7-3乘法原理之染色法教師版

7-7-2-3.乘法原理之染色問題 .題庫 教師版 pageof10.使學(xué)生掌握乘法原理主要內(nèi)容，掌握乘法原理運(yùn)用的方法；.使學(xué)生分清楚什么時(shí)候用乘法原理，分清有幾個(gè)必要的步驟，以及各步之間的關(guān)系．.培養(yǎng)學(xué)生準(zhǔn)確分解步驟的解題能力；乘法原理的數(shù)學(xué)思想主旨在于分步考慮問題，本講的目的也是為了培養(yǎng)學(xué)生分步考慮問題的習(xí)慣．Fl1HlFl1Hl2知識(shí)要點(diǎn)一、乘法原理概念引入老師周六要去給同學(xué)們上課，首先得從家出發(fā)到長寧上8點(diǎn)的課，然后得趕到黃埔去上下午1點(diǎn)半的課．如果說申老師的家到長寧有5種可選擇的交通工具（公交、地鐵、出租車、自行車、步行），然后再從長寧到黃埔有2種可選擇的交通工具（公交、地鐵），同學(xué)們，你們說老師從家到黃埔一共有多少條路線？我們看上面這個(gè)示意圖，老師必須先的到長寧，然后再到黃埔．這幾個(gè)環(huán)節(jié)是必不可少的，老師是一定要先到長寧上完課，才能去黃埔的．在沒學(xué)乘法原理之前，我們可以通過一條一條的數(shù)，把線路找出來，顯而易見一共是10條路線．但是要是老師從家到長寧有25種可選擇的交通工具，并且從長寧到黃埔也有30種可選擇的交通工具，那一共有多少條線路呢？這樣數(shù)，恐怕是要耗費(fèi)很多的時(shí)間了．這個(gè)時(shí)候我們的乘法原理就派上上用場了．二、乘法原理的定義完成一件事，這個(gè)事情可以分成n個(gè)必不可少的步驟（比如說老師從家到黃埔，必須要先到長寧，那么一共可以分成兩個(gè)必不可少的步驟，一是從家到長寧，二是從長寧到黃埔），第1步有A種不同的方法，第二步有B種不同的方法，……，第n步有N種不同的方法.那么完成這件事情一共有AxBx……xN種不同的方法．結(jié)合上個(gè)例子，老師要完成從家到黃埔的這么一件事，需要2個(gè)步驟，第1步是從家到長寧，一共5種選擇；第2步從長寧到黃埔，一共2種選擇；那么老師從家到黃埔一共有5x2個(gè)可選擇的路線了，即10條.三、乘法原理解題三部曲1、完成一件事分N個(gè)必要步驟；

2、每步找種數(shù)（每步的情況都不能單獨(dú)完成該件事）；3、步步相乘四、乘法原理的考題類型1、路線種類問題——比如說老師舉的這個(gè)例子就是個(gè)路線種類問題；2、字的染色問題——比如說要3個(gè)字，然后有5種顏色可以給每個(gè)字然后，問3個(gè)字有多少種染色方法；3、地圖的染色問題——同學(xué)們可以回家看地圖，比如中國每個(gè)省的染色情況，給你幾種顏色，問你一張包括幾個(gè)部分的地圖有幾種染色的方法；4、排隊(duì)問題——比如說6個(gè)同學(xué)，排成一個(gè)隊(duì)伍，有多少種排法；5、數(shù)碼問題一就是對(duì)一些數(shù)字的排列，比如說給你幾個(gè)數(shù)字，然后排個(gè)幾為數(shù)的偶數(shù)，有多少種排法.《例題精講【例1】地圖上有A,B,C,D四個(gè)國家（如下圖），現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)三種顏色給地圖染色，使相鄰國家的顏色不同，但不是每種顏色都必須要用，問有多少種染色方法？【考點(diǎn)】乘法原理之染色問題【題型】解答【考點(diǎn)】乘法原理之染色問題【題型】解答【解析】A有3種顏色可選；當(dāng)B，C取相同的顏色時(shí)，有2種顏色可選，此時(shí)D也有2種顏色可選.根據(jù)乘法原理，不同的涂法有3x2x2=12種；當(dāng)B,C取不同的顏色時(shí)，B有2種顏色可選，C僅剩1種顏色可選，此時(shí)D也只有1種顏色可選（與A相同）.根據(jù)乘法原理，不同的涂法有3x2x1x1=6種.綜上，根據(jù)加法原理，共有12+6=18種不同的涂法.【答案】18【鞏固】如果有紅、黃、藍(lán)、綠四種顏色給例題中的地圖染色，使相鄰國家的顏色不同，但不是每種顏色都必須要用，問有多少種染色方法？【考點(diǎn)】乘法原理之染色問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】第一步，首先對(duì)A進(jìn)行染色一共有4種方法，然后對(duì)B、C進(jìn)行染色，如果B、C取相同的顏色，有三種方式，D剩下3種方式，如果B、C取不同顏色，有3x2=6種方法，D剩下2種方法，對(duì)該圖的染色方法一共有4x（3x3+3x2x2）=84種方法.【注意】給地圖染色問題中有的可以直接用乘法原理解決，有的需要分類解決，前者分類做也可以解決問題．【答案】84【例2】在右圖的每個(gè)區(qū)域內(nèi)涂上A、B、C、D四種顏色之一，使得每個(gè)圓里面恰有四種顏色，則一共有 種不同的染色方法．

【考點(diǎn)】乘法原理之染色問題【難度】4星 【題型】解答【考點(diǎn)】乘法原理之染色問題【難度】4星 【題型】解答【解析】因?yàn)槊總€(gè)圓內(nèi)4個(gè)區(qū)域上染的顏色都不相同，所以一個(gè)圓內(nèi)的4個(gè)區(qū)域一共有4x3x2=24種染色方法．如右圖所示，當(dāng)一個(gè)圓內(nèi)的1、2、3、4四個(gè)區(qū)域的顏色染定后，由于6號(hào)區(qū)域的顏色不能與2、3、4三個(gè)區(qū)域的顏色相同，所以只能與1號(hào)區(qū)域的顏色相同，同理5號(hào)區(qū)域只能與4號(hào)區(qū)域的顏色相同，7號(hào)區(qū)域只能與2號(hào)區(qū)域的顏色相同，所以當(dāng)1、2、3、4四個(gè)區(qū)域的顏色染定后，其他區(qū)域的顏色也就相應(yīng)的只有一種染法，所以一共有24種不同的染法．【答案】24【例3】如圖，地圖上有A,B,C,D四個(gè)國家，現(xiàn)用五種顏色給地圖染色，要使相鄰國家的顏色不相同，有多少種不同染色方法?ABCD【考點(diǎn)】乘法原理之染色問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】為了按要求給地圖上的這四個(gè)國家染色，我們可以分四步來完成染色的工作：第一步：給A染色，有5種顏色可選.第二步：給B染色，由于B不能與A同色，所以B有4種顏色可選.第三步：給C染色，由于C不能與A、B同色，所以C有3種顏色可選.第四步：給D染色，由于D不能與B、C同色，但可以與A同色，所以D有3種顏色可選.根據(jù)分步計(jì)數(shù)的乘法原理，用5種顏色給地圖染色共有5x4x3x3=180種不同的染色方法.【答案】180【鞏固】如圖，一張地圖上有五個(gè)國家A，B，C，D，E，現(xiàn)在要求用四種不同的顏色區(qū)分不同國家，要求相鄰的國家不能使用同一種顏色，不同的國家可以使用同—種顏色，那么這幅地圖有多少著色方法？【考點(diǎn)】乘法原理之染色問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】第一步，給A國上色，可以任選顏色，有四種選擇；第二步，給B國上色，B國不能使用A國的顏色，有三種選擇；第三步，給C國上色，C國與B,A兩國相鄰，所以不能使用A,B國的顏色，只有兩種選擇;第四步，給D國上色，D國與B,C兩國相鄰，因此也只有兩種選擇；

第五步，給E國上色，E國與C,D兩國相鄰，有兩種選擇.共有4x3x2x2x2=96種著色方法.96如圖：將一張紙作如下操作，一、用橫線將紙劃為相等的兩塊，二、用豎線將下邊的區(qū)塊劃為相等的兩塊，三、用橫線將最右下方的區(qū)塊分為相等的兩塊，四、用豎線將最右下方的區(qū)塊劃為相等的兩塊……，如此進(jìn)行8步操作，問：如果用四種顏色對(duì)這一圖形進(jìn)行染色，要求相鄰區(qū)塊顏色不同，應(yīng)該有多少種不同的染色方法？【答案】【例4】【考點(diǎn)】【解析】【答案】【鞏固】【考點(diǎn)】【解析】【答案】【例5】【考點(diǎn)】【解析】【討論】乘法原理之染色問題 【難度】3星 【題型】解答對(duì)這張紙的操作一共進(jìn)行了8次，每次操作都增加了一個(gè)區(qū)塊，所以8次操作后一共有9個(gè)區(qū)塊，我們對(duì)這張紙，進(jìn)行染色就需要9個(gè)步驟，從最大的區(qū)塊從大到小開始染色，每個(gè)步驟地染色方法有：4、3、2、2、2……，所以一共有:4x3x2x2x2x2x2x2x2;1536種.1536用三種顏色去涂如圖所示的三塊區(qū)域，要求相鄰的區(qū)域涂不同的顏色，那么共有幾種不同的涂法？乘法原理之染色問題【題型】解答乘法原理之染色問題【題型】解答涂三塊毫無疑問是分成三步.第一步，涂A部分，那么就有三種顏色的選擇；第二步，涂B部分，由于要求相鄰的區(qū)域涂不同的顏色，A和B相鄰，當(dāng)A確定了一種顏色后，B只有兩種顏色可選擇了；第三步，涂C部分，C和A、B都相鄰，A和B確定了兩種不相同的顏色，那么C只有一種顏色可選擇了.然后再根據(jù)乘法原理.3x2x1=6如圖，有一張地圖上有五個(gè)國家，現(xiàn)在要用四種顏色對(duì)這一幅地圖進(jìn)行染色，使相鄰的國家所染的顏色不同，不相鄰的國家的顏色可以相同．那么一共可以有多少種染色方法？乘法原理之染色問題【難度】3星乘法原理之染色問題【難度】3星【題型】解答這一道題實(shí)際上就是例題，因?yàn)閮煞鶊D各個(gè)字母所代表的國家的相鄰國家是相同的，如果將本題中的地圖邊界進(jìn)行直角化就會(huì)轉(zhuǎn)化為原題，所以對(duì)這幅地圖染色同樣一共有4x3x2x2x2=96種方法.如果染色步驟為C-A-B-D-E，那么應(yīng)該該如何解答？答案：也是4x3x2x2x2=96種方法.如果染色步驟為C-A-D-B-E那么應(yīng)該如何解答?答案：染色的前兩步一共有4x3種方法，但染第

三步時(shí)需要分類討論，如果D與A顏色相同，那么B有2種染法，E也有2種方法，如果D與A染不同的顏色，那么D有2種染法那么B只有一種染法，E有2種染法，所以一共應(yīng)該有4x3x（1x2x2+2x1x2）=96種方法，（教師應(yīng)該向?qū)W生說明第三個(gè)步驟用到了分類討論和加法原理，加法原理在下一講中將會(huì)講授），染色步驟選擇的經(jīng)驗(yàn)方法：每一步驟所染的區(qū)塊應(yīng)該盡量和之前所染的區(qū)塊相鄰．【答案】96【鞏固】某沿海城市管轄7個(gè)縣，這7個(gè)縣的位置如右圖．現(xiàn)用紅、黑、綠、藍(lán)、紫五種顏色給右圖染色，要求任意相鄰的兩個(gè)縣染不同顏色，共有多少種不同的染色方法?【考點(diǎn)】乘法原理之染色問題【難度】4星【考點(diǎn)】乘法原理之染色問題【難度】4星【題型】解答【解析】為了便于分析，把地圖上的7個(gè)縣分別編號(hào)為A、B、C、D、E、F、G（如左下圖）.為了便于觀察，在保持相鄰關(guān)系不變的情況下可以把左圖改畫成右圖．那么，為了完成地圖染色這件工作需要多少步呢?由于有7個(gè)區(qū)域，我們不妨按A、B、C、D、E、F、G的順序，用紅、黑、綠、藍(lán)、紫五種顏色依次分7步來完成染色任務(wù)．第1步：先染區(qū)域A，有5種顏色可供選擇；第2步：再染區(qū)域B，由于B不能與A同色，所以區(qū)域B的染色方式有4種；第3步：染區(qū)域C，由于C不能與B、A同色，所以區(qū)域C的染色方式有3種；第4步：染區(qū)域D，由于D不能與C、A同色，所以區(qū)域D的染色方式有3種；第5步：染區(qū)域E，由于E不能與D、A同色，所以區(qū)域E的染色方式有3種；第6步：染區(qū)域F，由于F不能與E、A同色，所以區(qū)域F的染色方式有3種；第7步：染區(qū)域G，由于G不能與C、D同色，所以區(qū)域G的染色方式有3種.根據(jù)分步計(jì)數(shù)的乘法原理，共有5x4x3x3x3x3x3=4860種不同的染色方法.【答案】4860【例6】用3種顏色把一個(gè)3x3的方格表染色，要求相同行和相同列的3個(gè)格所染的顏色互不相同，一共有種不同的染色法.【考點(diǎn)】乘法原理之染色問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】根據(jù)題意可知，染完后這個(gè)3x3的方格表每一行和每一列都恰有3個(gè)顏色.用3種顏色染第一行，有P3=6種染法；染完第一行后再染第一列剩下的2個(gè)方格，有2種染法；當(dāng)?shù)谝恍泻偷谝涣卸既竞煤?，再根據(jù)每一行和每一列都恰有3個(gè)顏色對(duì)剩下的方格進(jìn)行染色，可知

其余的方格都只有唯一一種染法．所以，根據(jù)乘法原理，共有3x2=6種不同的染法.【答案】6【例7】如右圖，有A、B、C、D、E五個(gè)區(qū)域，現(xiàn)用五種顏色給區(qū)域染色，染色要求：每相鄰兩個(gè)區(qū)域不同色，每個(gè)區(qū)域染一色.有多少種不同的染色方式?百【考點(diǎn)】乘法原理之染色問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】先采用分步：第一步給A染色，有5種方法；第二步給B染色，有4種方式；第三步給C染色，有3種方式；第四步給D染色，有3種方式；第五步，給E染色，由于E不能與A、B、D同色，但可以和C同色.此時(shí)就出現(xiàn)了問題：當(dāng)D與B同色時(shí)，E有3種顏色可染；而當(dāng)D與B異色時(shí)，E有2種顏色可染．所以必須從第四步就開始分類：第一類，D與B同色.E有3種顏色可染，共有5x4x3x3=180（種）染色方式；第二類，D與B異色.D有2種顏色可染，E有2種顏色可染，共有5x4x3x2x2=240（種）染色方式．根據(jù)加法原理，共有180+240=420（種）染色方式.【注意】給圖形染色問題中有的可以直接用乘法原理解決，但如果碰到有首尾相接的圖形往往需要分類解決．【答案】420【鞏固】如右圖，有A，B，C，D四個(gè)區(qū)域，現(xiàn)用四種顏色給區(qū)域染色，要求相鄰區(qū)域的顏色不同，每個(gè)區(qū)域染一色．有多少種染色方法?【考點(diǎn)】乘法原理之染色問題【難度】3星【考點(diǎn)】乘法原理之染色問題【難度】3星【題型】解答【解析】A有4種顏色可選，然后分類:第一類：B,D取相同的顏色.有3種顏色可染，此時(shí)D也有3種顏色可選.根據(jù)乘法原理，不同的染法有4x3x3=36（種）；第二類：當(dāng)B,D取不同的顏色時(shí)，B有3種顏色可染，C有2種顏色可染，此時(shí)D也有2種顏色可染.根據(jù)乘法原理，不同的染法有4x3x2x2=48（種）.根據(jù)加法原理，共有36+48=84（種）染色方法.【答案】84【鞏固】用四種顏色對(duì)右圖的五個(gè)字染色，要求相鄰的區(qū)域的字染不同的顏色，但不是每種顏色都必須要用．問：共有多少種不同的染色方法?【考點(diǎn)】乘法原理之染色問題【題型】解答

【考點(diǎn)】乘法原理之染色問題【題型】解答【解析】第一步給“而”上色，有4種選擇；然后對(duì)“學(xué)”染色，“學(xué)”有3種顏色可選；當(dāng)“奧”，“數(shù)”取相同的顏色時(shí)，有2種顏色可選，此時(shí)“思”也有2種顏色可選，不同的涂法有3x2x2=12種；當(dāng)“奧”，“數(shù)”取不同的顏色時(shí)，“奧”有2種顏色可選，“數(shù)”剩僅1種顏色可選，此時(shí)“思”也只有1種顏色可選（與“學(xué)”相同），不同的涂法有3x2x1x1=6種.所以，根據(jù)加法原理，共有4x3x（2x2+2）=72種不同的涂法.【答案】72【例8】分別用五種顏色中的某一種對(duì)下圖的A,B,C,D,E,F六個(gè)區(qū)域染色，要求相鄰的區(qū)域染不同的顏色，但不是每種顏色都必須要用．問：有多少種不同的染法？【考點(diǎn)】乘法原理之染色問題【題型】解答【考點(diǎn)】乘法原理之染色問題【題型】解答【解析】先按A,B,D,C,E的次序染色，可供選擇的顏色依次有5,4,3,2,3種，注意E與D的顏色搭配有3x3=9（種），其中有3種E和D同色，有6種E和D異色.最后染F，當(dāng)E與D同色時(shí)有3種顏色可選，當(dāng)E與D異色時(shí)有2種顏色可選，所以共有5x4x2x（3x3+6x2）=840種染法.【答案】840【例9】將圖中的。分別涂成紅色、黃色或綠色，要求有線段相連的兩個(gè)相鄰。涂不同的顏色，共有多少種不同涂法？【考點(diǎn)】乘法原理之染色問題【題型】解答【考點(diǎn)】乘法原理之染色問題【題型】解答【解析】如右上圖，當(dāng)A,B,C,D的顏色確定后，大正方形四個(gè)角上的。的顏色就確定了，所以只需求A,B,C,D有多少種不同涂法.按先A，再B,D，后C的順序涂色.按A-B-D-C的順序涂顏色：A有3種顏色可選；當(dāng)B,D取相同的顏色時(shí)，有2種顏色可選，此時(shí)C也有2種顏色可選，不同的涂法有3x2x2=12種;當(dāng)B,D取不同的顏色時(shí)，B有2種顏色可選，D僅剩1種顏色可選，此時(shí)C也只有1種顏色可選（與A相同），不同的涂法有3x2x1x1=6（種）.所以，根據(jù)加法原理，共有12+6=18種不同的涂法.【答案】18【例10】用4種不同的顏色來涂正四面體（如圖，每個(gè)面都是完全相同的正三角形）的4個(gè)面，使不同的面涂有不同的顏色，共有 種不同的涂法.（將正四面體任意旋轉(zhuǎn)后仍然不同的涂色法，才被認(rèn)為是不同的）【考點(diǎn)】乘法原理之染色問題【難度】4星【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，中年級(jí)，復(fù)賽，第9題【解析】不旋轉(zhuǎn)時(shí)共有4x3x2x1=24種染色方式，而一個(gè)正四面體有4x3=12種放置方法（4個(gè)面中選1個(gè)作底面，再從剩余3個(gè)面中選1個(gè)作正面），所以每種染色方式被重復(fù)計(jì)算了12次，則不同的染色方法有24-12=2種?！敬鸢浮?種【例11】用紅、橙、黃、綠、藍(lán)5種顏色中的1種，或2種，或3種，或4種，分別涂在正四面體各個(gè)面上，一個(gè)面不能用兩色，也無一個(gè)面不涂色的，問共有幾種不同涂色方式？【考點(diǎn)】乘法原理之染色問題 【難度】4星 【題型】解答【解析】我們來看正四面體四個(gè)面的相關(guān)位置，當(dāng)?shù)酌娲_定后，（從上面俯視）三個(gè)側(cè)面的順序有順時(shí)針和逆時(shí)針兩種（當(dāng)三個(gè)側(cè)面的顏色只有一種或兩種時(shí)，順時(shí)針和逆時(shí)針的顏色分布是相同的）．按使用了的顏色種數(shù)分類:按使用了的顏色種數(shù)分類:第一類:用了4種顏色．第一步，選4種顏色，相當(dāng)于選1種不用，有5種選法．第二步，如果取定4種顏色涂于4個(gè)面上，有2種方法.這一類有5x2=10（種）涂法；第二類：用了3種顏色.第一步，選3種顏色，相當(dāng)于選2種不用，有5x4+2=10（種）選法；第二步，取定3種顏色如紅、橙、黃3色，涂于4個(gè)面上，有6種方法，如下圖①②③（圖中用數(shù)字1,2,3分別表示紅、橙、黃3色）.這一類有10x6=60（種）涂法；第三類：用了2種顏色.第一步，選2種顏色，有5x4+2=10（種）選法；第二步，取定2種顏色如紅、橙2色，涂于4個(gè)面上，有3種方法，如下圖④⑤⑥.這一類有10x3=30（種）涂法；第四類：用了一種顏色．第一步選1種顏色有5種方法；第二步，取定1種顏色涂于4個(gè)面上，只有1種方法.這一類有5x1=5（種）涂法.根據(jù)加法原理，共有10+60+30+5=105（種）不同的涂色方式．【答案】105【例12】用紅、黃、藍(lán)三種顏色對(duì)一個(gè)正方體進(jìn)行染色使相鄰面顏色不同一共有多少種方法？如果有紅、黃、藍(lán)、綠四種顏色對(duì)正方體進(jìn)行染色使相鄰面顏色不同一共有多少種方法？如果有五種顏色去

染又有多少種？（注：正方體不能翻轉(zhuǎn)和旋轉(zhuǎn)）【考點(diǎn)】乘法原理之染色問題 【難度】3星 【題型】解答【解析】如果一共只有三種顏色供染色，那么正方體的相對(duì)表面只能涂上一種顏色，一共有上下、左右、前后一共三組對(duì)立面，所以染色的方法有3x2x1二6種方法.如果有四種顏色，那么染色方法可分為兩類，一類是從四種顏色中選取三種對(duì)正方體進(jìn)行染色，一共有4x3x2=24種.另一種是四種顏色都染上，用這種染色方法，就允許有一組相對(duì)表面可以染上不同的顏色，選取這組相對(duì)表面并染上不同顏色一共有3x（4x3）=36種方法，用其余兩種顏色去染其他四個(gè)面只有2種方法，共36x2=72種，所以一共有24+72=96種方法.如