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云南省昆明市宜良縣草甸中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)理月考試卷含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.下列函數(shù)中,周期為且圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的函數(shù)是
A.
B.
C.
D.
參考答案:D略2.函數(shù)的大致圖象如右圖所示,則函數(shù)的圖象可能是()參考答案:D3.已知函數(shù)([x]表示不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)),若函數(shù)的零點(diǎn)為,則(
)A. B.-2C. D.參考答案:B【分析】先對(duì)函數(shù)求導(dǎo),判斷函數(shù)單調(diào)性,再根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理,確定的大致范圍,求出,進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?,所以在上恒成立,即函?shù)在上單調(diào)遞增;又,所以在上必然存在零點(diǎn),即,因此,所以.故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,以及函數(shù)的零點(diǎn),熟記導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)單調(diào)性,以及零點(diǎn)的存在性定理即可,屬于??碱}型.4.函數(shù)的圖像大致是(
)
A.
B.
C.
D.
參考答案:A函數(shù)的定義域?yàn)?,?dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,綜上可知選A.5.設(shè)復(fù)數(shù)(i為虛數(shù)單位),則z的虛部為A.-1 B.1 C.–i D.i參考答案:B6.M是正方體的棱的中點(diǎn),給出下列命題:①過(guò)M點(diǎn)有且只有一條直線與直線、都相交;②過(guò)M點(diǎn)有且只有一條直線與直線、都垂直;③過(guò)M點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與直線、都相交;④過(guò)M點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與直線、都平行.其中真命題是(
)A.②③④
B.①③④
C.①②④
D.①②③參考答案:C略7.函數(shù)的圖象與函數(shù)g(x)=ln(x+2)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.4參考答案:B【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象.【分析】作函數(shù)與g(x)=ln(x+2)的圖象,從而利用數(shù)形結(jié)合求解.【解答】解:作函數(shù)與g(x)=ln(x+2)的圖象如下,,故函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).故選B.8.要得到函數(shù)的圖象,只需將函數(shù)的圖象(
)A.向右平移個(gè)單位 B.向右平移個(gè)單位C.向左平移個(gè)單位 D.向左平移個(gè)單位參考答案:A9.若,則A.
B.
C.
D.參考答案:B【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的有關(guān)概念與運(yùn)算.
L4解析:【思路點(diǎn)撥】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)積得意義求解.10.一個(gè)壇子里有編號(hào)為1,2,…,12的12個(gè)大小相同的球,其中1到6號(hào)球是紅球,其余的是黑球.若從中任取兩個(gè)球,則取到的都是紅球,且至少有1個(gè)球的號(hào)碼是偶數(shù)的概率為(
)A.
B.
C.
D.參考答案:答案:D解析:從中任取兩個(gè)球共有種取法,其中取到的都是紅球,且至少有1個(gè)球的號(hào)碼是偶數(shù)的取法有種取法,概率為,選D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知正項(xiàng)數(shù)列為等比數(shù)列且的等差中項(xiàng),若,則該數(shù)列的前5項(xiàng)的和為_(kāi)________參考答案:【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和.D2
【答案解析】31
解析:設(shè)正項(xiàng)數(shù)列等比數(shù)列{an}的公比為q,∵5a2是a4與3a3的等差中項(xiàng),∴10a2=a4+3a3,∴10a2=,又a2=2,∴20=2q2+6q,又q>0.解得q=2.∴a1==1.∴該數(shù)列的前5項(xiàng)的和==31.故答案為:31.【思路點(diǎn)撥】利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式即可得出.12.設(shè)雙曲線C的焦點(diǎn)在x軸上,漸近線方程為,則其離心率為.參考答案:【考點(diǎn)】KB:雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【分析】由雙曲線漸近線方程得b=2a,從而可求c,最后用離心率的公式,可算出該雙曲線的離心率.【解答】解:∵焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C的漸近線方程為,∴b=a,∴c==a,∴e==.故答案是:.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì).考查了學(xué)生對(duì)雙曲線方程基礎(chǔ)知識(shí)的掌握和運(yùn)用.13.設(shè).(1)求實(shí)數(shù)a;(2)求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式;(3)若,求證:b1+b2+…+bn<n+1.
參考答案:(1)(2)(3)略解析:解:由,得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),有唯一的解,此時(shí)(2)由得,所以是以為首項(xiàng)為公差的等差數(shù)列,由,得(3)
略14.實(shí)數(shù)的最小值是
.參考答案:8由題意可知,15.已知a,b>0,且,則(a+1)(b+2)的最小值為.參考答案:【考點(diǎn)】基本不等式.【專(zhuān)題】不等式的解法及應(yīng)用.【分析】由題意可得ab=(2a+b),展開(kāi)代入可得(a+1)(b+2)=(2a+b)()+2=(4++)+2,由基本不等式可得.【解答】解:∵a,b>0,且,∴=3,∴ab=(2a+b),∴(a+1)(b+2)=ab+2a+b+2=(2a+b)+2=(2a+b)()+2=(4++)+2≥(4+2)+2=,當(dāng)且僅當(dāng)=即a=且b=時(shí)取等號(hào).故答案為:.【點(diǎn)評(píng)】本題考查基本不等式求最值,整體代換是解決問(wèn)題的關(guān)鍵,屬中檔題.16.若函數(shù)滿足且時(shí),;函數(shù)
,則函數(shù)與的圖象在區(qū)間內(nèi)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)共有
個(gè).參考答案:8.解:函數(shù)以2為周期,是偶函數(shù),畫(huà)出圖像可知有8個(gè)交點(diǎn).
17.已知x>﹣3,則x+的最小值為.參考答案:4﹣3考點(diǎn): 基本不等式.
專(zhuān)題: 等差數(shù)列與等比數(shù)列.分析: 由題意可得x+3>0,可得x+=x+3+﹣3,由基本不等式可得.解答: 解:∵x>﹣3,∴x+3>0,∴x+=x+3+﹣3≥2﹣3=4﹣3,當(dāng)且僅當(dāng)x+3=即x=2﹣3時(shí)取等號(hào),故答案為:4﹣3.點(diǎn)評(píng): 本題考查基本不等式求最值,湊出可用基本不等式的形式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵,屬基礎(chǔ)題.三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟18.上世紀(jì)八十年代初,鄧小平同志曾指出“在人才的問(wèn)題上,要特別強(qiáng)調(diào)一下,必須打破常規(guī)去發(fā)現(xiàn)、選拔和培養(yǎng)杰出的人才”.據(jù)此,經(jīng)省教育廳批準(zhǔn),某中學(xué)領(lǐng)導(dǎo)審時(shí)度勢(shì),果斷作出于1985年開(kāi)始施行超常實(shí)驗(yàn)班教學(xué)試驗(yàn)的決定.一時(shí)間,學(xué)生興奮,教師欣喜,家長(zhǎng)歡呼,社會(huì)熱議.該中學(xué)實(shí)驗(yàn)班一路走來(lái),可謂風(fēng)光無(wú)限,碩果累累,尤其值得一提的是,1990年,全國(guó)共招收150名少年大學(xué)生,該中學(xué)就有19名實(shí)驗(yàn)班學(xué)生被錄取,占全國(guó)的十分之一,轟動(dòng)海內(nèi)外.設(shè)該中學(xué)超常實(shí)驗(yàn)班學(xué)生第x年被錄取少年大學(xué)生的人數(shù)為y.(1)左下表為該中學(xué)連續(xù)5年實(shí)驗(yàn)班學(xué)生被錄取少年大學(xué)生人數(shù),求y關(guān)于x的線性回歸方程,并估計(jì)第6年該中學(xué)超常實(shí)驗(yàn)班學(xué)生被錄取少年大學(xué)生人數(shù);年份序號(hào)x12345錄取人數(shù)y1011141619附1:,=﹣(2)如表是從該校已經(jīng)畢業(yè)的100名高中生錄取少年大學(xué)生人數(shù)與是否接受超常實(shí)驗(yàn)班教育得到2×2列聯(lián)表,完成上表,并回答:是否有95%以上的把握認(rèn)為“錄取少年大學(xué)生人數(shù)與是否接受超常實(shí)驗(yàn)班教育有關(guān)系”.附2:
接受超常實(shí)驗(yàn)班教育未接受超常實(shí)驗(yàn)班教育合計(jì)錄取少年大學(xué)生6080未錄取少年大學(xué)生10合計(jì)30100
P(k2≥k0)0.500.400.100.05k00.4550.7082.7063.841K2=,n=a+b+c+d.參考答案:【分析】(1)求出回歸系數(shù),即可求出回歸方程;(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù),可得2×2列聯(lián)表,計(jì)算K2,即可得出結(jié)論.【解答】解:(1)由已知中數(shù)據(jù)可得:,∵∴∴y=2.3x+7.1.當(dāng)x=6時(shí)y=20.9,即第6年該校實(shí)驗(yàn)班學(xué)生錄取少年大學(xué)生人數(shù)約為21人;…(6分)(2)該校已經(jīng)畢業(yè)的100名高中生錄取少年大學(xué)生人數(shù)與是否接受超常實(shí)驗(yàn)班教育得到2×2列聯(lián)表:
接受超常實(shí)驗(yàn)班教育未接受超常實(shí)驗(yàn)班教育合計(jì)錄取少年大學(xué)生602080未錄取少年大學(xué)生101020合計(jì)7030100根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),得到k2的觀測(cè)值為故我們有95%的把握認(rèn)為“錄取少年大學(xué)生人數(shù)與是否接受超常實(shí)驗(yàn)班教育有關(guān)系”…(12分)【點(diǎn)評(píng)】本題考查回歸方程,考查獨(dú)立性檢驗(yàn)知識(shí)的運(yùn)用,考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力,屬于中檔題.19.已知點(diǎn),圓,點(diǎn)M是圓上一動(dòng)點(diǎn),線段MF1的垂直平分線與MF2交于點(diǎn)N.(1)求點(diǎn)N的軌跡方程;(2)設(shè)N的軌跡為曲線E,曲線E與曲線的交點(diǎn)為A,B,求△OAB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))面積的最大值.參考答案:(1)由已知得,所以,又,所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于6的橢圓,所以點(diǎn)的軌跡方程是.(2)設(shè)點(diǎn),則,設(shè)直線交軸于點(diǎn),由對(duì)稱(chēng)性知.由解得,∴.當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取得等號(hào),所以面積的最大值為.20.(本小題滿分12分)中石化集團(tuán)通過(guò)與安哥拉國(guó)家石油公司合作,獲得了安哥拉深海油田區(qū)塊的開(kāi)采權(quán),集團(tuán)在某些區(qū)塊隨機(jī)初步勘探了部分舊井,取得了地質(zhì)資料.進(jìn)入全面勘探時(shí)期后,集團(tuán)按網(wǎng)絡(luò)點(diǎn)來(lái)布置井位進(jìn)行全面勘探.由于勘探一口井的費(fèi)用很高,如果新設(shè)計(jì)的井位與原有井位重合或接近,便利用舊井的地質(zhì)資料,不必打這口新井.以節(jié)約勘探費(fèi)用.勘探初期數(shù)據(jù)資料見(jiàn)下表:井號(hào)123456坐標(biāo)鉆探深度2456810出油量407011090160205(1)號(hào)舊井位置線性分布,借助前5組數(shù)據(jù)求得回歸直線方程為,求,并估計(jì)的預(yù)報(bào)值;(2)現(xiàn)準(zhǔn)備勘探新井7,若通過(guò)1、3、5、7號(hào)井計(jì)算出的的值與(1)中的值差不超過(guò)10%,則使用位置最接近的已有舊井6,否則在新位置打開(kāi),請(qǐng)判斷可否使用舊井?(3)設(shè)井出油量與勘探深度的比值不低于20的勘探并稱(chēng)為優(yōu)質(zhì)井,那么在原有的出油量不低于的井中任意勘察3口井,求恰有2口是優(yōu)質(zhì)井的概率.參考答案:(1);(2)使用位置最接近的已有舊井;(3).(3)易知原有的出油量不低于的井中,3,5,6這3口井是優(yōu)質(zhì)井,2、4這2口井為非優(yōu)質(zhì)井,由題意從這5口井中隨機(jī)選取3口井的可能情況有:共10種,其中恰有2口是優(yōu)質(zhì)井的有6種,所以所求概率是.考點(diǎn):1、線性回歸方程及線性回歸分析;2、古典概型概率公式.21.已知圓C:x2+y2=9,點(diǎn)A(﹣5,0),直線l:x﹣2y=0.(1)求與圓C相切,且與直線l垂直的直線方程;(2)在直線OA上(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),存在定點(diǎn)B(不同于點(diǎn)A),滿足:對(duì)于圓C上任一點(diǎn)P,都有為一常數(shù),試求所有滿足條件的點(diǎn)B的坐標(biāo).參考答案: 解:(1)設(shè)所求直線方程為y=﹣2x+b,即2x+y﹣b=0,∵直線與圓相切,∴,得,∴所求直線方程為,(2)方法1:假設(shè)存在這樣的點(diǎn)B(t,0),當(dāng)P為圓C與x軸左交點(diǎn)(﹣3,0)時(shí),;當(dāng)P為圓C與x軸右交點(diǎn)(3,0)時(shí),,依題意,,解得,t=﹣5(舍去),或.下面證明點(diǎn)對(duì)于圓C上任一點(diǎn)P,都有為一常數(shù).設(shè)P(x,y),則y2=9﹣x2,∴,從而為常數(shù).方法2:假設(shè)存在這樣的點(diǎn)B(t,0),使得為常數(shù)λ,則PB2=λ2PA2,∴(x﹣t)2+y2=λ2[(x+5)2+y2],將y2=9﹣x2代入得,x2﹣2xt+t2+9﹣x2=λ2(x2+10x+25+9﹣x2),即2(5λ2+t)x+34λ2﹣t2﹣9=0對(duì)x∈[﹣3,3]恒成立,∴,解得或(舍去),所以存在點(diǎn)對(duì)于圓C上任一點(diǎn)P,都有為常數(shù)考點(diǎn): 圓的切線方程;直線和圓的方程的應(yīng)用.分析: (1)先求與直線l垂直的直線的斜率,可得其方程,利用相切求出結(jié)果.(2)先設(shè)存在,利用都有為一常數(shù)這一條件,以及P在圓上,列出關(guān)系,利用恒成立,可以求得結(jié)果.解答: 解:(1)設(shè)所求直線方程為y=﹣2x+b,即2x+y﹣b=0,∵直線與圓相切,∴,得,∴所求直線方程為,(2)方法1:假設(shè)存在這樣的點(diǎn)B(t,0),當(dāng)P為圓C與x軸左交點(diǎn)(﹣3,0)時(shí),;當(dāng)P為圓C與x軸右交點(diǎn)(3,0)時(shí),,依題意,,解得,t=﹣5(舍去),或.下面證明點(diǎn)對(duì)于圓C上任一點(diǎn)P,都有為一常數(shù).設(shè)P(x,y),則y2=9﹣x2,∴,從而為常數(shù).方法2:假設(shè)存在這樣的點(diǎn)B(t,0),使得為常數(shù)λ,則PB2=λ2PA2,∴(x﹣t)2+y2=λ2[(x+5)2+y2],將y2=9﹣x2代入得,x2﹣2xt+t2+9﹣x2=λ2(x2+10x+25+9﹣x2),即2(5λ2+t)x+34λ2﹣t2﹣9=0對(duì)x∈[﹣3,3]恒成立,∴,解得或(舍去),所以存在點(diǎn)對(duì)于圓C上任一點(diǎn)P,都有為常數(shù).點(diǎn)評(píng): 本題考查直線和圓的方程的應(yīng)用,圓的切線方程,又是存在性和探究性問(wèn)題,恒成立問(wèn)題,考查計(jì)算能力.是難題22.已知拋物線C:的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P在C上且其橫坐標(biāo)為1,以F為圓心、為半徑的圓與C的準(zhǔn)線相切.(1)求p的值;(2)過(guò)點(diǎn)(2,0)的直線l與C交于M,N兩點(diǎn),以PM、PN為鄰邊作平行四邊形,若點(diǎn)Q關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在C上,求l的方程.參考答案:(1)(2)【分析】(1)本題可以根據(jù)“點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離”等于“點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離”得出的長(zhǎng),再根據(jù)“圓心到準(zhǔn)線的距離”以及“點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離”都是圓的半徑即可列出算式并得出結(jié)果;(2)首先可以根據(jù)題意畫(huà)出圖形,然后設(shè)出直線的方程以及直線的方程,再然后通過(guò)聯(lián)立方程組求出點(diǎn)的縱坐標(biāo)以及點(diǎn)的縱坐標(biāo)之和,最后通過(guò)計(jì)算出點(diǎn)的縱坐標(biāo)并與點(diǎn)的縱坐標(biāo)進(jìn)行比較即可計(jì)算出的值并得出結(jié)果?!驹斀狻浚?)圓心到準(zhǔn)線的距離為,因?yàn)辄c(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,所
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