兩無限大介質(zhì)平面的鏡像

兩無限大介質(zhì)平面的像電荷楊河林（華中師范大學(xué)物理系武漢430079）摘要： 討論了兩無限大介質(zhì)平面的像電荷不同求法，分析了像電荷與所假設(shè)空間介質(zhì)電容率有關(guān)。在求靜電場問題中，最容易掌握的方法是鏡像法。它的理論基礎(chǔ)是唯一性定理和疊加原理。對于在一些特殊邊界下有限個點(diǎn)電荷所激發(fā)電場的一類問題，求解電位的方法是用假想的一個或幾個像電荷代替分界面（導(dǎo)體面或介質(zhì)面）上復(fù)雜的電荷（感應(yīng)或極化）分布對電位的貢獻(xiàn)，之后就不再考慮邊界的作用。這樣不再直接求解泊松方程，只需求解像電荷和邊界內(nèi)給定電荷共同激發(fā)的電位，從而使求解簡化。按照唯一性定理，在所求電位區(qū)域內(nèi)所得到的解只要滿足泊松方程和邊界條件，這個解就是唯一正確的解。這樣對像電荷的要求有兩點(diǎn)一是像電荷不能在所求電位的區(qū)域內(nèi)，二是包括像電荷在內(nèi)的空間所有電荷產(chǎn)生的電位要滿足邊界條件。至于像電荷的位置和大小在有些問題中并不是唯一的。以下就以兩無限大介質(zhì)平面為例討論不同像電荷的求法。如圖所示，空間充滿兩種電容率分別為氣和s2的介質(zhì)，分界面為以無限大平面，在距界面為a處置一點(diǎn)電荷q如圖所示，空間充滿兩種電容率分別為氣和s2的介質(zhì)，分界面為以無限大平面，在距界面為a處置一點(diǎn)電荷q，求空間電位的分布。設(shè)介質(zhì)s1、s2中電位分別為咒和中2，所滿足的定解問題為：V2中=—q8(尤,y,z-a)1sV29=0129I=9I1z=0 2z=0*2|s—1dnz=0z<089=s—228nz=0（1） 兩無限大介質(zhì)平面的像電荷1.像電荷求法1.考慮介質(zhì)的微觀本質(zhì)，把空間電位看作是給定電荷q、極化電荷^和介質(zhì)界面上極化電荷q^產(chǎn)生的，而極化電荷q；對電位的貢獻(xiàn)可用像電荷q'來等效。這相當(dāng)于把空間看作是充滿了的電容率為s0介質(zhì)。在求91時像電荷q‘在s2介質(zhì)中距界面為b；在求92時像電荷q在S1介質(zhì)中距界面也為b。電位的分布為:91=19=91=19=2式中：上?+勺z>04兀s r r—土+勺zv04兀s r rIr=(X2+y2+(z-a)2，r1 2=yix2+y2+(z+b)2，由邊界條件得:（2）1=Jx2+y2+(z-b)2。sqa(s-s) q'b(s+s)(3) 0 1 2= 1 2—s(X2+y2+a2)(X2+y2+b2)要使任意的x,y(3)b=a,q凌o（注2）q8（S+￡b=a,q凌o（注2）q8（S+￡）—（i+8L2q4兀8r8+8111 1q22兀（81+82）r（4）（5）同時，如設(shè)n為從81指向82的單位法矢，P1>P2分別為介質(zhì)中的極化強(qiáng)度，可求得界面上的極化電荷分布及總電量為 '2b,=-n-（p2（6）-p）二（tz82—q—1 2氣（8］+82）（尤2+y2+b2=jjbpds=8o（81~82）q=q'8（8+8）（7）討論：（1）（2）8181=82=8，貝qq=0，電位甲］=甲2=^^^。11=8o,82T3（導(dǎo)體）則q'=-q，電位中］=4^8o2,像電荷求法2.qq、—一一），rrq依據(jù)無限大介質(zhì)8中點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電位是平=若，在求中］時把空間看作是充滿了的電容率為8介質(zhì)，像電荷q'在下半空間中距界面為a；在求中2時把空間看作是充滿了的電容率為82介質(zhì)，1像電荷q〃在上半空間中距界面為a。電位的分布為：1 ,qq、 （三+二） z>0（8）4兀（8）:工業(yè)zv04冗82

L式中:r=q2+y2+（z+a）2。式中:2 '由邊界條件得：<8由邊界條件得：<81, 82q=-q（9）（10）q，=-q〃==q（10）8+812把（10）代入（8）所求電位分布與像電荷求法1求得的結(jié)果一樣。同理可求得界面上的極化電荷總電量為q=以q。p81q討論：（1）81=82=8，則q1=q〃=0，電位中1=P2=4丸8 °1（2）8=8,8T8（導(dǎo)體）則q'=-q"=-q，電位中= （———），中=01 02 1 4兀8 rr23.像電荷求法3. 01 2與前兩種方法相似，在求％時把上半空間看作是充滿了的電容率為8介質(zhì)，下半空間看作是

充滿了的電容率為￡2介質(zhì)，此時的分界面對電位的計算無任何作用，像電荷q'在下半空間中距界面為a；在求中2時把空間看作是充滿了的電容率為￡介質(zhì)，像電荷q"在上半空間中距界面為a，電位的分布為： 1咒％r1(11)式中：r1=K’x2+y2+(z—a)2=\：x2咒％r1(11)式中：r1=K’x2+y2+(z—a)2=\：x2+y2+（z+a）2。由邊界條件得:5￡—￡—￡1￡2 ￡12q-匕q'=Mq￡2 ￡1同理可求得界面上的極化電荷總電量為qpr2q，=%二q￡￡+￡q”=W2q￡+￡=日q，。￡2_L(i+￡1—￡2q4k￡r￡+￡111 1q22兀(￡+￡)討論：（1）￡=￡=￡，則電位甲1=平q4k￡r1（導(dǎo)體）則q"=—q，』(1-勺，4k￡rr中中24.結(jié)論1q1q'^= +14k￡r4k￡r111q+q24K￡ r11，￡q=￡1礦￡1一￡2q1q1q'^= +14k￡r4k￡r111q+q24K￡ r11，￡q=￡1礦￡1一￡2q￡+￡￡1—￡22q￡+￡12n，+二4k￡r￡+￡111 1q22兀(￡+￡)式中：r1=32+y2+(z—a)2界面上的極化電荷總電量為qpr2￡=?q?！暧懻摚孩拧?=￡2=￡'，則電位甲廣甲2q4兀￡’r11電位中=.1 4K￡0（2）￡=￡,￡T8（導(dǎo)體）則q=—1 02 ￡0綜上所述，對于兩無限大介質(zhì)平面，在求像電荷所產(chǎn)生的電位時，由于界面的作用已不考慮，空間電容率的分布可以任意假設(shè)，像電荷就有不同的取值，像電荷無論怎么取空間電位的分布是唯一的。通過這個例子一方面能夠更好地掌握鏡像法的運(yùn)用另一方面也是對靜電場唯一性定理的具體認(rèn)識。參考文獻(xiàn)：［1］郭碩鴻.電動力學(xué).北京：高等教育出版社,1997[2]宋福，李英華.西安：西安交通大學(xué)出版社,2000Imagechargesoftwodielectricin