福建省閩侯市第六中學(xué)2022年高三下第一次測(cè)試數(shù)學(xué)試題含解析_第1頁(yè)
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2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上,在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知向量,,若,則與夾角的余弦值為()A. B. C. D.2.已知,則()A. B. C. D.23.已知某批零件的長(zhǎng)度誤差(單位:毫米)服從正態(tài)分布,從中隨機(jī)取一件,其長(zhǎng)度誤差落在區(qū)間(3,6)內(nèi)的概率為()(附:若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布,則,.)A.4.56% B.13.59% C.27.18% D.31.74%4.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,且,則()A. B. C. D.5.已知展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和與展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)相等,則項(xiàng)系數(shù)為()A.10 B.32 C.40 D.806.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,,則數(shù)列的公差為()A.-2 B.2 C.4 D.77.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書(shū)中有如下問(wèn)題:“今有芻甍,下廣三丈,袤四丈,上袤二丈,無(wú)廣,高二丈,問(wèn):積幾何?”其意思為:“今有底面為矩形的屋脊?fàn)畹男w,下底面寬3丈,長(zhǎng)4丈,上棱長(zhǎng)2丈,高2丈,問(wèn):它的體積是多少?”已知l丈為10尺,該楔體的三視圖如圖所示,其中網(wǎng)格紙上小正方形邊長(zhǎng)為1,則該楔體的體積為()A.10000立方尺B.11000立方尺C.12000立方尺D.13000立方尺8.已知是虛數(shù)單位,則()A. B. C. D.9.已知三棱柱的所有棱長(zhǎng)均相等,側(cè)棱平面,過(guò)作平面與平行,設(shè)平面與平面的交線(xiàn)為,記直線(xiàn)與直線(xiàn)所成銳角分別為,則這三個(gè)角的大小關(guān)系為()A. B.C. D.10.若樣本的平均數(shù)是10,方差為2,則對(duì)于樣本,下列結(jié)論正確的是()A.平均數(shù)為20,方差為4 B.平均數(shù)為11,方差為4C.平均數(shù)為21,方差為8 D.平均數(shù)為20,方差為811.圓柱被一平面截去一部分所得幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A. B. C. D.12.已知,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在平面直角坐標(biāo)系中,若函數(shù)在處的切線(xiàn)與圓存在公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)____.14.已知隨機(jī)變量,且,則______15.的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是___________.16.已知平行于軸的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn):的兩條漸近線(xiàn)分別交于,兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),若為等邊三角形,則雙曲線(xiàn)的離心率為_(kāi)_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)數(shù)列滿(mǎn)足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),為的前n項(xiàng)和,求證:.18.(12分)已知函數(shù)(,),.(Ⅰ)討論的單調(diào)性;(Ⅱ)若對(duì)任意的,恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.19.(12分)以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸,且兩坐標(biāo)系取相同的長(zhǎng)度單位.已知曲線(xiàn)的參數(shù)方程:(為參數(shù)),直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程:(1)求曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程;(2)若直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于、兩點(diǎn),求的最大值.20.(12分)已知函數(shù),為的導(dǎo)數(shù),函數(shù)在處取得最小值.(1)求證:;(2)若時(shí),恒成立,求的取值范圍.21.(12分)在銳角中,分別是角的對(duì)邊,,,且.(1)求角的大?。唬?)求函數(shù)的值域.22.(10分)某工廠生產(chǎn)某種電子產(chǎn)品,每件產(chǎn)品不合格的概率均為,現(xiàn)工廠為提高產(chǎn)品聲譽(yù),要求在交付用戶(hù)前每件產(chǎn)品都通過(guò)合格檢驗(yàn),已知該工廠的檢驗(yàn)儀器一次最多可檢驗(yàn)件該產(chǎn)品,且每件產(chǎn)品檢驗(yàn)合格與否相互獨(dú)立.若每件產(chǎn)品均檢驗(yàn)一次,所需檢驗(yàn)費(fèi)用較多,該工廠提出以下檢驗(yàn)方案:將產(chǎn)品每個(gè)一組進(jìn)行分組檢驗(yàn),如果某一組產(chǎn)品檢驗(yàn)合格,則說(shuō)明該組內(nèi)產(chǎn)品均合格,若檢驗(yàn)不合格,則說(shuō)明該組內(nèi)有不合格產(chǎn)品,再對(duì)該組內(nèi)每一件產(chǎn)品單獨(dú)進(jìn)行檢驗(yàn),如此,每一組產(chǎn)品只需檢驗(yàn)次或次.設(shè)該工廠生產(chǎn)件該產(chǎn)品,記每件產(chǎn)品的平均檢驗(yàn)次數(shù)為.(1)求的分布列及其期望;(2)(i)試說(shuō)明,當(dāng)越小時(shí),該方案越合理,即所需平均檢驗(yàn)次數(shù)越少;(ii)當(dāng)時(shí),求使該方案最合理時(shí)的值及件該產(chǎn)品的平均檢驗(yàn)次數(shù).

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.B【解析】

直接利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得到向量的坐標(biāo),利用求得參數(shù)m,再用計(jì)算即可.【詳解】依題意,,而,即,解得,則.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量數(shù)量積的應(yīng)用,考查運(yùn)算求解能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想.2.B【解析】

結(jié)合求得的值,由此化簡(jiǎn)所求表達(dá)式,求得表達(dá)式的值.【詳解】由,以及,解得..故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式化簡(jiǎn)求值,考查二倍角公式,屬于中檔題.3.B【解析】試題分析:由題意故選B.考點(diǎn):正態(tài)分布4.C【解析】

根據(jù)在關(guān)于對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上概率相等的性質(zhì)求解.【詳解】,,,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布的應(yīng)用.掌握正態(tài)曲線(xiàn)的性質(zhì)是解題基礎(chǔ).隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則.5.D【解析】

根據(jù)二項(xiàng)式定理通項(xiàng)公式可得常數(shù)項(xiàng),然后二項(xiàng)式系數(shù)和,可得,最后依據(jù),可得結(jié)果.【詳解】由題可知:當(dāng)時(shí),常數(shù)項(xiàng)為又展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和為由所以當(dāng)時(shí),所以項(xiàng)系數(shù)為故選:D【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理通項(xiàng)公式,熟悉公式,細(xì)心計(jì)算,屬基礎(chǔ)題.6.B【解析】

在等差數(shù)列中由等差數(shù)列公式與下標(biāo)和的性質(zhì)求得,再由等差數(shù)列通項(xiàng)公式求得公差.【詳解】在等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,則則故選:B【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列中求由已知關(guān)系求公差,屬于基礎(chǔ)題.7.A【解析】由題意,將楔體分割為三棱柱與兩個(gè)四棱錐的組合體,作出幾何體的直觀圖如圖所示:

沿上棱兩端向底面作垂面,且使垂面與上棱垂直,

則將幾何體分成兩個(gè)四棱錐和1個(gè)直三棱柱,

則三棱柱的體積V1四棱錐的體積V2=13×1×3×2=2【點(diǎn)睛】本題考查三視圖及幾何體體積的計(jì)算,其中正確還原幾何體,利用方格數(shù)據(jù)分割與計(jì)算是解題的關(guān)鍵.8.B【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則,直接計(jì)算,即可得出結(jié)果.【詳解】.故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的乘法,熟記運(yùn)算法則即可,屬于基礎(chǔ)題型.9.B【解析】

利用圖形作出空間中兩直線(xiàn)所成的角,然后利用余弦定理求解即可.【詳解】如圖,,設(shè)為的中點(diǎn),為的中點(diǎn),由圖可知過(guò)且與平行的平面為平面,所以直線(xiàn)即為直線(xiàn),由題易知,的補(bǔ)角,分別為,設(shè)三棱柱的棱長(zhǎng)為2,在中,,;在中,,;在中,,,.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間中兩直線(xiàn)所成角的計(jì)算,考查了學(xué)生的作圖,用圖能力,體現(xiàn)了學(xué)生直觀想象的核心素養(yǎng).10.D【解析】

由兩組數(shù)據(jù)間的關(guān)系,可判斷二者平均數(shù)的關(guān)系,方差的關(guān)系,進(jìn)而可得到答案.【詳解】樣本的平均數(shù)是10,方差為2,所以樣本的平均數(shù)為,方差為.故選:D.【點(diǎn)睛】樣本的平均數(shù)是,方差為,則的平均數(shù)為,方差為.11.B【解析】

三視圖對(duì)應(yīng)的幾何體為如圖所示的幾何體,利用割補(bǔ)法可求其體積.【詳解】根據(jù)三視圖可得原幾何體如圖所示,它是一個(gè)圓柱截去上面一塊幾何體,把該幾何體補(bǔ)成如下圖所示的圓柱,其體積為,故原幾何體的體積為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖以及不規(guī)則幾何體的體積,復(fù)原幾何體時(shí)注意三視圖中的點(diǎn)線(xiàn)關(guān)系與幾何體中的點(diǎn)、線(xiàn)、面的對(duì)應(yīng)關(guān)系,另外,不規(guī)則幾何體的體積可用割補(bǔ)法來(lái)求其體積,本題屬于基礎(chǔ)題.12.B【解析】

利用誘導(dǎo)公式以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡(jiǎn)求解即可.【詳解】,本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用,考查計(jì)算能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得函數(shù)在處的切線(xiàn),再根據(jù)切線(xiàn)與圓存在公共點(diǎn),利用圓心到直線(xiàn)的距離滿(mǎn)足的條件列式求解即可.【詳解】解:由條件得到又所以函數(shù)在處的切線(xiàn)為,即圓方程整理可得:即有圓心且所以圓心到直線(xiàn)的距離,即.解得或,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線(xiàn)方程的問(wèn)題,同時(shí)也考查了根據(jù)直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系求解參數(shù)范圍的問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題.14.0.1【解析】

根據(jù)原則,可得,簡(jiǎn)單計(jì)算,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:隨機(jī)變量,則期望為所以故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布的計(jì)算,掌握正態(tài)曲線(xiàn)的圖形以及計(jì)算,屬基礎(chǔ)題.15.-160【解析】試題分析:常數(shù)項(xiàng)為.考點(diǎn):二項(xiàng)展開(kāi)式系數(shù)問(wèn)題.16.2【解析】

根據(jù)為等邊三角形建立的關(guān)系式,從而可求離心率.【詳解】據(jù)題設(shè)分析知,,所以,得,所以雙曲線(xiàn)的離心率.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線(xiàn)的離心率的求解,根據(jù)條件建立之間的關(guān)系式是求解的關(guān)鍵,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】

(1)利用與的關(guān)系即可求解.(2)利用裂項(xiàng)求和法即可求解.【詳解】解析:(1)當(dāng)時(shí),;當(dāng),,可得,又∵當(dāng)時(shí)也成立,;(2),【點(diǎn)睛】本題主要考查了與的關(guān)系、裂項(xiàng)求和法,屬于基礎(chǔ)題.18.(Ⅰ)見(jiàn)解析(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)求導(dǎo)得到,討論和兩種情況,得到答案.(Ⅱ)變換得到,設(shè),求,令,故在單調(diào)遞增,存在使得,,計(jì)算得到答案.【詳解】(Ⅰ)(),當(dāng)時(shí),在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.(Ⅱ)(),即,().令(),則,令,,故在單調(diào)遞增,注意到,,于是存在使得,可知在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.∴.綜上知,.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性,恒成立問(wèn)題,意在考查學(xué)生對(duì)于導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用能力.19.(1);(2)10【解析】

(1)消去參數(shù),可得曲線(xiàn)C的普通方程,再根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式,代入即可求得曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程;(2)將代入曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系,求得,進(jìn)而得到=,結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì),即可求解.【詳解】(1)由題意,曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為,消去參數(shù),可得曲線(xiàn)C的普通方程為,即,又由,代入可得曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為.(2)將代入,得,即,所以=,其中,當(dāng)時(shí),取最大值,最大值為10.【點(diǎn)睛】本題主要考查了參數(shù)方程與普通方程,極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化,以及曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程的應(yīng)用,著重考查了運(yùn)算與求解能力,屬于中檔試題.20.(1)見(jiàn)解析;(2).【解析】

(1)對(duì)求導(dǎo),令,求導(dǎo)研究單調(diào)性,分析可得存在使得,即,即得證;(2)分,兩種情況討論,當(dāng)時(shí),轉(zhuǎn)化利用均值不等式即得證;當(dāng),有兩個(gè)不同的零點(diǎn),,分析可得的最小值為,分,討論即得解.【詳解】(1)由題意,令,則,知為的增函數(shù),因?yàn)?,,所以,存在使得,即.所以,?dāng)時(shí),為減函數(shù),當(dāng)時(shí),為增函數(shù),故當(dāng)時(shí),取得最小值,也就是取得最小值.故,于是有,即,所以有,證畢.(2)由(1)知,的最小值為,①當(dāng),即時(shí),為的增函數(shù),所以,,由(1)中,得,即.故滿(mǎn)足題意.②當(dāng),即時(shí),有兩個(gè)不同的零點(diǎn),,且,即,若時(shí),為減函數(shù),(*)若時(shí),為增函數(shù),所以的最小值為.注意到時(shí),,且此時(shí),(?。┊?dāng)時(shí),,所以,即,又,而,所以,即.由于在下,恒有,所以.(ⅱ)當(dāng)時(shí),,所以,所以由(*)知時(shí),為減函數(shù),所以,不滿(mǎn)足時(shí),恒成立,故舍去.故滿(mǎn)足條件.綜上所述:的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合,考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值和不等式的恒成立問(wèn)題,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,分類(lèi)討論,數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,屬于較難題.21.(1);(2)【解析】

(1)由向量平行的坐標(biāo)表示、正弦定理邊化角和兩角和差正弦公式可化簡(jiǎn)求得,進(jìn)而得到;(2)利用兩角和差余弦公式、二倍角和輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)為,根據(jù)的范圍可確定的范圍,結(jié)合正弦函數(shù)圖象可確定所求函數(shù)的值域.【詳解】(1),,由正弦定理得:,即,,,,又,.(2)在銳角中,,..,,,,函數(shù)的值域?yàn)椋军c(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換、解三角形和三角函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用問(wèn)題;涉及到共線(xiàn)向量的坐標(biāo)表示、利用三角恒等變換公式化簡(jiǎn)求值、正弦定理邊化角的應(yīng)用、正弦型函數(shù)值域的求解等知識(shí).22.(1)見(jiàn)解析,(2)(i)見(jiàn)解析(

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