車輛控制理論的

會(huì)計(jì)學(xué)1車輛控制理論的狀態(tài)空間分析法不僅適用于SISO線性定常系統(tǒng),也適用于非線性系統(tǒng)、時(shí)變系統(tǒng)、MIMO系統(tǒng)以及隨機(jī)系統(tǒng)等。因而,狀態(tài)空間分析法適用范圍廣,對(duì)各種不同的系統(tǒng),其數(shù)學(xué)表達(dá)形式簡單而且統(tǒng)一。更突出的優(yōu)點(diǎn)是,它能夠方便地利用數(shù)字計(jì)算機(jī)進(jìn)行運(yùn)算和求解,甚至直接用計(jì)算機(jī)進(jìn)行實(shí)時(shí)控制,從而顯示了它的極大優(yōu)越性。第1頁/共86頁第一節(jié)狀態(tài)和狀態(tài)空間模型系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型是建立在狀態(tài)和狀態(tài)空間概念的基礎(chǔ)上的,因此,對(duì)這些基本概念進(jìn)行嚴(yán)格的定義和相應(yīng)的討論,必須準(zhǔn)確掌握和深入理解。狀態(tài)狀態(tài)變量狀態(tài)空間狀態(tài)空間模型第2頁/共86頁1.系統(tǒng)的狀態(tài)和狀態(tài)變量動(dòng)態(tài)(亦稱動(dòng)力學(xué))系統(tǒng)的“狀態(tài)”這個(gè)詞的字面意思就是指系統(tǒng)過去、現(xiàn)在將來的運(yùn)動(dòng)狀況。正確理解“狀態(tài)”的定義與涵義,對(duì)掌握狀態(tài)空間分析方法十分重要。“狀態(tài)”的定義如下。定義動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài),是指能夠完全描述系統(tǒng)時(shí)間域動(dòng)態(tài)行為的一個(gè)最小變量組。該變量組的每個(gè)變量稱為狀態(tài)變量。該最小變量組中狀態(tài)變量的個(gè)數(shù)稱為系統(tǒng)的階數(shù)。一、狀態(tài)空間的基本概念第3頁/共86頁“狀態(tài)”定義的三要素完全描述。即給定描述狀態(tài)的變量組在初始時(shí)刻(t=t0)的值和初始時(shí)刻后(tt0)的輸入,則系統(tǒng)在任何瞬時(shí)(tt0)的行為,即系統(tǒng)的狀態(tài),就可完全且唯一的確定。動(dòng)態(tài)時(shí)域行為。最小變量組。即描述系統(tǒng)狀態(tài)的變量組的各分量是相互獨(dú)立的。減少變量,描述不全。增加則一定存在線性相關(guān)的變量,冗余的變量,毫無必要。第4頁/共86頁若要完全描述n階系統(tǒng),則其最小變量組必須由n個(gè)變量(即狀態(tài)變量)所組成,一般記這n個(gè)狀態(tài)變量為x1(t),x2(t),…,xn(t).若以這n個(gè)狀態(tài)變量為分量,構(gòu)成一個(gè)n維變量向量,則稱這個(gè)向量為狀態(tài)變量向量,簡稱為狀態(tài)向量,并可表示如下:多輸入多輸出系統(tǒng)示意圖第5頁/共86頁狀態(tài)變量是描述系統(tǒng)內(nèi)部動(dòng)態(tài)特性行為的變量。它可以是能直接測(cè)量或觀測(cè)的量,也可以是不能直接測(cè)量或觀測(cè)的量；可以是物理的,甚至可以是非物理的,沒有實(shí)際物理量與之直接相對(duì)應(yīng)的抽象的數(shù)學(xué)變量。第6頁/共86頁狀態(tài)空間狀態(tài)變量與輸出變量的關(guān)系狀態(tài)變量是能夠完全描述系統(tǒng)內(nèi)部動(dòng)態(tài)特性行為的變量。而輸出變量是僅僅描述在系統(tǒng)分析和綜合(濾波、優(yōu)化與控制等)時(shí)所關(guān)心的系統(tǒng)外在表現(xiàn)的動(dòng)態(tài)特性,并非系統(tǒng)的全部動(dòng)態(tài)特性。因此,狀態(tài)變量比輸出變量更能全面反映系統(tǒng)的內(nèi)在變化規(guī)律。可以說輸出變量僅僅是狀態(tài)變量的外部表現(xiàn),是狀態(tài)變量的輸出空間的投影,一個(gè)子集。輸出空間空間映射xy第7頁/共86頁2.

系統(tǒng)的狀態(tài)空間若以n個(gè)狀態(tài)變量x1(t),x2(t),…,xn(t)為坐標(biāo)軸,就可構(gòu)成一個(gè)n維歐氏空間,并稱為n維狀態(tài)空間,記為Rn.狀態(tài)向量的端點(diǎn)在狀態(tài)空間中的位置,代表系統(tǒng)在某一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。隨著時(shí)間的推移,狀態(tài)不斷地變化,tt0各瞬時(shí)的狀態(tài)在狀態(tài)空間構(gòu)成一條軌跡,它稱為狀態(tài)軌線。狀態(tài)軌線如圖2-2所示。圖2-2二維空間的狀態(tài)軌線第8頁/共86頁狀態(tài)變量選取的特點(diǎn)：狀態(tài)變量的選取具有非唯一性：即可用某一組，也可用另一組數(shù)目最少的變量。狀態(tài)變量個(gè)數(shù)的選取具有唯一性：第9頁/共86頁要注意的是狀態(tài)變量雖然具有非唯一性，但不是所有的變量都可以作為狀態(tài)變量。例如：純電阻電路就沒有狀態(tài)變量，因?yàn)樵谶@類電路的元件上，任意時(shí)間的電流、電壓僅取決于該時(shí)刻的激勵(lì)，其形成是一個(gè)瞬時(shí)的作用，元件過去的歷史（初始條件）對(duì)確定電路中任意元件上的響應(yīng)是無關(guān)的，輸入輸出之間僅是一般的代數(shù)關(guān)系，這種系統(tǒng)屬于瞬時(shí)（無記憶）系統(tǒng)，所以這種系統(tǒng)就不能用狀態(tài)變量法來分析。因此，選狀態(tài)變量的條件是：各狀態(tài)變量間不能用代數(shù)方法互求，且其數(shù)目對(duì)于給定系統(tǒng)是確定的。第10頁/共86頁狀態(tài)變量的個(gè)數(shù)一般應(yīng)為獨(dú)立一階儲(chǔ)能元件(如電感和電容)的個(gè)數(shù)第11頁/共86頁

二、系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型狀態(tài)空間模型是應(yīng)用狀態(tài)空間分析法對(duì)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)所建立的一種數(shù)學(xué)模型,它是應(yīng)用現(xiàn)代控制理論對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析和綜合的基礎(chǔ)。狀態(tài)空間模型由描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性行為的狀態(tài)方程和描述系統(tǒng)輸出變量與狀態(tài)變量間的變換關(guān)系的輸出方程所組成。下面以一個(gè)由電容、電感等儲(chǔ)能元件組成的二階RLC電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)為例,說明狀態(tài)空間模型的建立和形式,然后再進(jìn)行一般的討論。第12頁/共86頁例

某電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的模型如圖所示。試建立以電壓ui為系統(tǒng)輸入,電容器兩端的電壓uC為輸出的狀態(tài)空間模型。解1.根據(jù)系統(tǒng)的內(nèi)部機(jī)理列出各物理量所滿足的關(guān)系式。對(duì)本例,針對(duì)RLC網(wǎng)絡(luò)的回路電壓和節(jié)點(diǎn)電流關(guān)系,列出各電壓和電流所滿足的方程例RLC電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)第13頁/共86頁2.選擇狀態(tài)變量。狀態(tài)變量的個(gè)數(shù)應(yīng)為獨(dú)立一階儲(chǔ)能元件的個(gè)數(shù)。對(duì)本例x1(t)=iL,x2(t)=uC3.

將狀態(tài)變量代入各物理量所滿足的方程,整理得一規(guī)范形式的一階矩陣微分方程組--狀態(tài)方程。每個(gè)狀態(tài)變量對(duì)應(yīng)一個(gè)一階微分方程,導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為1,非導(dǎo)數(shù)項(xiàng)列寫在方程的右邊。第14頁/共86頁對(duì)本例,經(jīng)整理可得如下狀態(tài)方程寫成向量與矩陣形式為：4.

列寫描述輸出變量與狀態(tài)變量之間關(guān)系的輸出方程。對(duì)本例第15頁/共86頁其中5.

將上述狀態(tài)方程和輸出方程列寫在一起,即為描述系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型的狀態(tài)空間模型第16頁/共86頁由上述例子,可總結(jié)出狀態(tài)空間模型的形式為其中x為n維的狀態(tài)向量;u為r維的輸入向量;y為m維的輸出向量;A為nn維的系統(tǒng)矩陣;B為nr維的輸入矩陣;C為mn維的輸出矩陣;D為mr維的直聯(lián)矩陣(前饋矩陣,直接轉(zhuǎn)移矩陣)。描述線性系統(tǒng)的主要狀態(tài)空間模型,切記!第17頁/共86頁對(duì)前面引入的狀態(tài)空間模型的意義,有如下討論:狀態(tài)方程描述的是系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性,其決定系統(tǒng)狀態(tài)變量的動(dòng)態(tài)變化。輸出方程描述的是輸出與系統(tǒng)內(nèi)部的狀態(tài)變量的關(guān)系。系統(tǒng)矩陣A表示系統(tǒng)內(nèi)部各狀態(tài)變量之間的關(guān)聯(lián)情況,它主要決定系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。輸入矩陣B又稱為控制矩陣,它表示輸入對(duì)狀態(tài)變量變化的影響。輸出矩陣C反映狀態(tài)變量與輸出間的作用關(guān)系。直聯(lián)矩陣D則表示了輸入對(duì)輸出的直接影響,許多系統(tǒng)不存在這種直聯(lián)關(guān)系,即直聯(lián)矩陣D=0。第18頁/共86頁上述線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型可推廣至非線性系統(tǒng)、時(shí)變系統(tǒng)。1.非線性時(shí)變系統(tǒng)其中f(x,u,t)和g(x,u,t)分別為如下n維和m維關(guān)于狀態(tài)向量x、輸入向量u和時(shí)間t的非線性向量函數(shù)f(x,u,t)=[f1(x,u,t)

f2(x,u,t)…fn(x,u,t)]g(x,u,t)=[g1(x,u,t)

g2(x,u,t)…gm(x,u,t)]第19頁/共86頁2.非線性系統(tǒng)其中f(x,u)和g(x,u)分別為n維和m維狀態(tài)x和輸入u的非線性向量函數(shù)。這些非線性函數(shù)中不顯含時(shí)間t,即系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)不隨時(shí)間變化而變化。3.線性時(shí)變系統(tǒng)其中各矩陣為時(shí)間t的函數(shù),隨時(shí)間變化而變化。第20頁/共86頁4.線性定常系統(tǒng)為簡便,常將線性時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型簡記為(A(t),B(t),C(t),D(t)).類似地,線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型亦可簡記為(A,B,C,D).幾種簡記符的意義:第21頁/共86頁第22頁/共86頁

三、線性系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的結(jié)構(gòu)圖線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型可以用結(jié)構(gòu)圖的方式表達(dá)出來,以形象說明系統(tǒng)輸入、輸出和狀態(tài)之間的信息傳遞關(guān)系。在采用模擬或數(shù)字計(jì)算機(jī)仿真時(shí),它是一個(gè)強(qiáng)有力的工具。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖主要有三種基本元件:積分器,加法器和比例器,其表示符如圖2-4所示。第23頁/共86頁圖2-4系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖中的三種基本元件第24頁/共86頁例線性時(shí)變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖所示。圖多輸入多輸出線性時(shí)變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖第25頁/共86頁若需要用結(jié)構(gòu)圖表示出各狀態(tài)變量、各輸入變量和各輸出變量間的信息傳遞關(guān)系,則必須根據(jù)實(shí)際的狀態(tài)空間模型,畫出各變量間的結(jié)構(gòu)圖。圖2-6表示的是狀態(tài)空間模型如下所示的雙輸入-雙輸出線性定常系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。第26頁/共86頁雙輸入雙輸出線性定常系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖第27頁/共86頁第二節(jié)控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型的建立由機(jī)理出發(fā)由微分方程出發(fā)由傳遞函數(shù)出發(fā)由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖出發(fā)第28頁/共86頁一、根據(jù)系統(tǒng)機(jī)理建立狀態(tài)空間模型建立被控對(duì)象的數(shù)學(xué)模型是進(jìn)行系統(tǒng)分析和綜合的第一步,是控制理論和工程的基礎(chǔ).上一節(jié)討論了由電容和電感兩類儲(chǔ)能元件以及電阻所構(gòu)成的電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型的建立，其依據(jù)為各電氣元件的物理機(jī)理及電網(wǎng)絡(luò)分析方法.這種根據(jù)系統(tǒng)的物理機(jī)理建立對(duì)象的數(shù)學(xué)模型的方法稱為機(jī)理建模.機(jī)理建模主要根據(jù)系統(tǒng)的物料和能量(電壓、電流、力和熱量等)在儲(chǔ)存和傳遞中的動(dòng)態(tài)平衡關(guān)系,以及各環(huán)節(jié)、元件的各物理量之間的關(guān)系,如電感的電壓和電流滿足的動(dòng)態(tài)關(guān)系.第29頁/共86頁建立動(dòng)態(tài)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的主要機(jī)理/依據(jù)有:電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中回路和節(jié)點(diǎn)的電壓和電流平衡關(guān)系,電感和電容等儲(chǔ)能元件的電壓和電流之間的動(dòng)態(tài)關(guān)系.機(jī)械動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中的牛頓第二定律,彈性體和阻尼體的力與位移、速度間的關(guān)系.對(duì)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng),則相應(yīng)的為轉(zhuǎn)矩、角位移和角速度.化工熱力學(xué)系統(tǒng)中的熱量的傳遞與儲(chǔ)存,化工反應(yīng)工程系統(tǒng)中參加反應(yīng)的物料的傳遞和平衡關(guān)系.經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中的投入產(chǎn)出方程。第30頁/共86頁雙輸入-三輸出機(jī)械位移系統(tǒng)例設(shè)機(jī)械位移系統(tǒng)如圖所示。力F及阻尼器汽缸速度v為兩種外作用，給定輸出量為質(zhì)量塊的位移x及其速度、加速度。圖中m、k、f分別為質(zhì)量、彈簧剛度、阻尼系數(shù)。試求該雙輸入-三輸出系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程。第31頁/共86頁解據(jù)牛頓力學(xué)，故有顯見為二階系統(tǒng)，若已知質(zhì)量塊的初始位移及初始速度，該微分方程在輸入作用下的解便唯一確定，故選和作為狀態(tài)變量。設(shè)，三個(gè)輸出量為，可由微分方程導(dǎo)出下列動(dòng)態(tài)方程：

第32頁/共86頁其向量-矩陣形式為式中第33頁/共86頁機(jī)電系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述

圖表示某電樞控制的直流電動(dòng)機(jī),其中Ra和La為電樞回路總電阻和總電感,J為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,負(fù)載為摩擦系數(shù)為f的阻尼摩擦.試列寫以電樞電壓u(t)為輸入,軸的角位移(t)為輸出的狀態(tài)空間模型.第34頁/共86頁解

1.

設(shè)電動(dòng)機(jī)勵(lì)磁電流不變,鐵心工作在非飽和區(qū).按照?qǐng)D所描述的電動(dòng)機(jī)系統(tǒng),可以寫出如下主回路電壓方程和軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程其中Ea和M分別為如下電樞電勢(shì)和轉(zhuǎn)矩Ea=Ced/dt,M=CMia其中Ce和Cm分別為電樞電勢(shì)常數(shù)和轉(zhuǎn)矩常數(shù)(含恒定的磁通量)

.第35頁/共86頁因此,上述主回路電壓方程和軸轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程可記為2.選擇狀態(tài)變量.對(duì)于本例,若已知電樞電流ia(t),角位移(t)和其導(dǎo)數(shù)d/dt在初始時(shí)刻t0的值,以及電樞電壓u,則上述微分方程組有唯一解.因此,可以選擇狀態(tài)變量如下第36頁/共86頁3.

將狀態(tài)變量代入上述微分方程,則有如下狀態(tài)方程4.

建立輸出方程

y=x2第37頁/共86頁5.

經(jīng)整理,可得如下矩陣形式的狀態(tài)空間模型第38頁/共86頁二根據(jù)系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空間模型描述線性定常系統(tǒng)輸入輸出間動(dòng)態(tài)特性的高階常微分方程與傳遞函數(shù),通過選擇適當(dāng)?shù)臓顟B(tài)變量分別建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。這樣的問題稱為系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)問題。這種變換過程的原則是,不管狀態(tài)變量如何選擇,應(yīng)保持系統(tǒng)輸入輸出間的動(dòng)態(tài)和靜態(tài)關(guān)系不變。第39頁/共86頁由高階常微分方程建立狀態(tài)空間模型由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型多輸入多輸出線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)第40頁/共86頁1、高階常微分方程建立狀態(tài)空間模型描述單輸入單輸出線性系統(tǒng)的輸入輸出間動(dòng)態(tài)行為,不包含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)時(shí)的線性定系數(shù)常微分方程為y(n)+a1y(n-1)+…+any=bu其中y和u分別為系統(tǒng)的輸出和輸入;n為系統(tǒng)的階次。這里所要研究的是建立上述常微分方程描述的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的如下狀態(tài)空間數(shù)學(xué)模型--狀態(tài)空間模型問題的關(guān)鍵是如何選擇狀態(tài)變量第41頁/共86頁由微分方程理論知,若初始時(shí)刻t0的初值y(t0),y’(t0),…,y(n-1)(t0)已知,則對(duì)給定的輸入u(t),微分方程有唯一解,也即系統(tǒng)在tt0的任何瞬時(shí)的動(dòng)態(tài)都被唯一確定。因此,選擇狀態(tài)變量為如下相變量

x1(t)=y(t),x2(t)=y’(t),…,xn(t)=y(n-1)(t)

可完全刻劃系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。取輸出y和y的各階導(dǎo)數(shù)(也稱相變量)為狀態(tài)變量,物理意義明確,易于接受。第42頁/共86頁將上述選擇的狀態(tài)變量代入輸入輸出的常微分方程,有如下狀態(tài)方程和輸出方程y=x1第43頁/共86頁將上述狀態(tài)方程和輸出方程寫成矩陣形式有第44頁/共86頁該狀態(tài)空間模型可簡記為:其中第45頁/共86頁上述式子清楚說明了狀態(tài)空間模型中系統(tǒng)矩陣A與微分方程中的系數(shù)a1,a2,…,an之間,輸入矩陣B與方程中系數(shù)b之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。通常將上述取輸出y和y的各階導(dǎo)數(shù)為狀態(tài)變量稱為相變量。上述狀態(tài)空間模型中的系統(tǒng)矩陣具有特別形式,該矩陣的最后一行與其矩陣特征多項(xiàng)式的系數(shù)有對(duì)應(yīng)關(guān)系,前n-1行為1個(gè)n-1維的零向量與(n-1)(n-1)的單位矩陣。該類矩陣稱為友矩陣。友矩陣在線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析方法中是一類重要的矩陣,這在后面的章節(jié)中可以看到。第46頁/共86頁上述實(shí)現(xiàn)狀態(tài)空間模型的模擬結(jié)構(gòu)圖如下圖所示第47頁/共86頁例將以下系統(tǒng)輸入輸出方程變換為狀態(tài)空間模型y”’+6y”+11y’+6y=2u解

本例中a1=6a2=11a3=6b=2因此,當(dāng)選擇輸出y及其1階與2階導(dǎo)數(shù)等相變量為狀態(tài)變量時(shí),可得狀態(tài)空間模型如下第48頁/共86頁描述單輸入單輸出線性系統(tǒng)的輸入輸出間動(dòng)態(tài)行為的微分方程的一般表達(dá)式為y(n)+a1y(n-1)+…+any=b0u(n)+…+bnu建立上述常微分方程描述的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的如下狀態(tài)空間數(shù)學(xué)模型--狀態(tài)空間模型建立該狀態(tài)空間模型的關(guān)鍵是如何選擇狀態(tài)變量?第49頁/共86頁若按照前面的方法那樣選取相變量為狀態(tài)變量,即x1(t)=y(t),x2(t)=y’(t),…,xn(t)=y(n-1)(t)則可得如下狀態(tài)方程根據(jù)微分方程解的存在性和唯一性條件,要求輸入u(t)為分段連續(xù),而上述狀態(tài)方程中輸入u的各階導(dǎo)數(shù)可能不連續(xù),從而使微分方程解的存在性和唯一性的條件不成立。因此,狀態(tài)方程中不應(yīng)有輸入u的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)出現(xiàn),即不能直接將輸出y的各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)取作狀態(tài)變量。第50頁/共86頁為避免狀態(tài)方程中顯示地出現(xiàn)輸入的導(dǎo)數(shù),通常,可利用輸出y和輸入u以及其各階導(dǎo)數(shù)的線性組合來組成狀態(tài)變量,其原則是:使?fàn)顟B(tài)方程中不顯含輸出u的各階導(dǎo)數(shù)。第51頁/共86頁根據(jù)上述原則,選擇狀態(tài)變量如下其中i(i=0,1,…,n)為待定系數(shù)。第52頁/共86頁因此,有第53頁/共86頁若待定系數(shù)i(i=0,1,…,n)滿足如下關(guān)系式0=b01=b1-a102=b2-a11-a20……n

=bn-a1n-1-…-an0即i(i=0,1,…,n)滿足如下方程組第54頁/共86頁則該高階微分方程可轉(zhuǎn)化描述為如下不含有輸入導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的狀態(tài)空間模型第55頁/共86頁上述實(shí)現(xiàn)狀態(tài)空間模型的模擬結(jié)構(gòu)圖如下圖所示第56頁/共86頁例將以下系統(tǒng)輸入輸出方程變換為狀態(tài)空間模型y”’+5y”+8y’+4y=2u”+14u’+24u解本例中a1=5a2=8a3=4b0=0b1=2b2=14b3=24因此,有0=b0=01=b1-a10=22=b2-a11-a20=43=b3-a12-a21-a30=-12第57頁/共86頁因此,當(dāng)選擇狀態(tài)變量如下時(shí)即得系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為第58頁/共86頁其系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下所示第59頁/共86頁2、由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型下面討論由描述系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的傳遞函數(shù)建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。關(guān)鍵問題:1.如何選擇狀態(tài)變量2.保持系統(tǒng)的輸入輸出間的動(dòng)態(tài)和靜態(tài)關(guān)系不變第60頁/共86頁線性定常微分方程由于傳遞函數(shù)與線性定系數(shù)常微分方程有直接的對(duì)應(yīng)關(guān)系,故前面討論的由高階線性微分方程建立狀態(tài)空間模型的方法同樣適用于將傳遞函數(shù)建立變換為狀態(tài)空間模型。類似地,由傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型的方法亦適用于對(duì)微分方程建立狀態(tài)空間模型。傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間模型方法對(duì)線性定常系統(tǒng)拉氏變換第61頁/共86頁實(shí)際物理系統(tǒng)傳遞函數(shù)中分子多項(xiàng)式階次小于或等于其分母多項(xiàng)式階次,此時(shí)稱該傳遞函數(shù)為真有理傳遞函數(shù)。而分子多項(xiàng)式階次小于分母多項(xiàng)式階次時(shí),則稱為嚴(yán)格真有理傳遞函數(shù)。描述單輸入單輸出(SISO)線性系統(tǒng)的輸入輸出間動(dòng)態(tài)行為的如下傳遞函數(shù)第62頁/共86頁對(duì)上述傳遞函數(shù),由長除法,有其中第63頁/共86頁建立該傳遞函數(shù)所描述的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型(A,B,C,D)。上述常數(shù)項(xiàng)d即為狀態(tài)空間模型(A,B,C,D)中的直聯(lián)矩陣D;嚴(yán)格真有理傳遞函數(shù)G(s)對(duì)應(yīng)可建立(A,B,C,D)中的(A,B,C)。即第64頁/共86頁1.

傳遞函數(shù)中極點(diǎn)互異時(shí)的變換對(duì)于傳遞函數(shù)G(s),其特征方程為sn+a1sn-1+…+an=0若其特征方程的n個(gè)特征根s1,s2,…,sn互異,則用部分分式法可將G(s)表示為如下并聯(lián)分解其中k1,k2,…,kn為待定系數(shù),其計(jì)算公式為第65頁/共86頁下面以k1計(jì)算式的推導(dǎo)過程為例說明的ki的計(jì)算式。將G(s)的乘以s-s1,有因此,由于特征根s1,s2,…,sn互異，有下面討論通過選擇狀態(tài)變量求得相應(yīng)的狀態(tài)空間模型。第66頁/共86頁考慮到,輸出y(t)和輸入u(t)的拉氏變換滿足因此,若選擇狀態(tài)變量xi(t)使其拉氏變換滿足則,經(jīng)反變換可得系統(tǒng)狀態(tài)方程為第67頁/共86頁相應(yīng)地,系統(tǒng)輸出y(t)的拉氏變換為Y(s)=k1X1(s)+k2X2(s)+…+knXn(s)因此,經(jīng)拉氏反變換可得如下輸出方程y=k1x1+k2x2+…+knxn整理上述狀態(tài)方程和輸出方程可得如下狀態(tài)空間模型第68頁/共86頁上述用部分分式法建立的狀態(tài)空間模型中的系統(tǒng)矩陣有一個(gè)重要特征,即A為對(duì)角線矩陣。系統(tǒng)矩陣A具有上述對(duì)角線形式的狀態(tài)空間模型即為對(duì)角線規(guī)范形。事實(shí)上對(duì)角線規(guī)范形其實(shí)是將系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為n個(gè)一階子系統(tǒng)(慣性環(huán)節(jié))的并聯(lián),如右圖所示。圖2-11對(duì)角線規(guī)范形的結(jié)構(gòu)圖第69頁/共86頁例用部分分式法將下述傳遞函數(shù)變換為狀態(tài)空間模型y”’+6y”+11y’+6y=2u第70頁/共86頁解

由系統(tǒng)特征多項(xiàng)式s3+6s2+11s+6可求得系統(tǒng)極點(diǎn)為s1=-1s2=-2s3=-3于是有其中第71頁/共86頁故當(dāng)選擇狀態(tài)變量為G(s)分式并聯(lián)分解的各個(gè)一階慣性環(huán)節(jié)的輸出,可得如下狀態(tài)空間模型將上述結(jié)果與前例的結(jié)果相比較可知,即使對(duì)同一個(gè)系統(tǒng),采用不同的建立狀態(tài)空間模型的方法,將得到不同的狀態(tài)空間模型。即,狀態(tài)空間模型不具有唯一性。第72頁/共86頁2.傳遞函數(shù)中有重極點(diǎn)時(shí)的變換當(dāng)系統(tǒng)特征方程有重根時(shí),傳遞函數(shù)不能分解成如式的情況。