二次根式知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及其應(yīng)用

二次根式知識(shí)點(diǎn)及其應(yīng)用二次根式的概念：（1）形如的式子叫做二次根式.（即一個(gè)的算術(shù)平方根叫做二次根式（2） 二次根式有意義的條件:被開(kāi)方數(shù)大于或等于零。如:顯0（a>0）二次根式化簡(jiǎn)：（1）最簡(jiǎn)二次根式：滿(mǎn)足下列兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式。①被開(kāi)方數(shù)不含分母；②被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式；③被開(kāi)方數(shù)的每一個(gè)因數(shù)的指數(shù)都小于根指數(shù)2.（2） 用來(lái)判斷一個(gè)二次根式是否是最簡(jiǎn)二次根式記憶：最簡(jiǎn)二次根式簡(jiǎn)記：最簡(jiǎn)根式三條件，號(hào)內(nèi)不把字母含，幕指數(shù)根指數(shù)要互質(zhì)，幕指數(shù)小于根指數(shù)。（3） 二次根式化簡(jiǎn)的一般步驟：①把帶分?jǐn)?shù)或小數(shù)化成假分?jǐn)?shù)②把開(kāi)方數(shù)分解成質(zhì)因數(shù)或分解因式③把根號(hào)內(nèi)能開(kāi)盡的數(shù)移到根號(hào)外④化去根號(hào)內(nèi)的分母，或者化去分母中的根號(hào)⑤約分幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，如果被開(kāi)方數(shù)相同，那么這幾個(gè)二次根式叫做同類(lèi)二次根式。分母有理化（1）有理化因式：兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果他們的積不含有二次根式，那么這兩個(gè)代數(shù)式叫做互為有理化因式。常用：。與如\a+b與/a+b\a-b與<a+寸b與Va--Jbgb+gd與（2）分母有理化：在分母含有根號(hào)的式子中，把分母中的根號(hào)化去。分母有理化方法：

例如:①分子與分母同乘以分母的有理化因式例如:a、；a專(zhuān)a?b、一ab丁=十=一 一=^— (aZ0,b>0)b <b <bfb b1\,'a+tb(1\,'a+tb(a>0,b>0,a豐b)(ta+\：b)(Va-\b)a-b②分子或分母分解因式，約去分母中含有二次根式的因式例如： ，—尤+2xy+y(偵x+p'y)2==-== =\’x+\.‘y(x>0,y>0)萼x+丫y 、；x+(y=志+W)0-5)=怎ry(x>0,y>0)vx+vy vx+\,?'y4.把因式移到根號(hào)內(nèi)、外的方法：①當(dāng)根號(hào)外的數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，把負(fù)號(hào)留在根號(hào)外，然后把這個(gè)數(shù)平方后移到根號(hào)內(nèi)；②當(dāng)根號(hào)外數(shù)是一個(gè)正數(shù)時(shí)，把這個(gè)數(shù)平方后移到根號(hào)內(nèi)。如：a<b= (a>0);a\b= (a<0)①當(dāng)根號(hào)內(nèi)的數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，開(kāi)方移到根號(hào)外后填上負(fù)號(hào)；②當(dāng)根號(hào)內(nèi)數(shù)是一個(gè)正數(shù)時(shí)，直接開(kāi)方移到根號(hào)外。如：\：a2b= (a>0);\/a2b= (a<0)三.二次根式的性質(zhì)：非負(fù)性：a>0(a>0)(va)2= (a>0)\?a2=問(wèn)：(2)與(3)的異同點(diǎn)？(4)v'(4)v'ab=(a>0,b>0)(5)(a= (a>0 b>0)四.二次根式的運(yùn)算：二次根式乘法法則加X(jué)’b=二次根式除法法則二次根式的加減：(一化，二找，三合并)(1)將每個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式；注意：化簡(jiǎn)二次根式的方法：如果被開(kāi)方數(shù)是整數(shù)或整式，先將其分解因數(shù)或分解因式，然后把開(kāi)的盡方的因數(shù)或因式開(kāi)出來(lái)。E2= (a2b3= J(X2+1)3=、；ca-2ab+b2=如果被開(kāi)方數(shù)中含有分?jǐn)?shù)或分式，就利用分?jǐn)?shù)或分式的基本性質(zhì)將分母化成平方然后開(kāi)出來(lái)。TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"4帝 1= /1有 辛—\12=1 ―1 _=行+7- 、心7找出其中的同類(lèi)二次根式；合并同類(lèi)二次根式。Ps:類(lèi)似于合并同類(lèi)項(xiàng)，關(guān)鍵是把同類(lèi)二次根式合并。二次根式的混合運(yùn)算：原來(lái)學(xué)習(xí)的運(yùn)算律(結(jié)合律、交換律、分配律)仍然適用二、二次根式的應(yīng)用對(duì)二次根式的認(rèn)識(shí)一個(gè)自然數(shù)的算術(shù)平方根為a(a>0)，則與這個(gè)自然數(shù)相鄰的兩個(gè)自然數(shù)的

算術(shù)平方根為（（A）a—1,a+1（B）、：a—1,a+1（C）七02—1,\：a2+1（D）a2—1,a2+1若2x+1的平方根是±5,則J4x+1=.已知：最簡(jiǎn)二次根式*0+1與a—b23的被開(kāi)方數(shù)相同，則a+b=若x是t8的整數(shù)部分，y是<8的小數(shù)部分，則x=,y=已知很麗=4X+也，且0<x<y，則滿(mǎn)足上式的整數(shù)對(duì)（乙〉）有_2、根據(jù)二次根式有意義的條件確定未知數(shù)的值1：使七百二+—二有意義的x的取值范圍2.若tx—12.若tx—1+v'1—x=（x+y）2，貝。x一y=3.當(dāng)x時(shí)，式子H有意義時(shí)，式子次一苴有意義3.當(dāng)xyl3x-24.若代數(shù)式I砰一3有意義，則工的取值范圍是（）2 偵..2 .2X>— _ 乂旦一 乂旦一 _ XS— _A. 3且"3B. 3C. 3且&芋3D. 3且有_35.等式+2血+2成立的條件是（A.&丑0 B.白n—2 C.5.等式+2血+2成立的條件是（A.&丑0 B.白n—2 C.白者—2D.口十2例1.已知：。x一4+w2x+y=0，求x-y的值.w2x+y=0，求x-y的值.3、非負(fù)性的運(yùn)用等于（則，等于（D.D.13、若尤，y為實(shí)數(shù)，且卜+2|+Jy-2=0，則?。?0C的值為( )Iy)A.1B.-1 C.2D.-24、二次根式估算⑴如右圖，在數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)之間表示整數(shù)的點(diǎn)有個(gè).TOC\o"1-5"\h\zA li3 韋⑵估計(jì)、.：30的值( )A.在3到4之間B.在4到5之間C.在5到6之間D.在6到7之間⑶5-遍的整數(shù)部分是4估算而+2的值( )A.在5和6之間 B.在6和7之間C.在7和8之間D.在8和9之間5、運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，進(jìn)行二次根式化簡(jiǎn)把因式移到根號(hào)內(nèi)、外TOC\o"1-5"\h\z若a<0,b>0，則4-a3b化簡(jiǎn)得( )(A)-a、：一ab (B)-gab(C)a、<-ab (D)a^Jab已知ab>0,bc<0，化簡(jiǎn)j一^bL的結(jié)果( )(A)竺床(B)竺F(C)-竺F (D)-Lacb2 b2 b2 b2(a-1)：-——中根號(hào)外的(a-1)移入根號(hào)內(nèi)()Va一1

(A)v'a—1 (B)p'1—a(C)―丹a—1 (D)—七1—a把式子m<_—中根號(hào)外的檻移到根號(hào)內(nèi)，得（）A.-扁B. C.-D.-插5.若xy。0,且JX3y2=—xy\[x成立的條件是.6.當(dāng)壬《°,化簡(jiǎn)M 衛(wèi)二（2）識(shí)別最簡(jiǎn)二次根式和同類(lèi)二次根式TOC\o"1-5"\h\z下列二次根式是最簡(jiǎn)二次根式的是（ ）A.2￡3B.（8X3C.*D.*2、 下列根式中不是最簡(jiǎn)二次根式的是（ ）.A.拒B.而C.V8 D.應(yīng)在下列二次根式中，與、方是同類(lèi)二次根式的是（）A. <'3aB. \；3A. <'3aB. \；3a3C.D.、'a4在下列二次根式中，與是同類(lèi)二次根式的是（ ）A.<3B.崩2C.、8D.七2—15.若45.若4化成最簡(jiǎn)二次根式后的被開(kāi)方數(shù)相同，則m的值為(A)(A)20(B)旦3 2613(C)立815(D)—8利用二次根式的性質(zhì)來(lái)化簡(jiǎn)若x<0，則|TX2—X等于( )(A)0 (B)—2x (C)2x (D)0或2x若—1<x<1，^U\：'(x—1)2+|x+1|=3.當(dāng)a<2時(shí)，化簡(jiǎn)寸1—4a+4a2+|2a—1|等于( )(A)2 (B)2—4a (C)a(D)0

4.5.-4.5.-4等于化簡(jiǎn)\：'4x2-4x+1一2x一3/得( )(A)2 (B)-4x+4(C)-2 (D)4x-46.已知下列命題：①JG-壽1=2-必； ②』(3-兀)2-3-叫=6；③a2+(-3)2=(a+3)(a-3)； ④*。2+b2=a+b.TOC\o"1-5"\h\z其中正確的有( )(A)0個(gè)(B)1個(gè) (C)2個(gè)(D)3個(gè)已知a,b是實(shí)數(shù)，且<a2-2ab+b2=b-a，則a與b的大小關(guān)系是( )(A)a<b (B)a>b (C)a>b(D)a<b若化簡(jiǎn)1-x|-Jx2—8x+16=2x-5，則x的取值范圍以一有'=-2a當(dāng)就時(shí)， I實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示.化簡(jiǎn)、云E+,.?薩而2=ab

II"III■II■0 1濯綜合化簡(jiǎn)題已知x,y都是實(shí)數(shù),且滿(mǎn)足y<J7—1+ 1+0.5，化簡(jiǎn)l1-^y-12.已知x,y是實(shí)數(shù)，且y=、*2-9+泌-x2一2，求5x+6y的值x+3

3.若5-上=m，則F的結(jié)果為（y(A)(A)m2+2(B)m2-2(D)Vm-24.化簡(jiǎn)2巨—%+18的結(jié)果是（）4.化簡(jiǎn)2巨—%+18的結(jié)果是（）S.的值為（）C.A.就B.一廿C.石D.-扁6.若x=Vm一加，y=<m+<n，則xy的值是（ ）.A.2揭B.2插C.m+nD.m一n7.化簡(jiǎn)。方-宜=a+、；ab8.計(jì)算,用+[3一2、：'2=(5)1、下列計(jì)算正確的是：（).A.&-還=、3 B..、3-C=iC.巨+切=云 D2石=*2、下列運(yùn)算正確的是（).a.*+42=?、3B.十3x通=十6C.(3-1)2=3-1D.\/52—32=5—33、下面計(jì)算正確的是（)A.3+3=3打B. v27+、3=3C.v'2..春=<5 D.4=±24、設(shè)a>0,b>0,則下列運(yùn)算錯(cuò)誤的是（ ）

A.VOb=插,A.VOb=插,用B?Va+b='/a+\b C?(Ja)2=a D.5、下列各數(shù)：-,0,9,0.23,cos60。,22,0.303003???,1-巨中，無(wú)理數(shù)的個(gè)數(shù)是()2 7A2個(gè)B3個(gè)C4個(gè)D5個(gè)6、下列各數(shù)中，與6、下列各數(shù)中，與2-^3的積為有理數(shù)的是（ ）7、(A)2+* (B)2f3 (C)-2+* (D)<37、已知：、.頑是整數(shù)，則滿(mǎn)足條件的最小正整數(shù)n為（）(A)2(B)3(A)2(B)3(C)4(D)8.已知＜12二是正整數(shù)，則實(shí)數(shù)n的最大值為（8.已知＜12二是正整數(shù)，則實(shí)數(shù)n的最大值為（A.12B.11C.8D.6?二次根式的混合運(yùn)算1.計(jì)算下列各題：(1)海x6?二次根式的混合運(yùn)算1.計(jì)算下列各題：(1)海x-22：+2：2?;(2)(372+顯)(718-4*3)(3)n+*尸+n+2-'亍(n>2)(4)k；2707

n+2-(n2-4n+2+撲2-4 3-a2；-+3a；3-3<108a.(5)48-g-^6+33-2)0+^^1(6)(可)-1-(寸5—2)o+瑚18-(-2)2,J22.已知a=(2+5)006<5-2)。。7-2(3+2)+(頃，求a2+4a的值.若|2x-y-4與G-2"1）2互為相反數(shù)，求代數(shù)式Jx3+x2y+4y3的值.(由-崩)"+4&S已知：必'+護(hù)一物-次+5=。,求口+&?的值.已知實(shí)數(shù)a，b，c滿(mǎn)足1|a-b+5b+c+c2-2c+1=0，求a(b+c)2先化簡(jiǎn)在求值：(1)已知x=2,y=百，求(二--^)：里的值。x-yx2-y2x+y其中x= ,y= =2-必2+、'3(2)(x-y -xy其中x= ,y= =2-必2+、'3x2-2xy+y2x2-y2y-17、二次根式的大小比較1.比較下列各組中兩個(gè)數(shù)的大小.⑴2^7與332 ⑵-232與-13202比較大?。簱P(yáng)-&與搏-、耳比較大?。?lt;2+3與岳+*5設(shè)a=百-Jl,b=2-3,c=