云南省昆明市第二十五中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析

云南省昆明市第二十五中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角至多有一個(gè)鈍角”時(shí)，假設(shè)正確的是（

）

A.假設(shè)至少有一個(gè)鈍角

B．假設(shè)至少有兩個(gè)鈍角C．假設(shè)沒有一個(gè)鈍角

D．假設(shè)沒有一個(gè)鈍角或至少有兩個(gè)鈍角參考答案：B略2.拋物線上一點(diǎn)到直線的距離最短的點(diǎn)的坐標(biāo)是 （

）A．（1，1）

B．（）

C．

D．（2，4）參考答案：A利用數(shù)形結(jié)合思想，拋物線上到直線的距離最短的點(diǎn)，就是與平行的直線與拋物線的切線的切點(diǎn)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求切線斜率或運(yùn)用方程組整理得一元二次方程，由判別式為零，選A。3.在同一坐標(biāo)系中，將曲線變?yōu)榍€的伸縮變換是

參考答案：B4.有一段演繹推理是這樣的：“直線平行于平面,則平行于平面內(nèi)所有直線；已知直線平面，直線平面，直線∥平面，則直線∥直線”的結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的，這是因?yàn)?/p>

（

）A.大前提錯(cuò)誤

B.小前提錯(cuò)誤

C.推理形式錯(cuò)誤

D.非以上錯(cuò)誤參考答案：A5.對(duì)“a，b，c是不全相等的正數(shù)”，給出兩個(gè)判斷：①；②不能同時(shí)成立，下列說法正確的是(

)A．①對(duì)②錯(cuò) B．①錯(cuò)②對(duì) C．①對(duì)②對(duì)

D．①錯(cuò)②錯(cuò)

參考答案：A6.已知集合，，則A∩B=（

）A.{1} B.{2} C.{1,2} D.{1,2,3}參考答案：C【分析】根據(jù)交集的定義直接求解即可【詳解】，直接求解得【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題7.若從，，，，，這六個(gè)數(shù)字中選個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)，則這樣的四位數(shù)一共有（

）．A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)參考答案：C個(gè)位為時(shí)，十，百，千可有種，個(gè)位為或時(shí)，千位有種，十百有種，∴共（種）．8.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足(1－i)·z＝2i，是復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)，則下列關(guān)于復(fù)數(shù)z的說法正確的是(

)A.z＝1－i B.C. D.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)表示的點(diǎn)在第四象限參考答案：C【分析】把已知等式變形，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)求出z，然后逐一核對(duì)四個(gè)選項(xiàng)得答案．【詳解】復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)表示的點(diǎn)在第二象限，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．9.設(shè)M、N是兩個(gè)集合，則“M∪N≠?”是“M∩N≠?”的()A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：B10.用反證法證明命題“是無理數(shù)”時(shí)，假設(shè)正確的是（

）．A.假設(shè)是有理數(shù) B.假設(shè)是有理數(shù)C.假設(shè)或是有理數(shù) D.假設(shè)是有理數(shù)參考答案：D試題分析：根據(jù)用反證法證明數(shù)學(xué)命題的方法和步驟，應(yīng)先假設(shè)命題的否定成立，而命題“是無理數(shù)”的假設(shè)為“假設(shè)是有理數(shù)”．考點(diǎn)：反證法．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則a的取值范圍是__________.參考答案：12.直線與圓相交于A、B兩點(diǎn)，則

.參考答案：略13.若點(diǎn)P在曲線C1：上，點(diǎn)Q在曲線C2：(x－2)2＋y2＝1上，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最大值是

．參考答案：

設(shè)，則，．

．（其中）

14.計(jì)算定積分(x2＋sinx)dx＝________.參考答案：15.拋物線上的點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離為3，則|y0|=

．參考答案：16.從下面的等式中，，....

你能猜想出什么結(jié)論

.參考答案：17.已知條件p:x≤1，條件q：<1，則p是q的

條件參考答案：充分不必要略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知f（x）=﹣3x2+a（6﹣a）x+6．（Ⅰ）解關(guān)于a的不等式f（1）＞0；（Ⅱ）若不等式f（x）＞b的解集為（﹣1，3），求實(shí)數(shù)a，b的值．參考答案：【考點(diǎn)】一元二次不等式的應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）f（1）＞0，即﹣3+a（6﹣a）+6＞0，即a2﹣6a﹣3＜0，由此可得不等式的解集；（Ⅱ）不等式f（x）＞b的解集為（﹣1，3），等價(jià)于﹣3x2+a（6﹣a）x+6＞b的解集為（﹣1，3），即﹣1，3是方程3x2﹣a（6﹣a）x﹣6+b=0的兩個(gè)根，利用韋達(dá)定理可求實(shí)數(shù)a，b的值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=﹣3x2+a（6﹣a）x+6，f（1）＞0∴﹣3+a（6﹣a）+6＞0∴a2﹣6a﹣3＜0∴∴不等式的解集為（Ⅱ）∵不等式f（x）＞b的解集為（﹣1，3），∴﹣3x2+a（6﹣a）x+6＞b的解集為（﹣1，3），∴﹣1，3是方程3x2﹣a（6﹣a）x﹣6+b=0的兩個(gè)根∴∴19.已知拋物線，焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，線段OF的中點(diǎn)為G.點(diǎn)P是C上在x軸上方的一點(diǎn)，且點(diǎn)P到l的距離等于它到原點(diǎn)O的距離.（1）求P點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）過點(diǎn)作一條斜率為正數(shù)的直線與拋物線C從左向右依次交于A、B兩點(diǎn)，求證：.參考答案：（1）；（2）詳見解析.【分析】（1）由點(diǎn)到的距離等于它到原點(diǎn)的距離，得，又為線段的中點(diǎn)，所以，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入拋物線的方程，解得，即可得到點(diǎn)坐標(biāo).（2）設(shè)直線的方程為，代入拋物線的方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，求得，，進(jìn)而得到，進(jìn)而得到直線和的傾斜角互補(bǔ)，即可作出證明.【詳解】（1）根據(jù)拋物線的定義，點(diǎn)到的距離等于，因?yàn)辄c(diǎn)到的距離等于它到原點(diǎn)的距離，所以，從而為等腰三角形，又為線段的中點(diǎn)，所以，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入，解得，故點(diǎn)的坐標(biāo)為.（2）設(shè)直線的方程為，代入，并整理得，由直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，得，結(jié)合，解得，由韋達(dá)定理，得，，，所以直線和的傾斜角互補(bǔ)，從而，結(jié)合軸，得，故.【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用問題,解答此類題目，通常聯(lián)立直線與拋物線的方程組，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解，此類問題易錯(cuò)點(diǎn)是復(fù)雜式子的變形能力不足，導(dǎo)致錯(cuò)解，能較好的考查考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、分析問題解決問題的能力等.20.設(shè)函數(shù)f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)．（Ⅰ）令g1（x）=g（x），gn+1（x）=g（gn（x）），n∈N+，求gn（x）的表達(dá)式；（Ⅱ）若f（x）≥ag（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（Ⅲ）設(shè)n∈N+，比較g（1）+g（2）+…+g（n）與n﹣f（n）的大小，并加以證明．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（Ⅰ）由已知，，…可得用數(shù)學(xué)歸納法加以證明；（Ⅱ）由已知得到ln（1+x）≥恒成立構(gòu)造函數(shù)φ（x）=ln（1+x）﹣（x≥0），利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值即可；（Ⅲ）在（Ⅱ）中取a=1，可得，令則，n依次取1，2，3…，然后各式相加即得到不等式．【解答】解：由題設(shè)得，（Ⅰ）由已知，，…可得下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．①當(dāng)n=1時(shí)，，結(jié)論成立．②假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立，即，那么n=k+1時(shí)，=即結(jié)論成立．由①②可知，結(jié)論對(duì)n∈N+成立．（Ⅱ）已知f（x）≥ag（x）恒成立，即ln（1+x）≥恒成立．設(shè)φ（x）=ln（1+x）﹣（x≥0），則φ′（x）=，當(dāng)a≤1時(shí)，φ′（x）≥0（僅當(dāng)x=0，a=1時(shí)取等號(hào)成立），∴φ（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，又φ（0）=0，∴φ（x）≥0在[0，+∞）上恒成立．∴當(dāng)a≤1時(shí)，ln（1+x）≥恒成立，（僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立）當(dāng)a＞1時(shí)，對(duì)x∈（0，a﹣1]有φ′（x）＜0，∴φ（x）在∈（0，a﹣1]上單調(diào)遞減，∴φ（a﹣1）＜φ（0）=0即當(dāng)a＞1時(shí)存在x＞0使φ（x）＜0，故知ln（1+x）≥不恒成立，綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，1]．（Ⅲ）由題設(shè)知，g（1）+g（2）+…+g（n）=，n﹣f（n）=n﹣ln（n+1），比較結(jié)果為g（1）+g（2）+…+g（n）＞n﹣ln（n+1）證明如下：上述不等式等價(jià)于，在（Ⅱ）中取a=1，可得，令則故有，ln3﹣ln2，…，上述各式相加可得結(jié)論得證．21.已知棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD－A1B1C1D1