上海顧村中學(xué)2021年高一數(shù)學(xué)理期末試題含解析

上海顧村中學(xué)2021年高一數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.△ABC中，B=30°，，，那么△ABC的面積是（

）A. B. C.或 D.或參考答案：D試題分析：由正弦定理得時三角形為直角三角形，面積為，當(dāng)時三角形為等腰三角形，面積為

2.函數(shù)的大致圖象是()

參考答案：C3.（5分）若圓（x﹣3）2+（y+5）2=r2上有且只有兩個點到直線4x﹣3y=17的距離等于1，則半徑r的取值范圍是（） A． （0，2） B． （1，2） C． （1，3） D． （2，3）參考答案：C考點： 直線與圓的位置關(guān)系．專題： 直線與圓．分析： 設(shè)圓心（3，﹣5）到直線4x﹣3y=17的距離為d，則由題意可得r﹣1＜d＜r+1，利用點到直線的距離公式求出d的值，解不等式求得半徑r的取值范圍．解答： 設(shè)圓心（3，﹣5）到直線4x﹣3y=17的距離為d，則由題意可得r﹣1＜d＜r+1．即r﹣1＜＜r+1，解得1＜r＜3，故選C．點評： 本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，點到直線的距離公式，屬于中檔題．4.下列所給4個圖象中，與所給3件事吻合最好的順序為

（

）（1）我離開家不久，發(fā)現(xiàn)自己把作業(yè)本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作業(yè)本再上學(xué)；（2）我騎著車一路以常速行駛，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽擱了一些時間；（3）我出發(fā)后，心情輕松，緩緩行進，后來為了趕時間開始加速。A、（1）（2）（4）

B、（4）（2）（3）

C、（4）（1）（3）

D、（4）（1）（2）參考答案：D略5.（3分）若，=（﹣2，4），=（4，6），則=（） A． ，（1，5） B． ，（3，1） C． ，（6，2） D． ，（﹣3，﹣1）參考答案：B考點： 平面向量的坐標(biāo)運算．專題： 平面向量及應(yīng)用．分析： 根據(jù)平面向量的線性運算以及坐標(biāo)運算，求出即可．解答： ∵=（﹣2，4），=（4，6），∴=﹣=（4+2，6﹣4）=（6，2），∴=（3，1）．故選：B．點評： 本題考查了平面向量的線性運算以及坐標(biāo)運算問題，是基礎(chǔ)題目．6.（5分）已知全集U=R，集合A={x|x＞1}，集合B={x|3x﹣4≤0}，滿足如圖所示的陰影部分的集合是（） A． {x|x＞1} B． {x|1＜x≤} C． {x|x≤1} D． {x|x＞}參考答案：D考點： Venn圖表達(dá)集合的關(guān)系及運算．專題： 集合．分析： 先確定陰影部分對應(yīng)的集合為（?UB）∩A，然后利用集合關(guān)系確定集合元素即可．解答： 陰影部分對應(yīng)的集合為（?UB）∩A，∵B={x|3x﹣4≤0}={x|x≤}，∴?UB={x|x＞}，∴（?UB）∩A={x|x＞}故選：D點評： 本題主要考查集合的基本運算，利用Venn圖，確定陰影部分的集合關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．7.終邊在直線y=x上的角α的集合是(

)．A.{α|α=k?360°+45°，k∈Z}

B.{α|α=k?360°+225°，k∈Z}

C.{α|α=k?180°+45°，k∈Z}

D.{α|α=k?180°-45°，k∈Z}

參考答案：C8.若集合，則集合A真子集的個數(shù)是（）

A.1個

B.2個

C.3個

D.4個參考答案：C9.如圖是某學(xué)校某年級的三個班在一學(xué)期內(nèi)的六次數(shù)學(xué)測試的平均成績y關(guān)于測試序號x的函數(shù)圖象，為了容易看出一個班級的成績變化，將離散的點用虛線連接，根據(jù)圖象，給出下列結(jié)論：①一班成績始終高于年級平均水平，整體成績比較好；②二班成績不夠穩(wěn)定，波動程度較大；③三班成績雖然多數(shù)時間低于年級平均水平，但在穩(wěn)步提升．其中正確結(jié)論的個數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．3參考答案：D【考點】命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】直接由散點圖逐一分析三個選項得答案．【解答】解：由圖可可知，一班成績始終高于年級平均水平，整體成績比較好，故①正確；二班的成績有時高于年級整體成績，有時低于年級整體成績，特別是第六次成績遠(yuǎn)低于年級整體成績，可知二班成績不夠穩(wěn)定，波動程度較大，故②正確；三班成績雖然多數(shù)時間低于年級平均水平，只有第六次高于年級整體成績，但在穩(wěn)步提升，故③正確．∴正確結(jié)論的個數(shù)為①②③．故選：D．10.下列條件中，能判斷兩個平面平行的是（）A．一個平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個平面B．一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線平行于另一個平面C．平行于同一個平面的兩個平面D．垂直于同一個平面的兩個平面參考答案：C【考點】平面與平面之間的位置關(guān)系．【分析】A中，一個平面內(nèi)的兩條直線平行線平行于另一個平面，則這兩個平面相交或平行；在B中，一個平面內(nèi)的無數(shù)條平行線平行于另一個平面，則這兩個平面相交或平行；在C中，由平面平行的判定定理得平行于同一平面的兩個平面互相平行；在D中，垂直于同一個平面的兩個平面平行或相交．【解答】解：在A中，一個平面內(nèi)的兩條相交直線平行于另一個平面，則這兩個平面平行；一個平面內(nèi)的兩條直線平行線平行于另一個平面，則這兩個平面相交或平行，故A錯誤；在B中，一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線平行于另一個平面，則這兩個平面相交或平行，故B錯誤；在C中，由平面平行的判定定理得平行于同一平面的兩個平面互相平行，故C正確；在D中，垂直于同一個平面的兩個平面平行或相交，故D錯誤．故選：C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)的值域為___

▲

．參考答案：12.化簡：+（π＜α＜）=．參考答案：﹣【考點】三角函數(shù)的化簡求值．【分析】原式被開方數(shù)分子分母都等于分母，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系及二次根式性質(zhì)化簡，即可得到結(jié)果．【解答】解：∵π＜α＜，∴sinα＜0，則原式=+=+==﹣．故答案為：﹣．13.某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的固定成本為2000萬元，每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加10萬元，又知總收入k是產(chǎn)品數(shù)θ的函數(shù)，，則總利潤L(θ)的最大值是________．參考答案：略 14.已知函數(shù)的圖像與直線的三個交點的橫坐標(biāo)分別為，那么的值是__________.參考答案：15.若函數(shù)與互為反函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間是___________.參考答案：略16.已知0＜α＜β＜，且cosαcosβ+sinαsinβ=，tanβ=，則tanα=． 參考答案：【考點】兩角和與差的正切函數(shù)；同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用． 【專題】三角函數(shù)的求值． 【分析】由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得tan（α﹣β）的值，再利用兩角和差的正切公式求得tanα的值． 【解答】解：∵0＜α＜β＜，且cosαcosβ+sinαsinβ=，∴cos（α﹣β）=，α﹣β∈（﹣，0）， ∴sin（α﹣β）=﹣，∴tan（α﹣β）==﹣，即==﹣， 求得tanα=． 故答案為：． 【點評】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和差的正切公式，屬于基礎(chǔ)題．17.已知函數(shù)的圖象上關(guān)于y軸對稱的點恰有9對，則實數(shù)a的取值范圍是．參考答案：【考點】3O：函數(shù)的圖象．【分析】求出函數(shù)f（x）=sin（x）﹣1，（x＜0）關(guān)于y軸對稱的解析式，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．【解答】解：若x＞0，則﹣x＜0，∵x＜0時，f（x）=sin（x）﹣1，∴f（﹣x）=sin（﹣x）﹣1=﹣sin（x）﹣1，則若f（x）=sin（x）﹣1，（x＜0）關(guān)于y軸對稱，則f（﹣x）=﹣sin（x）﹣1=f（x），即y=﹣sin（x）﹣1，x＞0，設(shè)g（x）=﹣sin（x）﹣1，x＞0作出函數(shù)g（x）的圖象，要使y=﹣sin（x）﹣1，x＞0與f（x）=logax，x＞0的圖象恰有9個交點，則0＜a＜1且滿足f（17）＞g（17）=﹣2，f（21）＜g（21）=﹣2，即﹣2＜loga17，loga21＜﹣2，即loga17＞logaa﹣2，loga21＜logaa﹣2，則17＜，21＞，解得＜a＜，故答案為：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知如表為“五點法”繪制函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）圖象時的五個關(guān)鍵點的坐標(biāo)（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π）x﹣f（x）020﹣20（Ⅰ）請寫出函數(shù)f（x）的最小正周期和解析式；（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；（Ⅲ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，]上的取值范圍．參考答案：【考點】由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式；正弦函數(shù)的圖象．【分析】（Ⅰ）由函數(shù)的圖象的頂點坐標(biāo)求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，可得函數(shù)f（x）的解析式，從而求得它的周期．（Ⅱ）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．（Ⅲ）利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，]上的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）由表格可得A=2，=+，∴ω=2，結(jié)合五點法作圖可得2?+φ=，∴φ=，∴f（x）=2sin（2x+），它的最小正周期為=π．（Ⅱ）令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．（Ⅲ）在區(qū)間[0，]上，2x+∈[，]，sin（2x+）∈[﹣，1]，f（x）∈[﹣，2]，即函數(shù)f（x）的值域為[﹣，2]．19.某校從高一年級學(xué)生中隨機抽取40名學(xué)生，將他們的期中考試數(shù)學(xué)成績（滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：后得到如圖的頻率分布直方圖．（1）求圖中實數(shù)a的值；（2）若該校高一年級共有學(xué)生1000人，試估計該校高一年級期中考試數(shù)學(xué)成績不低于60分的人數(shù)．（3）若從樣本中數(shù)學(xué)成績在兩個分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生中隨機選取2名學(xué)生，試用列舉法求這2名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績之差的絕對值大于10的槪率．參考答案：【考點】列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；頻率分布直方圖．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計．【分析】（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)能求出a的值．（2）先求出數(shù)學(xué)成績不低于60分的概率，由此能求出數(shù)學(xué)成績不低于60分的人數(shù)．（3）數(shù)學(xué)成績在的學(xué)生人數(shù)為4人，由此利用列舉法能求出這2名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績之差的絕對值大于10的槪率．【解答】解：（1）由頻率分布直方圖，得：0.05+0.1+0.2+10a+0.25+0.1=1，解得a=0.03．（2）數(shù)學(xué)成績不低于60分的概率為：0.2+0.3+0.25+0.1=0.85，∴數(shù)學(xué)成績不低于60分的人數(shù)為：1000×0.85=850（人）．（3）數(shù)學(xué)成績在的學(xué)生人數(shù)為40×0.1=4（人），設(shè)數(shù)學(xué)成績在的學(xué)生為a，b，c，d，從樣本中數(shù)學(xué)成績在兩個分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生中隨機選取2名學(xué)生，基本事件有：{AB}，{Aa}，{Ab}，{Ac}，{Ad}，{Ba}，{Bb}，{Bc}，{Bd}，{ab}，{ac}，{ad}，{bc}，{bd}，{c，d}，其中兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績之差的絕對值大于10的情況有：{Aa}，{Ab}，{Ac}，{Ad}，{Ba}，{Bb}，{Bc}，{Bd}，共8種，∴這2名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績之差的絕對值大于10的槪率為．【點評】本題考查頻率直方圖的應(yīng)用，考查概率的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意列舉法的合理運用．20.（本小題滿分12分）今日必看在中，今日必看邊上的高所在直線方程為的平分線所在直線的方程為，若點的坐標(biāo)為，求點和點的坐標(biāo).今日必看參考答案：解.

4分即]今日必看

6分又的平分線所在直線方程為今日必看今日必看

10分由今日必看即

12分略21.（本題滿分14分）一個包裝箱內(nèi)有6件產(chǎn)品，其中4件正品，2件次品?，F(xiàn)隨機抽出兩件產(chǎn)品，（1）求恰好有一件次品的概率。（2）求都是正品的概率。（3）求抽到次品的概率參考答案：將六件產(chǎn)品編號，ABCD(正品),ef（次品）,從6件產(chǎn)品中選2件，其包含的基本事件為：（AB）（AC）（AD）（Ae）（Af）（BC）（BD）（Be）（Bf）（CD）（Ce）（Cf）（De）（Df）（ef）.共有15種，

……………2分（1）設(shè)恰好有一件次品為事件A，事件A中基本事件數(shù)為：8則P（A）＝

……………6分（2）設(shè)都是正品為事件B，事件B中基本事件數(shù)為：6則P（B）＝

……………10分（3）設(shè)抽到次品為事件C，事件C與事件B是對立事件，則P（C）＝1－P(B)＝1－

……………14分22.（本小題滿分12分）已知直三棱柱中，，是中點，是中點．（Ⅰ）求三棱柱的體積；（Ⅱ）求證：；（Ⅲ）求證：∥面．參考答案：（Ⅰ）

---------------------------------3分（Ⅱ）∵,∴為等腰三角形∵為中點