1)為圓心,為半徑的圓,設點P的坐標為,由題可得:,利用兩點距離公式列方程即可求解。【詳解】解:(1)由消去參數(shù),得.即直線的普通方程為.因為又,∴曲線的直角坐標方程為(2)由知,曲線C是以Q(1,1)為圓心,為半徑的圓設點P的坐標為,則點P到上的點的最短距離為|PQ|即,整理得,解得所以點P的坐標為(-1,0)或(2,3)【點睛】本題主要考查了參數(shù)方程化為普通方程及極坐標方程化為直角坐標方程,還考查了轉(zhuǎn)化思想及兩點距離公式,考查了方程思想及計算能力,屬于中檔題。18.(1)證明見解析(2)【解析】

(1)因為,利用線面平行的判定定理可證出平面,利用點線面的位置關系,得出和,由于底面,利用線面垂直的性質(zhì),得出,且,最后結(jié)合線面垂直的判定定理得出平面,即可證出平面.(2)由(1)可知,,兩兩垂直,建立空間直角坐標系,標出點坐標,運用空間向量坐標運算求出所需向量,分別求出平面和平面的法向量,最后利用空間二面角公式,即可求出的余弦值.【詳解】(1)證明:因為,平面,平面,所以平面,因為平面,平面,所以可設平面平面,又因為平面,所以.因為平面,平面,所以,從而得.因為底面,所以.因為,所以.因為,所以平面.綜上,平面.(2)解:由(1)可得,,兩兩垂直,以為原點,,,所在直線分別為,,軸,建立如圖所示的空間直角坐標系.因為,所以,則,,,,所以,,,.設是平面的法向量,由取取,得.設是平面的法向量,由得取,得,所以,即的余弦值為.【點睛】本題考查線面垂直的判定和空間二面角的計算,還運用線面平行的性質(zhì)、線面垂直的判定定理、點線面的位置關系、空間向量的坐標運算等,同時考查學生的空間想象能力和邏輯推理能力.19.(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ)能,或.【解析】試題分析:(1)設直線,直線方程與橢圓方程聯(lián)立,根據(jù)韋達定理求根與系數(shù)的關系,并表示直線的斜率,再表示;(2)第一步由(Ⅰ)得的方程為.設點的橫坐標為,直線與橢圓方程聯(lián)立求點的坐標,第二步再整理點的坐標,如果能構(gòu)成平行四邊形,只需,如果有值,并且滿足,的條件就說明存在,否則不存在.試題解析:解:(1)設直線,,,.∴由得,∴,.∴直線的斜率,即.即直線的斜率與的斜率的乘積為定值.(2)四邊形能為平行四邊形.∵直線過點,∴不過原點且與有兩個交點的充要條件是,由(Ⅰ)得的方程為.設點的橫坐標為.∴由得,即將點的坐標代入直線的方程得,因此.四邊形為平行四邊形當且僅當線段與線段互相平分,即∴.解得,.∵,,,∴當?shù)男甭蕿榛驎r,四邊形為平行四邊形.考點:直線與橢圓的位置關系的綜合應用【一題多解】第一問涉及中點弦,當直線與圓錐曲線相交時,點是弦的中點,(1)知道中點坐標,求直線的斜率,或知道直線斜率求中點坐標的關系,或知道求直線斜率與直線斜率的關系時,也可以選擇點差法,設,,代入橢圓方程,兩式相減,化簡為,兩邊同時除以得,而,,即得到結(jié)果,(2)對于用坐標法來解決幾何性質(zhì)問題,那么就要求首先看出幾何關系滿足什么條件,其次用坐標表示這些幾何關系,本題的關鍵就是如果是平行四邊形那么對角線互相平分,即,分別用方程聯(lián)立求兩個坐標,最后求斜率.20.(1)詳見解析;(2)詳見解析.【解析】

(1)利用求導數(shù),判斷在區(qū)間上的單調(diào)性,然后再證異號,即可證明結(jié)論;(2)當時,不等式恒成立,分離參數(shù)只需時,恒成立,設(),需,根據(jù)(1)中的結(jié)論先求出,再構(gòu)造函數(shù)結(jié)合導數(shù)法,證明即可.【詳解】(1),令,則,所以在區(qū)間上是增函數(shù),則,所以在區(qū)間上是增函數(shù).又因為,,所以在區(qū)間上有且僅有一個零點,且.(2)由題意,在區(qū)間上恒成立,即在區(qū)間上恒成立,當時,;當時,恒成立,設(),所以.由(1)可知,,使,所以,

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