超聲層析成像的理論與實(shí)現(xiàn)

會(huì)計(jì)學(xué)1超聲層析成像的理論與實(shí)現(xiàn)主要內(nèi)容一.超聲層析成像技術(shù)的發(fā)展歷史二.超聲層析成像技術(shù)的基本模型及方法三.問(wèn)題的不適定性及其正則化四.模型噪聲的判斷方法——Picard準(zhǔn)則五.靜態(tài)正則化技術(shù)在超聲層析技術(shù)中的應(yīng)用六.迭代正則化技術(shù)在超聲層析技術(shù)中的應(yīng)用七.總結(jié)與展望

第1頁(yè)/共48頁(yè)一.超聲層析成像的發(fā)展歷史1.折射系數(shù)層析成像方法2.衰減系數(shù)層析成像方法3.射線跟蹤方法4.透射式衍射層析成像及反射式衍射層析成像方法5.基于精確場(chǎng)描述的層析成像方法

第2頁(yè)/共48頁(yè)1.折射系數(shù)層析成像方法Refractive-indextomography

第3頁(yè)/共48頁(yè)2.超聲衰減系數(shù)層析成像

Attenuationtomography

衰減系數(shù)

綜合衰減系數(shù)

第4頁(yè)/共48頁(yè)3.射線跟蹤方法

RayTracingMethod

第5頁(yè)/共48頁(yè)4.透射式衍射層析成像及反射式衍

射層析成像方法物體傅里葉變換頻域空域入射波前向散射場(chǎng)第6頁(yè)/共48頁(yè)從不同方向照射物體時(shí),前向散射場(chǎng)數(shù)據(jù)的傅里葉變換第7頁(yè)/共48頁(yè)5.基于精確場(chǎng)描述的層析成像方法第8頁(yè)/共48頁(yè)二.超聲層析成像技術(shù)的基本模型

及方法非齊次亥姆霍茲方程(HelmholtzEquation)1.波動(dòng)方程及其解第9頁(yè)/共48頁(yè)全場(chǎng)方程(TotalFieldEquation)

(第二類Fredholm積分方程)

散射場(chǎng)方程(ScatteringFieldEquation)探測(cè)器方程(DetectorEquation)第10頁(yè)/共48頁(yè)2.積分方程的離散化─矩量法第11頁(yè)/共48頁(yè)向量形式:

第12頁(yè)/共48頁(yè)3.波動(dòng)方程的近似

①Born近似

Born逆解O

應(yīng)滿足的條件:第13頁(yè)/共48頁(yè)②Rytov近似

應(yīng)滿足的條件:第14頁(yè)/共48頁(yè)4.基本方法Born迭代算法(BI)

Levenberg-Marquardt和Newton-Kantorovich方法變形Born迭代方法(DBI)

第15頁(yè)/共48頁(yè)Born迭代算法(BI)

求Born逆解O由全場(chǎng)方程

確定全場(chǎng)

由散射場(chǎng)方程求散射場(chǎng),并計(jì)算

由方程求改變量求第16頁(yè)/共48頁(yè)求Born逆解O由全場(chǎng)方程

確定全場(chǎng)

由散射場(chǎng)方程求散射場(chǎng),并計(jì)算

變形Born迭代算法(DBI)

根據(jù)最新求得的Ok改變散射方程的系數(shù)矩陣D求由方程求改變量第17頁(yè)/共48頁(yè)Levenberg-Marquardt和

Newton-Kantorovich方法

代入第18頁(yè)/共48頁(yè)三.問(wèn)題的不適定性及其正則化

適定性問(wèn)題是指：對(duì)于連續(xù)算子方程Kx=y，如果解x滿足：

(1).存在；

(2).唯一；

(3).連續(xù)地依賴于數(shù)據(jù)y。否則，即上述三個(gè)條件有一個(gè)不滿足，則稱其為不適定的（Ill-posed）。

第19頁(yè)/共48頁(yè)離散不適定問(wèn)題

(DiscreteIll-PosedProblem)

若:

(1).矩陣A的條件數(shù)非常大，或者說(shuō)矩陣A的最大奇異值和最小奇異值之比非常大；

(2).矩陣A的奇異值逐漸下降趨于零。對(duì)于線性方程組Ax=b

或最小二乘問(wèn)題:第20頁(yè)/共48頁(yè)Tikhonov正則化

L=In，x0=0時(shí)，稱為Tikhonov正則化的標(biāo)準(zhǔn)形式,其解可表示為:第21頁(yè)/共48頁(yè)四.模型噪聲的判斷方法:Picard準(zhǔn)則離散Picard準(zhǔn)則：若方程組Ax=b的傅里葉系數(shù)趨于零的速度在平均意義下快于矩陣A的奇異值趨于零的速度的話，則稱該方程組滿足離散Picard準(zhǔn)則(條件)。

最小二乘解:Tikhonov正則化解:第22頁(yè)/共48頁(yè)受噪聲污染和無(wú)噪聲污染的Picard圖

污染嚴(yán)重

污染較輕

第23頁(yè)/共48頁(yè)A

對(duì)比度為30％時(shí)對(duì)比度為20％時(shí)對(duì)比度為10％時(shí)第24頁(yè)/共48頁(yè)五.靜態(tài)正則化技術(shù)1.截?cái)嗥娈愔捣纸庹齽t化方法

TruncatedSingularValueDecomposition(TSVD)2.截?cái)嗤耆钚《苏齽t化方法

TruncatedTotalLeastSquares(TTLS)

第25頁(yè)/共48頁(yè)1.截?cái)嗥娈愔捣纸庹齽t化方法(TSVD)

對(duì)于線性方程組Ax=b

或最小二乘問(wèn)題最小二乘解:Tikhonov正則化解:TSVD正則化解:第26頁(yè)/共48頁(yè)正則化參數(shù)的選取方法

離差原理(DiscrepancyPrinciple)方法廣義交叉驗(yàn)證(GCV)方法

L曲線(L-Curve)方法

減小時(shí)

增加時(shí)

由L曲線方法確定k’采用一維搜索的方法確定更精確的k第27頁(yè)/共48頁(yè)TSVD方法的數(shù)值仿真結(jié)果

BACDE對(duì)比度為10％時(shí)對(duì)比度為20％時(shí)對(duì)比度為30％時(shí)原始圖像第28頁(yè)/共48頁(yè)迭代過(guò)程的相對(duì)誤差和相對(duì)殘差曲線第29頁(yè)/共48頁(yè)迭代過(guò)程的相對(duì)誤差和相對(duì)殘差曲線第30頁(yè)/共48頁(yè)2.截?cái)嗤耆钚《苏齽t化方法滿足：最小二乘問(wèn)題：完全最小二乘問(wèn)題：滿足：第31頁(yè)/共48頁(yè)截?cái)嗤耆钚《说牟襟E1.首先，計(jì)算增廣矩陣(A，b)的奇異值分解：2．確定截?cái)鄥?shù)k≤min(n，rank(A，b))使得：

3.記q=n-k+1,將矩陣分塊4.則完全最小二乘問(wèn)題的解為：

第32頁(yè)/共48頁(yè)TTLS方法的數(shù)值仿真結(jié)果

原始圖像對(duì)比度為10％時(shí)對(duì)比度為20％時(shí)對(duì)比度為30％時(shí)第33頁(yè)/共48頁(yè)迭代過(guò)程的相對(duì)誤差和相對(duì)殘差曲線第34頁(yè)/共48頁(yè)六.迭代正則化技術(shù)1.求解最小二乘問(wèn)題的共軛梯度方法(cgls)2.LSQR方法第35頁(yè)/共48頁(yè)1.求解最小二乘問(wèn)題的共軛梯度

方法(cgls)

將共軛梯度法應(yīng)用于法方程

相當(dāng)于在Krylov子空間：產(chǎn)生的序列xk，使得：第36頁(yè)/共48頁(yè)cgls方法的解可表示為:的k-1次多項(xiàng)式，其系數(shù)的確定是

其中：

依賴于：(1).方程的右側(cè)項(xiàng)b的特征；(2).矩陣A的奇異值的分布；(3).迭代的次數(shù)

第37頁(yè)/共48頁(yè)迭代次數(shù)增加，殘差變化不大，但解的范數(shù)受影響較大第38頁(yè)/共48頁(yè)正則化參數(shù)對(duì)迭代的影響第39頁(yè)/共48頁(yè)cgls方法的數(shù)值仿真結(jié)果BACDE對(duì)比度為10％時(shí)原始圖像對(duì)比度為20％時(shí)對(duì)比度為30％時(shí)第40頁(yè)/共48頁(yè)迭代過(guò)程的相對(duì)誤差和相對(duì)殘差曲線圖5.15采用clgs方法，五種不同圖像在對(duì)比度為30％時(shí)的相對(duì)殘差(RRE)曲線，cgls迭代次數(shù)為10第41頁(yè)/共48頁(yè)LSQR迭代方法

Lanczos三對(duì)角過(guò)程

Lanczos應(yīng)用于將矩陣A雙對(duì)角化Golub和Kahan(1965)

Paige和Saunders(1982)

線性方程組Ax=b和應(yīng)用于第42頁(yè)/共48頁(yè)LSQR方法的優(yōu)點(diǎn):

1.速度快

2.對(duì)不適定性問(wèn)題數(shù)值穩(wěn)定

3.從迭代過(guò)程很容易求得數(shù)值分析的數(shù)值第43頁(yè)/共48頁(yè)BACDE原始圖像LSQR方法的數(shù)值仿真結(jié)果對(duì)比度為10％時(shí)對(duì)比度為20％時(shí)對(duì)比度為30％時(shí)第44頁(yè)/共48頁(yè)七.總結(jié)與展望首先利用Picard理論，分析了超聲層析成像問(wèn)題的中的模型噪聲問(wèn)題，給出了入射波的確定方法、以及正則化方法的適用范圍的判斷方法。采用了兩類四種正則化方法對(duì)超聲層析成像問(wèn)題中的不適定性問(wèn)題進(jìn)行了研究，通過(guò)對(duì)正則化參數(shù)選擇的修正，完成了較大對(duì)比度物體的成像問(wèn)題。結(jié)論：靜態(tài)正