常微分方程數(shù)值解歐拉方法

會計學(xué)1常微分方程數(shù)值解歐拉方法引子人口模型（看書上）人口理論一階常微分方程的初值問題數(shù)值解：離散點(diǎn)上的近似值第1頁/共22頁一階線性常微分方程初值問題數(shù)值方法的基本思想在解的存在區(qū)間上取n+1個節(jié)點(diǎn)利用數(shù)值計算方法尋求y(x)在節(jié)點(diǎn)上的近似值：y0,y1,…..yn連續(xù)離散

第2頁/共22頁一階線性常微分方程初值問題x0x1x2xixi+1xn6.1歐拉方法與Runge-Kutta法一、歐拉(Euler)方法xn=x0+nh，h為步長第3頁/共22頁一.歐拉方法差分和差商用差商代替導(dǎo)數(shù),

將微分方程離散化,得到遞推公式1.差分方法第4頁/共22頁幾何意義：用折線近似曲線y=y(x),歐拉法又稱為折線法已知初值y0,依據(jù)遞推公式逐步算出y1,y2,…,yn,yn+1,遞推公式又稱為差分格式或差分方程，它與常微方程的誤差稱為截斷誤差第5頁/共22頁2.數(shù)值積分方法（也可導(dǎo)出歐拉公式）第6頁/共22頁（1）顯式差分格式（單步）顯式格式左矩形公式第7頁/共22頁（2）隱式差分格式由右矩形公式想求（近似的）y，但等式的等號左右都有：隱式如第8頁/共22頁還有一種隱式：積分用梯形公式也是隱式第9頁/共22頁思索顯式的歐拉公式，好用，粗糙隱式的梯形公式，通常具有較好的數(shù)值穩(wěn)定性，每次計算得求解方程組合之？組合：預(yù)報-校正第10頁/共22頁預(yù)測-校正公式也叫預(yù)報-校正公式改進(jìn)的歐拉公式第11頁/共22頁例6.1歐拉公式求解f(0,0)的處理（也可以理解為一種近似）表6-1圖6-1本身有解析解，可與數(shù)值解比較第12頁/共22頁二、歐拉方法的局部截斷誤差與精度前提：一個假設(shè)（重要！即所謂的局部）一階精度，看書上泰勒公式：第13頁/共22頁關(guān)于精度:常微分方程數(shù)值方法理論中同階無窮小精度：p階第14頁/共22頁類似地，梯形公式/改進(jìn)的歐拉公式---局部截斷誤差有二階精度參考第5章5.1節(jié)P66頁第15頁/共22頁第16頁/共22頁三、幾種差分格式的數(shù)值穩(wěn)定性比較

例6.2

三種方法的比較注意：取最大誤差（有多個點(diǎn)，有多個誤差）有精確解，一起比較看教材第17頁/共22頁例用歐拉法求初值問題

補(bǔ)例子：歐拉(Euler)方法當(dāng)h=0.02時在區(qū)間[0,0.10]上的數(shù)值解第18頁/共22頁歐拉(Euler)方法nxnyny(xn)n=y(xn)-

yn001.00001.0000010.020.98200.98250.000520.040.96500.96600.000530.060.94890.95030.001440.080.93360.93540.001850.100.91920.9230.0021第19頁/共22頁再補(bǔ)例子：例在區(qū)間[0,1.5]上，取h=0.1。（1）用歐拉法計算公式如下