2021-2022學年河北省石家莊市重點中學高考數(shù)學五模試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

2021-2022高考數(shù)學模擬試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知若(1-ai)(3+2i)為純虛數(shù),則a的值為()A. B. C. D.2.若的展開式中的系數(shù)為150,則()A.20 B.15 C.10 D.253.隨著人民生活水平的提高,對城市空氣質(zhì)量的關注度也逐步增大,下圖是某城市月至月的空氣質(zhì)量檢測情況,圖中一、二、三、四級是空氣質(zhì)量等級,一級空氣質(zhì)量最好,一級和二級都是質(zhì)量合格天氣,下面敘述不正確的是()A.1月至8月空氣合格天數(shù)超過天的月份有個B.第二季度與第一季度相比,空氣達標天數(shù)的比重下降了C.8月是空氣質(zhì)量最好的一個月D.6月份的空氣質(zhì)量最差.4.若函數(shù),在區(qū)間上任取三個實數(shù),,均存在以,,為邊長的三角形,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.5.已知等邊△ABC內(nèi)接于圓:x2+y2=1,且P是圓τ上一點,則的最大值是()A. B.1 C. D.26.已知雙曲線的中心在原點且一個焦點為,直線與其相交于,兩點,若中點的橫坐標為,則此雙曲線的方程是A. B.C. D.7.已知,且,則在方向上的投影為()A. B. C. D.8.已知整數(shù)滿足,記點的坐標為,則點滿足的概率為()A. B. C. D.9.已知的內(nèi)角、、的對邊分別為、、,且,,為邊上的中線,若,則的面積為()A. B. C. D.10.已知命題p:直線a∥b,且b?平面α,則a∥α;命題q:直線l⊥平面α,任意直線m?α,則l⊥m.下列命題為真命題的是()A.p∧q B.p∨(非q) C.(非p)∧q D.p∧(非q)11.已知正方體的棱長為2,點為棱的中點,則平面截該正方體的內(nèi)切球所得截面面積為()A. B. C. D.12.已知函數(shù)的最小正周期為的圖象向左平移個單位長度后關于軸對稱,則的單調(diào)遞增區(qū)間為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知等差數(shù)列的前n項和為Sn,若,則____.14.記為數(shù)列的前項和,若,則__________.15.直線是曲線的一條切線為自然對數(shù)的底數(shù)),則實數(shù)__________.16.設滿足約束條件,則目標函數(shù)的最小值為_.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)2019年是五四運動100周年.五四運動以來的100年,是中國青年一代又一代接續(xù)奮斗、凱歌前行的100年,是中口青年用青春之我創(chuàng)造青春之中國、青春之民族的100年.為繼承和發(fā)揚五四精神在青年節(jié)到來之際,學校組織“五四運動100周年”知識競賽,競賽的一個環(huán)節(jié)由10道題目組成,其中6道A類題、4道B類題,參賽者需從10道題目中隨機抽取3道作答,現(xiàn)有甲同學參加該環(huán)節(jié)的比賽.(1)求甲同學至少抽到2道B類題的概率;(2)若甲同學答對每道A類題的概率都是,答對每道B類題的概率都是,且各題答對與否相互獨立.現(xiàn)已知甲同學恰好抽中2道A類題和1道B類題,用X表示甲同學答對題目的個數(shù),求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望.18.(12分)已知函數(shù).(1)若,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)若恒成立,求實數(shù)的取值范圍.19.(12分)如圖,底面ABCD是邊長為2的菱形,,平面ABCD,,,BE與平面ABCD所成的角為.(1)求證:平面平面BDE;(2)求二面角B-EF-D的余弦值.20.(12分)已知在中,角,,的對邊分別為,,,的面積為.(1)求證:;(2)若,求的值.21.(12分)某地為改善旅游環(huán)境進行景點改造.如圖,將兩條平行觀光道l1和l2通過一段拋物線形狀的棧道AB連通(道路不計寬度),l1和l2所在直線的距離為0.5(百米),對岸堤岸線l3平行于觀光道且與l2相距1.5(百米)(其中A為拋物線的頂點,拋物線的對稱軸垂直于l3,且交l3于M

),在堤岸線l3上的E,F(xiàn)兩處建造建筑物,其中E,F(xiàn)到M的距離為1

(百米),且F恰在B的正對岸(即BF⊥l3).(1)在圖②中建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?,并求棧道AB的方程;(2)游客(視為點P)在棧道AB的何處時,觀測EF的視角(∠EPF)最大?請在(1)的坐標系中,寫出觀測點P的坐標.22.(10分)某客戶準備在家中安裝一套凈水系統(tǒng),該系統(tǒng)為二級過濾,使用壽命為十年如圖所示兩個二級過濾器采用并聯(lián)安裝,再與一級過濾器串聯(lián)安裝.其中每一級過濾都由核心部件濾芯來實現(xiàn)在使用過程中,一級濾芯和二級濾芯都需要不定期更換(每個濾芯是否需要更換相互獨立).若客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時購買濾芯,則一級濾芯每個160元,二級濾芯每個80元.若客戶在使用過程中單獨購買濾芯則一級濾芯每個400元,二級濾芯每個200元.現(xiàn)需決策安裝凈水系統(tǒng)的同時購買濾芯的數(shù)量,為此參考了根據(jù)100套該款凈水系統(tǒng)在十年使用期內(nèi)更換濾芯的相關數(shù)據(jù)制成的圖表,其中表1是根據(jù)100個一級過濾器更換的濾芯個數(shù)制成的頻數(shù)分布表,圖2是根據(jù)200個二級過濾器更換的濾芯個數(shù)制成的條形圖.表1:一級濾芯更換頻數(shù)分布表一級濾芯更換的個數(shù)89頻數(shù)6040圖2:二級濾芯更換頻數(shù)條形圖以100個一級過濾器更換濾芯的頻率代替1個一級過濾器更換濾芯發(fā)生的概率,以200個二級過濾器更換濾芯的頻率代替1個二級過濾器更換濾芯發(fā)生的概率.(1)求一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級濾芯總個數(shù)恰好為16的概率;(2)記表示該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的二級濾芯總數(shù),求的分布列及數(shù)學期望;(3)記分別表示該客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時購買的一級濾芯和二級濾芯的個數(shù).若,且,以該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)購買各級濾芯所需總費用的期望值為決策依據(jù),試確定的值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.A【解析】

根據(jù)復數(shù)的乘法運算法則化簡可得,根據(jù)純虛數(shù)的概念可得結果.【詳解】由題可知原式為,該復數(shù)為純虛數(shù),所以.故選:A【點睛】本題考查復數(shù)的運算和復數(shù)的分類,屬基礎題.2.C【解析】

通過二項式展開式的通項分析得到,即得解.【詳解】由已知得,故當時,,于是有,則.故選:C【點睛】本題主要考查二項式展開式的通項和系數(shù)問題,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.3.D【解析】由圖表可知月空氣質(zhì)量合格天氣只有天,月份的空氣質(zhì)量最差.故本題答案選.4.D【解析】

利用導數(shù)求得在區(qū)間上的最大值和最小,根據(jù)三角形兩邊的和大于第三邊列不等式,由此求得的取值范圍.【詳解】的定義域為,,所以在上遞減,在上遞增,在處取得極小值也即是最小值,,,,,所以在區(qū)間上的最大值為.要使在區(qū)間上任取三個實數(shù),,均存在以,,為邊長的三角形,則需恒成立,且,也即,也即當、時,成立,即,且,解得.所以的取值范圍是.故選:D【點睛】本小題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的最值,考查恒成立問題的求解,屬于中檔題.5.D【解析】

如圖所示建立直角坐標系,設,則,計算得到答案.【詳解】如圖所示建立直角坐標系,則,,,設,則.當,即時等號成立.故選:.【點睛】本題考查了向量的計算,建立直角坐標系利用坐標計算是解題的關鍵.6.D【解析】

根據(jù)點差法得,再根據(jù)焦點坐標得,解方程組得,,即得結果.【詳解】設雙曲線的方程為,由題意可得,設,,則的中點為,由且,得,,即,聯(lián)立,解得,,故所求雙曲線的方程為.故選D.【點睛】本題主要考查利用點差法求雙曲線標準方程,考查基本求解能力,屬于中檔題.7.C【解析】

由向量垂直的向量表示求出,再由投影的定義計算.【詳解】由可得,因為,所以.故在方向上的投影為.故選:C.【點睛】本題考查向量的數(shù)量積與投影.掌握向量垂直與數(shù)量積的關系是解題關鍵.8.D【解析】

列出所有圓內(nèi)的整數(shù)點共有37個,滿足條件的有7個,相除得到概率.【詳解】因為是整數(shù),所以所有滿足條件的點是位于圓(含邊界)內(nèi)的整數(shù)點,滿足條件的整數(shù)點有共37個,滿足的整數(shù)點有7個,則所求概率為.故選:.【點睛】本題考查了古典概率的計算,意在考查學生的應用能力.9.B【解析】

延長到,使,連接,則四邊形為平行四邊形,根據(jù)余弦定理可求出,進而可得的面積.【詳解】解:延長到,使,連接,則四邊形為平行四邊形,則,,,在中,則,得,.故選:B.【點睛】本題考查余弦定理的應用,考查三角形面積公式的應用,其中根據(jù)中線作出平行四邊形是關鍵,是中檔題.10.C【解析】

首先判斷出為假命題、為真命題,然后結合含有簡單邏輯聯(lián)結詞命題的真假性,判斷出正確選項.【詳解】根據(jù)線面平行的判定,我們易得命題若直線,直線平面,則直線平面或直線在平面內(nèi),命題為假命題;根據(jù)線面垂直的定義,我們易得命題若直線平面,則若直線與平面內(nèi)的任意直線都垂直,命題為真命題.故:A命題“”為假命題;B命題“”為假命題;C命題“”為真命題;D命題“”為假命題.故選:C.【點睛】本小題主要考查線面平行與垂直有關命題真假性的判斷,考查含有簡單邏輯聯(lián)結詞的命題的真假性判斷,屬于基礎題.11.A【解析】

根據(jù)球的特點可知截面是一個圓,根據(jù)等體積法計算出球心到平面的距離,由此求解出截面圓的半徑,從而截面面積可求.【詳解】如圖所示:設內(nèi)切球球心為,到平面的距離為,截面圓的半徑為,因為內(nèi)切球的半徑等于正方體棱長的一半,所以球的半徑為,又因為,所以,又因為,所以,所以,所以截面圓的半徑,所以截面圓的面積為.故選:A.【點睛】本題考查正方體的內(nèi)切球的特點以及球的截面面積的計算,難度一般.任何一個平面去截球,得到的截面一定是圓面,截面圓的半徑可通過球的半徑以及球心到截面的距離去計算.12.D【解析】

先由函數(shù)的周期和圖象的平移后的函數(shù)的圖象性質(zhì)得出函數(shù)的解析式,從而得出的解析式,再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間,可得選項.【詳解】因為函數(shù)的最小正周期是,所以,即,所以,的圖象向左平移個單位長度后得到的函數(shù)解析式為,由于其圖象關于軸對稱,所以,又,所以,所以,所以,因為的遞增區(qū)間是:,,由,,得:,,所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為().故選:D.【點睛】本題主要考查正弦型函數(shù)的周期性,對稱性,單調(diào)性,圖象的平移,在進行圖象的平移時,注意自變量的系數(shù),屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

由,,成等差數(shù)列,代入可得的值.【詳解】解:由等差數(shù)列的性質(zhì)可得:,,成等差數(shù)列,可得:,代入,可得:,故答案為:.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列前n項和的性質(zhì),相對不難.14.-254【解析】

利用代入即可得到,即是等比數(shù)列,再利用等比數(shù)列的通項公式計算即可.【詳解】由已知,得,即,所以又,即,,所以是以-4為首項,2為公比的等比數(shù)列,所以,即,所以。故答案為:【點睛】本題考查已知與的關系求,考查學生的數(shù)學運算求解能力,是一道中檔題.15.【解析】

根據(jù)切線的斜率為,利用導數(shù)列方程,由此求得切點的坐標,進而求得切線方程,通過對比系數(shù)求得的值.【詳解】,則,所以切點為,故切線為,即,故.故答案為:【點睛】本小題主要考查利用導數(shù)求解曲線的切線方程有關問題,屬于基礎題.16.【解析】

根據(jù)滿足約束條件,畫出可行域,將目標函數(shù),轉(zhuǎn)化為,平移直線,找到直線在軸上截距最小時的點,此時,目標函數(shù)取得最小值.【詳解】由滿足約束條件,畫出可行域如圖所示陰影部分:將目標函數(shù),轉(zhuǎn)化為,平移直線,找到直線在軸上截距最小時的點此時,目標函數(shù)取得最小值,最小值為故答案為:-1【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃求最值,還考查了數(shù)形結合的思想方法,屬于基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1);(2)分布列見解析,期望為.【解析】

(1)甲同學至少抽到2道B類題包含兩個事件:一個抽到2道B類題,一個是抽到3個B類題,計算出抽法數(shù)后可求得概率;(2)的所有可能值分別為,依次計算概率得分布列,再由期望公式計算期望.【詳解】(1)令“甲同學至少抽到2道B類題”為事件,則抽到2道類題有種取法,抽到3道類題有種取法,∴;(2)的所有可能值分別為,,,,,∴的分布列為:0123【點睛】本題考查古典概型,考查隨機變量的概率分布列和數(shù)學期望.解題關鍵是掌握相互獨立事件同時發(fā)生的概率計算公式.18.(1)增區(qū)間為,減區(qū)間為;(2).【解析】

(1)將代入函數(shù)的解析式,利用導數(shù)可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)求函數(shù)的導數(shù),分類討論的范圍,利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性,求出函數(shù)的最值可判斷是否恒成立,可得實數(shù)的取值范圍.【詳解】(1)當時,,則,當時,,則,此時,函數(shù)為減函數(shù);當時,,則,此時,函數(shù)為增函數(shù).所以,函數(shù)的增區(qū)間為,減區(qū)間為;(2),則,.①當時,即當時,,由,得,此時,函數(shù)為增函數(shù);由,得,此時,函數(shù)為減函數(shù).則,不合乎題意;②當時,即時,.不妨設,其中,令,則或.(i)當時,,當時,,此時,函數(shù)為增函數(shù);當時,,此時,函數(shù)為減函數(shù);當時,,此時,函數(shù)為增函數(shù).此時,而,構造函數(shù),,則,所以,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則,即當時,,所以,.,符合題意;②當時,,函數(shù)在上為增函數(shù),,符合題意;③當時,同理可得函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,此時,則,解得.綜上所述,實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題考查導數(shù)知識的運用,考查函數(shù)的單調(diào)性與最值,考查恒成立問題,正確求導和分類討論是關鍵,屬于難題.19.(1)證明見解析;(2)【解析】

(1)要證明平面平面BDE,只需在平面內(nèi)找一條直線垂直平面BDE即可;(2)以O為坐標原點,OA,OB,OG所在直線分別為x、y、z軸建立如圖空間直角坐標系,分別求出平面BEF的法向量,平面的法向量,算出即可.【詳解】(1)∵平面ABCD,平面ABCD.∴.又∵底面ABCD是菱形,∴.∵,∴平面BDE,設AC,BD交于O,取BE的中點G,連FG,OG,,,四邊形OCFG是平行四邊形,平面BDE∴平面BDE,又因平面BEF,∴平面平面BDE.(2)以O為坐標原點,OA,OB,OG所在直線分別為x、y、z軸建立如圖空間直角坐標系∵BE與平面ABCD所成的角為,,,,,,.,設平面BEF的法向量為,,,設平面的法向量設二面角的大小為..【點睛】本題考查線面垂直證面面垂直、面面所成角的計算,考查學生的計算能力,解決此類問題最關鍵是準確寫出點的坐標,是一道中檔題.20.(1)證明見解析;(2).【解析】

(1)利用,利用正弦定理,化簡即可證明(2)利用(1),得到當時,,得出,得出,然后可得【詳解】證明:(1)據(jù)題意,得,∴,∴.又∵,∴,∴.解:(2)由(1)求解知,.∴當時,.又,∴,∴,∴.【點睛】本題考查正弦與余弦定理的應用,屬于基礎題21.(1)見解析,,x[0,1];(2)P(,)時,視角∠EPF最大.【解析】

(1)以A為原點,l1為x軸,拋物線的對稱軸為y軸建系,設出方程,通過點的坐標可求方程;(2)設出的坐標,表示出,利用基本不等式求解的最大值,從而可得觀測點P的坐標.【詳解】(1)以A為原點,l1為x軸,拋物線的對稱軸為y軸建系由題意知:B(1,0.5),設拋物線方程為代入點B得:p=1,故方程為,x[0,1];(2)設P(,),t[0,],作PQ⊥l3于Q,記∠EPQ=,∠FPQ=,,令,,則:,當且僅當即,即,即時取等號;故P(,)時視角∠EPF最大,答:P(,)時,視角∠EPF最大.【點睛】本題主要考查圓錐曲線的實際應用,理解題意,構建合適的模型是求解的關鍵,涉及最值問題一般利用基本不等式或者導數(shù)來進行求解,側重考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).22.(1)0.024;(2)分布列見解析,;(3)【解析】

(1)由題意可知,若一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級濾芯總個數(shù)恰好為16,則該套凈水系統(tǒng)中一個一級過濾器需要更換8個濾芯,兩個二級過濾器均需要更換4個濾芯,而由一級濾芯更換頻數(shù)分布表和二級濾芯更換頻數(shù)條形圖可知,一級過濾器需要更換8個濾芯的概率為0.6,二級過濾器需要更換4個濾芯的概

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