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任意角
現(xiàn)實(shí)世界中的許多運(yùn)動(dòng)、變化都有著循環(huán)往復(fù)、周而復(fù)始的規(guī)律,這種變化規(guī)律稱為周期性.例如:地球自轉(zhuǎn)引起的晝夜交替變化和公轉(zhuǎn)引起的四季交替變化,月亮圓缺,潮汐變化,物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的位置變化,物體做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)的位移變化,交變電流變化等.這些現(xiàn)象都可以用三角函數(shù)刻畫.問題提出
過去我們學(xué)習(xí)了0°~360°范圍的角,但在實(shí)際問題中還會(huì)遇到其他角.如在體操、花樣滑冰、跳臺(tái)跳水等比賽中,常常聽到“前空翻轉(zhuǎn)體5400”、“后空翻轉(zhuǎn)體7200”這樣的解說.再如鐘表的指針、擰動(dòng)螺絲的扳手、機(jī)器上的輪盤等,它們按照不同方向旋轉(zhuǎn)所成的角,不全是0°~3600范圍內(nèi)的角.因此,僅有0°~360°范圍內(nèi)的角是不夠的,我們必須將角的概念進(jìn)行推廣.
思考1:角是如何定義的?①角是由平面內(nèi)一點(diǎn)引出的兩條射線所組成的圖形(如圖1);圖2圖1知識(shí)探究(一):角的概念的推廣②角是由平面內(nèi)一條射線繞其端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所組成的圖形(如圖2).角的始邊角的終邊角的頂點(diǎn)ABOABO思考2:在齒輪傳動(dòng)中,被動(dòng)輪與主動(dòng)輪是按相反方向旋轉(zhuǎn)的。一般地,一條射線繞其端點(diǎn)旋轉(zhuǎn),既可以按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),也可以按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn).你認(rèn)為將一條射線繞其端點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)600所形成的角,與按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)600所形成的角是否相等?
思考3:為了區(qū)分形成角的兩種不同的旋轉(zhuǎn)方向,對(duì)角作以下規(guī)定:按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角,按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做負(fù)角.如果一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn),則稱它形成了一個(gè)零角.你能用圖形表示這些角嗎?
畫圖表示一個(gè)大小一定的角,先畫一條射線作為角的始邊,再由角的正負(fù)確定角的旋轉(zhuǎn)方向,再由角的絕對(duì)值大小確定角的旋轉(zhuǎn)量,畫出角的終邊,并用帶箭頭的螺旋線加以標(biāo)注.βB2γAB1αO結(jié)論:度量一個(gè)角的大小,既要考慮旋轉(zhuǎn)方向,又要考慮旋轉(zhuǎn)量,通過上述規(guī)定,角的范圍就擴(kuò)展到了任意大小.xoy思考1:為了進(jìn)一步研究角的需要,我們常在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角,并使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,那么對(duì)一個(gè)任意角,角的終邊可能落在哪些位置?
知識(shí)探究(二):象限角象限角:如果角的終邊在第幾象限,我們就說這個(gè)角是第幾象限的角;如果角的終邊在坐標(biāo)軸上,就認(rèn)為這個(gè)角不屬于如何象限,或稱這個(gè)角為軸線角.-50°xyoxyo210°-450°xyo-200°xyo練習(xí)1:-50°,210°,-200°,-450°
分別是第幾象限的角練習(xí)2:銳角是第幾象限角?第一象限角是銳角嗎?鈍角、直角呢?練習(xí)3:第二象限的角一定比第一象限的角大嗎?象限角只能反映角的終邊所在象限,不能反映角的大小.知識(shí)探究(三):終邊相同的角結(jié)論:所有與30°角終邊相同的角,連同30°角在內(nèi),可構(gòu)成一個(gè)集合S,用描述法表示集合S,則:
思考1:在直角坐標(biāo)系中,30°角的終邊在什么位置?終邊在該位置的角一定是30°嗎?除了30°還有哪些角?它們具有什么關(guān)系?yx
所有與角α終邊相同的角,連同角α在內(nèi)所構(gòu)成的集合S可以表示為
例1在0°~360°范圍內(nèi),找出與-30°角終邊相同的角,并判定它是第幾象限角.
330°,第四象限角.練習(xí):找出與405°角終邊相同的角,并判斷它是第幾象限角.例2分別寫出終邊在x軸正半軸、負(fù)半軸上的角的集合,y軸正半軸、負(fù)半軸上的角的集合,x軸、y軸上的角的角的集合.
x軸:y軸:yxx軸正半軸:x軸負(fù)半軸:y軸正半軸:y軸負(fù)半軸:例3第一、二、三、四象限的角的集合分別如何表示?
一:{α|k·360°<α<90°+k·360°,k∈Z};二:{α|90°+k·360°<α<180°+k·360°,k∈Z};三:{α|180°+k·360°<α<270°+k·360°,k∈Z};四:{α|-90°+k·360°<α<k·360°,k∈Z}.yx例4寫出終邊在直線y=x上的角的集合S,并把S中適合不等式-360°≤<720°的元素寫出來.
S={α|α=45°+k·180°,k∈Z}.-315°,-135°,45°,
225°,405°,585°.思考:如果α是第二象限的角,那么2α、2α/2分別是第幾象限的角?90°+k·360°<α<180°+k·360°180°+2k·360°<2α<360°+2k·360°45°+k·180°<α/2<90°+k·180°知識(shí)探究(三):終邊相同的角第三象限的角或第四象限的角或第一、三象限的角解析:角的終邊在y軸負(fù)半軸上yx
角的概念推廣后,角的大小可以任意取
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