向量在立體幾何中的應(yīng)用同步課時(shí)訓(xùn)練-高二數(shù)學(xué)北師大版（2019）選擇性必修第一冊

3.4向量在立體幾何中的應(yīng)用--高二數(shù)學(xué)北師大版（2019）選擇性必修第一冊同步課時(shí)訓(xùn)練學(xué)校：___________姓名：___________班級：___________考號：___________

一、選擇題1、已知三棱柱的側(cè)棱與底面邊長都相等，在底面ABC上的射影為BC的中點(diǎn)，則異面直線AB與所成角的余弦值為()A. B. C. D.2、已知平面內(nèi)有一個點(diǎn)的一個法向量為,則下列點(diǎn)P中,在平面內(nèi)的是()A. B. C. D.3、如圖，某圓錐SO的軸截面SAC是等邊三角形，點(diǎn)B是底面圓周上的一點(diǎn)，且，點(diǎn)M是SA的中點(diǎn)，則異面直線AB與CM所成角的余弦值是()A. B. C. D.4、如圖,正四棱錐中，O為頂點(diǎn)在底面內(nèi)的投影，P為側(cè)棱SD的中點(diǎn)，且，則直線BC與平面PAC的夾角是()

A．30° B．45° C．60° D．90°5、如圖，在直三棱柱中，，，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，則異面直線AD與所成的角為()A. B. C. D.6、如圖,點(diǎn)為矩形所在平面外一點(diǎn),平面為線段的中點(diǎn),,則點(diǎn)到平面的距離為()A. B. C. D.7、已知三棱柱的側(cè)棱與底面邊長都相等,在底面上的射影為的中點(diǎn),則異面直線與所成的角的余弦值為()A. B. C. D.8、已知直線的方向向量，直線的方向向量，且，則的值是()

A.-6 B.6 C.14 D.-149、已知菱形ABCD中，，沿對角線AC折疊之后，使得平面平面DAC，則二面角的余弦值為()A.2 B. C. D.10、在直三棱柱中，，，分別是，的中點(diǎn)，，則與所成角的余弦值是()

A. B. C. D.二、填空題11、在棱長為2的正方體中，M,N分別是的中點(diǎn)，則直線MN與平面ABCD所成的角的余弦值為__________.12、如圖，在直三棱柱中，，，D為上一點(diǎn).若二面角的大小為30°，則AD的長為_____________.13、已知，，若，，且平面ABC，則_____________.三、解答題14、如圖,和都是邊長為2的正三角形,且它們所在平面互相垂直.平面,且.(1)設(shè)P是的中點(diǎn),求證:平面.(2)求二面角的正弦值.15、如圖，PO是三棱錐的高，，，E是PB的中點(diǎn).（1）求證：平面PAC；（2）若，，，求二面角正余弦值.

參考答案1、答案：B解析：如圖，設(shè)BC的中點(diǎn)為D，連接、AD、，易知即為異面直線AB與所成的角(或其補(bǔ)角)設(shè)三棱柱的側(cè)棱與底面邊長均為1，則，，，由余弦定理，得故選：B.2、答案：B解析：對于B,,則,所以,則點(diǎn)在平面內(nèi).同理可得,ACD不正確.3、答案：C解析：以過點(diǎn)O且垂直于平面SAC的直線為x軸，直線OC，OS分別為y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)，則根據(jù)題意可得，，，，所以，，設(shè)異面直線AB與CM所成角為，則.故選：C.4、答案：A解析：如圖所示,以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.設(shè)，則.則，設(shè)平面的法向量為,則，可求得，則.∴，∴直線與平面所成的角為.故選A.5、答案：B解析：解法一取的中點(diǎn)，連接，.易證，故，所成的角就是AD，所成的角.，，D為BC的中點(diǎn)，，，，又，，，為直角三角形，，即異面直線AD與所成的角為，故選B.解法二易知AB，AC，兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AC，所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，即異面直線AD與所成的角為.故選B.6、答案：B解析：如圖,以為原點(diǎn),分別以所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,.設(shè)平面的一個法向量為,則即令,則.點(diǎn)到平面的距離.7、答案：D解析：設(shè)的中點(diǎn)為,連接,則由題意知平面,分別以所在直線為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)側(cè)棱長為,則,則.所以.8、答案：A解析：,,故選A.9、答案：D解析：設(shè)菱形ABCD的邊長為1，取AC的中點(diǎn)O，連接BO、DO，因?yàn)?，所以，又平面平面DAC，平面平面，所以平面ACD，如圖建系，則，，，，所以，，.設(shè)平面BCD的法向量為，則即令，得，，則，易知平面CDA的一個法向量為，所以，故選D.10、答案：A解析：如圖，設(shè)，則，，，，，，.故選A.11、答案：解析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，所以，平面ABCD的一個法向量為,所以，設(shè)直線MN與平面ABCD所成的角為，則，所以.12、答案：解析：如圖，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz，則，，，，.設(shè)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為，.設(shè)平面的法向量為，則令，得.又平面的一個法向量為，記為n，則由，解得（負(fù)值舍去），故.13、答案：解析：因?yàn)?，所以，即，所?因?yàn)槠矫鍭BC，所以，且，即解得所以.14、答案：(1)見解析(2)解析：(1)證明：取的中點(diǎn)O,連接.是正三角形,.∵平面平面,平面平面,平面.平面,.在中,,.又,為等腰三角形.是的中點(diǎn),.平面,.平面平面,平面.(2)由(1)知,,∴四邊形為平行四邊形,,.以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),以的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向,建立如圖的空間直角坐標(biāo)系,則,,.設(shè)平面的法向量為,則即令,則,.設(shè)平面的法向量為,則即令,則,..,∴二面角的正弦值為.15、答案：（1）證明見解析（2）解析：（1）如圖，取AB的中點(diǎn)D，連接DP，DO，DE.

因?yàn)?，所?因?yàn)镻O為三棱錐的高，所以平面ABC，

因?yàn)槠矫鍭BC，所以.又平面POD，且，所以平面POD.因?yàn)槠矫鍼OD，所以，

又，所以，因?yàn)槠矫鍼AC，平面PAC，所以平面PAC.

因?yàn)镈，E分別為BA，BP的中點(diǎn)，所以，

因?yàn)槠矫鍼AC，平面PAC，所以平面PAC.

又平面ODE，，

所以平面平面PAC.

又平面ODE，所以平面PAC.

（2）連接OA，

因?yàn)槠矫鍭BC，平面ABC，

所以，，

所以.易得在中，，

所以，，

又，

所以在中，.