第講兩個(gè)重要極限極限存在準(zhǔn)則

會(huì)計(jì)學(xué)1第講兩個(gè)重要極限極限存在準(zhǔn)則

看懂后,用精確地語(yǔ)言描述它.一.夾逼定理第1頁(yè)/共43頁(yè)函數(shù)極限的夾逼定理定理第2頁(yè)/共43頁(yè)證第3頁(yè)/共43頁(yè)例1解夾逼定理證明:第4頁(yè)/共43頁(yè)例2解夾逼定理第5頁(yè)/共43頁(yè)二.單調(diào)收斂準(zhǔn)則一般說(shuō)成:

在某極限過(guò)程中,單調(diào)有界的函數(shù)必有極限.第6頁(yè)/共43頁(yè)

二.重要極限第7頁(yè)/共43頁(yè)首先看看在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行的數(shù)值計(jì)算結(jié)果：第8頁(yè)/共43頁(yè)0.10.99833416646828154750180.010.99998333341666645335270.0010.99999983333334163670970.00010.99999999833333341747730.000010.99999999998333322093200.0000010.99999999999983335552400.00000011.00000000000000000000000.000000011第9頁(yè)/共43頁(yè)第10頁(yè)/共43頁(yè)運(yùn)用夾逼定理,關(guān)鍵在于建立不等式.xO1DBAxy從圖中可看出:證第11頁(yè)/共43頁(yè)由sinx與cosx的奇偶性可知：第12頁(yè)/共43頁(yè)一般地其中,

k≠0為常數(shù).第13頁(yè)/共43頁(yè)求解例2第14頁(yè)/共43頁(yè)求解例3第15頁(yè)/共43頁(yè)xa時(shí),

(x)=xa0,

求故解例4第16頁(yè)/共43頁(yè)解例5求第17頁(yè)/共43頁(yè)求故解例6第18頁(yè)/共43頁(yè)2.重要極限

特別重要啊！第19頁(yè)/共43頁(yè)變量代換下面先證明第20頁(yè)/共43頁(yè)證由中學(xué)的牛頓二項(xiàng)式展開(kāi)公式第21頁(yè)/共43頁(yè)類(lèi)似地,有第22頁(yè)/共43頁(yè)第23頁(yè)/共43頁(yè)又

等比數(shù)列求和

放大不等式每個(gè)括號(hào)小于1.第24頁(yè)/共43頁(yè)

綜上所述,數(shù)列{xn}是單調(diào)增加且有上界的,由極限存在準(zhǔn)則可知,該數(shù)列的極限存在,通常將它紀(jì)為e,即e

稱(chēng)為歐拉常數(shù).第25頁(yè)/共43頁(yè)由它能得到嗎？如果可行,則可以利用極限運(yùn)算性質(zhì)得到所需的結(jié)論嗎？進(jìn)一步可得嗎？在討論數(shù)列極限時(shí),有第26頁(yè)/共43頁(yè)第一步：證明

因?yàn)閤+,故不妨設(shè)

x>0.由實(shí)數(shù)知識(shí),總可取

nN,使

nx<n+1,故第27頁(yè)/共43頁(yè)

,

,

,

得故由夾逼定理時(shí)而+￥?￥?xn第28頁(yè)/共43頁(yè)

我們作變量代換,

將它歸為x+的情形即可.想想,作一個(gè)什么樣的代換？第二步：證明第29頁(yè)/共43頁(yè)第30頁(yè)/共43頁(yè)由第三步：證明第31頁(yè)/共43頁(yè)現(xiàn)在證明第32頁(yè)/共43頁(yè)令t,則x0時(shí),故于是有證第33頁(yè)/共43頁(yè)綜上所述,得到以下公式第34頁(yè)/共43頁(yè)一般地其中,k≠0為常數(shù).第35頁(yè)/共43頁(yè)求例7解第36頁(yè)/共43頁(yè)(1

)求例8解第37頁(yè)/共43頁(yè)解此題的另一解法：第38頁(yè)/共43頁(yè)例10求解第39頁(yè)/共43頁(yè)(即k