2001數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）

絕密★啟用前2001年普通高等學(xué)校春季招生考試（北京、內(nèi)蒙古、安徽卷）數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．第Ⅰ卷1至2頁(yè)．第Ⅱ卷3至8頁(yè)．共150分．考試時(shí)間120分鐘．第Ⅰ卷（選擇題共60分）注意事項(xiàng)：1.答第Ⅰ卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考試科目用鉛筆涂寫在答題卡上．2.每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，不能答在試題卷上．3.考試結(jié)束，監(jiān)考人將本試卷和答題卡一并收回．參考公式：正棱臺(tái)、圓臺(tái)的側(cè)面積公式三角函數(shù)的積化和差公式其中、分別表示上、下底面周長(zhǎng)，表示斜高或母線長(zhǎng)球體的體積公式其中表示球的半徑一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．（1）集體的子集個(gè)數(shù)是 （A）32 （B）31 （C）16 （D）15（2）函數(shù)對(duì)于任意的實(shí)數(shù)都有 （A） （B） （C） （D）（3） （A）0 （B）2 （C） （D）（4）函數(shù)的反函數(shù)是 （A） （B） （C） （D）（5）極坐標(biāo)系中，圓的圓心的坐標(biāo)是（A） （B） （C） （D）（6）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P在直線上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．以O(shè)P為直角邊、點(diǎn)O為直角頂點(diǎn)作等腰，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是 （A）圓 （B）兩條平行直線 （C）拋物線 （D）雙曲線（7）已知，那么等于 （A） （B）8 （C）18 （D）（8）若A、B是銳角的兩個(gè)內(nèi)角，則點(diǎn)在 （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限（9）如果圓錐的側(cè)面展開圖是半圓，那么這個(gè)圓錐的頂角（圓錐軸截面中兩條母線的夾角）是 （A） （B） （C） （D）（10）若實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是 （A）18 （B）6 （C） （D）（11）右圖是正方體的平面展開圖．在這個(gè)正方體中， ①平行 ②CN與BE是異面直線 ③CN與BM成角 ④DM與BN垂直 以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是 （A）①②③ （B）②④ （C）③④ （D）②③④（12）根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查結(jié)果，預(yù)測(cè)某種家用商品從年初開始的個(gè)月內(nèi)累積的需求量（萬(wàn)件）近似地滿足 按此預(yù)測(cè)，在本年度內(nèi)，需求量超過1.5萬(wàn)件的月份是 （A）5月、6月 （B）6月、7月 （C）7月、8月 （D）8月、9月絕密★啟用前2001年普通高等學(xué)校春季招生考試（北京、內(nèi)蒙古、安徽卷）數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）第Ⅱ卷（非選擇題共90分）注意事項(xiàng)： 1.第Ⅱ卷共6頁(yè)，用鋼筆或圓珠筆直接答在試題卷中． 2.答卷前將密封線內(nèi)的項(xiàng)目填寫清楚．題號(hào)二三總分171819202122分?jǐn)?shù)二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分．把答案填在題中橫線上．得分二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分．把答案填在題中橫線上．評(píng)卷人（13）已知球內(nèi)接正方體的表面積為S，那么球體積等于_______________．（14）橢圓長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn)為A，以A為直角頂點(diǎn)作一個(gè)內(nèi)接于橢圓的等腰直角三角形，該三角形的面積是_______________．（15）已知、、均為銳角），那么的最大值等于____________________．（16）已知、是直線，、、是平面，給出下列命題：若，則；②若∥，，則∥；③若不垂直于，則不可能垂直于內(nèi)的無數(shù)條直線；④若，∥，且，則∥∥．其中正確的命題的序號(hào)是_______________（注：把你認(rèn)為正確的命題的序號(hào)都填上）三、解答題：本大題共6小題，共74分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．得分（17）（本小題滿分12分）評(píng)卷人（17）（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間，并證明在其單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性．得分（18）（本小題滿分12分）評(píng)卷人（18）（本小題滿分12分）已知．（Ⅰ）證明；（Ⅱ）設(shè)的輻角為，求的值．得分（19）（本小題滿分12分）評(píng)卷人（19）（本小題滿分12分）已知VC是所在平面的一條斜線，點(diǎn)N是V在平面ABC上的射影，且在的高CD上．之間的距離為．（Ⅰ）證明∠MDC是二面角M–AB–C的平面角；（Ⅱ）當(dāng)∠MDC=∠CVN時(shí)，證明VC；（Ⅲ）若∠MDC=∠CVN=，求四面體MABC的體積．得分（20）（本小題滿分12分）評(píng)卷人（20）（本小題滿分12分）在1與2之間插入個(gè)正數(shù)，使這個(gè)數(shù)成等比數(shù)列；又在1與2之間插入個(gè)正數(shù)，使這個(gè)數(shù)成等差數(shù)列．記．（Ⅰ）求數(shù)列和的通項(xiàng)；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，比較與的大小，并證明你的結(jié)論．得分（21）（本小題滿分12分）評(píng)卷人（21）（本小題滿分12分）某摩托車生產(chǎn)企業(yè)，上年度生產(chǎn)摩托車的投入成本為1萬(wàn)元/輛，出廠價(jià)為1.2萬(wàn)元/輛，年銷售量為1000輛．本年度為適應(yīng)市場(chǎng)需求，計(jì)劃提高產(chǎn)品檔次，適度增加投入成本．若每輛車投入成本增加的比例為，則出廠價(jià)相應(yīng)提高的比例為0.75，同時(shí)預(yù)計(jì)年銷售量增加的比例為0.6．已知年利潤(rùn)=（出廠價(jià)–投入成本）年銷售量．（Ⅰ）寫出本年度預(yù)計(jì)的年利潤(rùn)與投入成本增加的比例的關(guān)系式；（Ⅱ）為使本年度的年利潤(rùn)比上年有所增加，問投入成本增加的比例應(yīng)在什么范圍內(nèi)？得分（22）（本小題滿分14分）評(píng)卷人（22）（本小題滿分14分）已知拋物線．過動(dòng)點(diǎn)M（，0）且斜率為1的直線與該拋物線交于不同的兩點(diǎn)A、B，．（Ⅰ）求的取值范圍；（Ⅱ）若線段AB的垂直平分線交軸于點(diǎn)N，求面積的最大值．絕密★啟用前2001年普通高等學(xué)校春季招生考試（北京、內(nèi)蒙古、安徽卷）數(shù)學(xué)試題（理工農(nóng)醫(yī)類）參考解答及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)說明：一、本解答指出了每題要考查的主要知識(shí)和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)制訂相應(yīng)的評(píng)分細(xì)則．二、對(duì)計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分．三、解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)．四、只給整數(shù)分?jǐn)?shù)．選擇題和填空題不給中間分．一、選擇題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算．每小題5分，滿分60分． （1）A （2）C （3）D （4）C （5）A （6）B （7）D （8）B （9）C （10）B （11）C （12）C二、填空題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算．每小題4分，滿分16分． （13） （14） （15） （16）②④三、解答題（17）本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性及不等式的基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)學(xué)推理判斷能力．滿分12分． 解：函數(shù)的定義域?yàn)樵趦?nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)也是減函數(shù)……4分證明在內(nèi)是減函數(shù)取，且，那么……6分∵∴即在內(nèi)是減函數(shù)……9分同理可證在內(nèi)是減函數(shù)……12分（18）本小題主要考查復(fù)數(shù)的基本概念和基本運(yùn)算，考查綜合運(yùn)用復(fù)數(shù)的知識(shí)解決問題的能力．滿分12分．解：（Ⅰ）由 ，得． ……4分因?yàn)?，，所以? ……6分（Ⅱ）因?yàn)椋?，而，所以，，同理，．由（Ⅰ）知，即，所以的?shí)部為， ……8分而的輻角為時(shí)，復(fù)數(shù)的實(shí)部為，所以 ……12分（19）本小題主要考查線面關(guān)系的基本概念，考查運(yùn)用直線與直線、直線與平面的基本性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算和證明的能力．滿分12分．（Ⅰ）證明：由已知， ， ∴． ∴． ……2分 又V、M、N、D都在VNC所在平面內(nèi)，所以，DM與VN必相交，且，∴∠MDC為二面角的平面角． ……4分（Ⅱ）證明：由已知，∠MDC=∠CVN，在中，∠NCV=∠MCD，又∵∠VNC=，∴∠DMC=∠VNC=．故有， ……6分∴． ……8分（Ⅲ）解：由（Ⅰ）、（Ⅱ），，∴．又∵∠．在中，． ……10分 ． ……12分（20）本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)，考查觀察、猜想并進(jìn)行證明的數(shù)學(xué)思想方法．滿分12分．解：（I）∵成等比數(shù)列，∴，∴∴ ……4分∵成等差數(shù)列，∴，∴所以，數(shù)列的通項(xiàng)，數(shù)列的通項(xiàng) ……6分（II）∵，，∴，要比較與的大小，只需比較與的大小，也即比較當(dāng)時(shí)，與的大?。?dāng)時(shí)，，，得知，經(jīng)驗(yàn)證時(shí)，均有命題成立．猜想當(dāng)時(shí)有．用數(shù)學(xué)歸納法證明． ……9分（i）當(dāng)時(shí)，已驗(yàn)證，命題成立．（ii）假設(shè)時(shí)，命題成立，即，那么又當(dāng)時(shí)，有∴這就是說，當(dāng)時(shí)，命題成立．根據(jù)（i）、（ii），可知命題對(duì)于都成立．故當(dāng)時(shí)， ……12分（21）本小題主要考查建立函數(shù)關(guān)系、不等式的性質(zhì)和解法等內(nèi)容，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力．滿分12分．解：（Ⅰ）由題意得， ……4分整理得． ……6分（Ⅱ）要保證本年度的利潤(rùn)比上年度有所增加，當(dāng)且僅當(dāng)即 ……9分解不等式得．答：為保證本年度的年利潤(rùn)比上年度有所增加，投入成本增加的比例應(yīng)滿足． ……12分（22）本小題考查直線與拋物線的基本概念及位置關(guān)系，考查運(yùn)用解析幾何的方法解決數(shù)學(xué)問題的能力．滿分14分．解：（Ⅰ）直線的方程為，將，得． ……2分設(shè)直線與拋物線兩個(gè)不同交點(diǎn)的坐標(biāo)為、，則 ……4分又，∴