課件匯總附案例-3.0建模創(chuàng)新思維方法

1.3建模創(chuàng)新思維方法現(xiàn)實(shí)世界數(shù)學(xué)世界建立數(shù)學(xué)模型翻譯為實(shí)際解答始于現(xiàn)實(shí)世界并終于現(xiàn)實(shí)世界一、概論數(shù)學(xué)模型是現(xiàn)實(shí)世界與數(shù)學(xué)世界的理想橋梁，怎樣構(gòu)架這座橋梁？數(shù)學(xué)建模過程分為若干有明顯差別的階段性工作

求解數(shù)學(xué)模型

實(shí)際問題分析建立數(shù)學(xué)模型提交論文與報(bào)告

模型及模型解的分析及檢驗(yàn)

此流程具有指導(dǎo)意義，應(yīng)注意

*流程應(yīng)用是彈性的，切不能生搬硬套.*建模過程往往是一個(gè)反復(fù)循環(huán)的過程.*數(shù)學(xué)建模沒有普遍適用的方法與技巧.

*數(shù)學(xué)建模與問題性質(zhì)、建模目的以及建模工作者自身的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和專長有關(guān).*有一些普遍適用的思想方法與思維方式.

數(shù)學(xué)建模過程是一種創(chuàng)新過程，在思考方法和思維方式上與其他數(shù)學(xué)課程有較大差別.重要的科學(xué)思維方式之一是創(chuàng)新思維,創(chuàng)新思維是創(chuàng)新能力的核心與靈魂.數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維…….等等.類比思維歸納思維逆向思維發(fā)散思維猜測思維直覺思維數(shù)學(xué)家拉普拉斯指出：“在數(shù)學(xué)里，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具和手段是歸納和類比.類比思維:類比是根據(jù)兩個(gè)或多個(gè)對(duì)象內(nèi)部屬性、關(guān)系等某些問題的相似性，而推出他們?cè)谄渌矫嬉部赡芟嗨频囊环N推理思維形式，是數(shù)學(xué)探索中常用的一種創(chuàng)新思維方法歸納思維從眾多的事物和記錄中找出共性和本質(zhì)屬性的抽象化思維.對(duì)眾多個(gè)別事物的經(jīng)驗(yàn)認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)其規(guī)律，并總結(jié)出原理，從觀察一類事物的部分對(duì)象具有某一屬性,而歸納出該類事物都具有這一屬性的推理方法直覺思維是根據(jù)某些已知的事實(shí)和知識(shí)對(duì)研究的問題提出合理的猜想或突然領(lǐng)悟的思維過程，通常包括直覺、靈感、潛意識(shí)等非邏輯的思維活動(dòng).

直覺思維是通過背景材料提出猜想的一種途徑，是創(chuàng)造性思維不可缺少的一部分.直覺和猜測思維:發(fā)散思維是一種不依常規(guī)、不受約束，充分展現(xiàn)聯(lián)想和想象的思維.發(fā)散思維是一種開放性的立體思維，即圍繞某一問題沿著不同方向去思考探索，重組眼前的信息和記憶中的信息，產(chǎn)生新的信息并獲得解決問題的多種方案.介紹幾種數(shù)學(xué)建模工作各環(huán)節(jié)用到的創(chuàng)造性思維方法：問題解決法、思想表達(dá)法等.對(duì)于創(chuàng)造能力的培養(yǎng)不可或缺方法的共同特點(diǎn):

不輕易否定別人的意見，懷疑一般常識(shí)，努力發(fā)現(xiàn)別人尚未察覺的事物等.1．小組群體思維類似于現(xiàn)代科研工作，數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)是群體的合作活動(dòng).*傳統(tǒng)教育模式使學(xué)生,善于獨(dú)立思考，卻拙于交流、與人合作.

*數(shù)學(xué)建模是一種集體創(chuàng)新過程,需要一種集體創(chuàng)新思維方式.*在合作過程中缺乏相互理解、相互協(xié)調(diào)、相互交流、從而集思廣益的意識(shí)及能力.

集體思考法(BrainStorming，簡稱BS法)

是一種較好的集體創(chuàng)新思維方式為使合作者互相啟發(fā),互相學(xué)習(xí),發(fā)揮特長.

良好合作的要素：需要、提倡、避免.需要：相互尊重、平等相待.

提倡：積極思考、學(xué)會(huì)傾聽、善于表達(dá)、勇于爭辯、懂得妥協(xié).避免：武斷評(píng)價(jià)、回避責(zé)任、孤高自傲、喪失信心.突破問題的靈感與思想的火花往往產(chǎn)生于激烈的爭論之中

2．發(fā)散性思維方法面對(duì)新問題，應(yīng)盡量打開自己的思路：

發(fā)散性思維和猜測思維是創(chuàng)造性思維方式的重要組成部分1.不要輕易沿一條思路深入，不要輕易做出結(jié)論.

2.

盡量多一些想法，多一些猜測.思考、思考、再思考.幫助展開思路的方法：

②

關(guān)鍵詞聯(lián)想法①提問題法①提問題法

面臨難題,束手無策時(shí)通過提出一系列問題來導(dǎo)出一些想法或一個(gè)好的方案.借助于一系列問題來展開思路如：

(l)這個(gè)問題和什么問題有類似之處？(2)假如變動(dòng)問題的某些條件將會(huì)怎樣？(4)重新組合又會(huì)怎樣？(3)將問題分解成若干部分再考慮會(huì)怎樣？為進(jìn)一步打開思路可提以下問題：

(5)我們還可以做什么工作？(6)有無需要進(jìn)一步完善的內(nèi)容？(7)可否換一種數(shù)學(xué)工具來解決此問題？

針對(duì)問題和初始方案可以先設(shè)計(jì)出類似的問題清單，然后反復(fù)展開.

例1.3.1穿越公路模型（P23實(shí)例七）

一條馬路交通不太擁擠,以致人們養(yǎng)成“沖”過馬路的習(xí)慣,不愿行走到鄰近較遠(yuǎn)處的“斑馬線”.當(dāng)?shù)亟煌ü芾聿块T不允許任意橫穿公路,為方便行人，準(zhǔn)備在一些特殊地點(diǎn)增設(shè)一批“斑馬線”,讓行人可穿越馬路,并且還要保證行人的平均等待時(shí)間不超過15秒.1.考慮問題的立場,司機(jī)或行人的哪方面的利益更為重要？2.公路情況:是否有彎道？車道間是否設(shè)有安全隔離帶？……3.車流情況:車流的密度大小？4.行人情況:穿越公路的速度大小？穿越公路的人群密度？穿越公路者的性質(zhì)？增設(shè)“斑馬線”需考慮哪些方面的問題？

問題分析此問題的特點(diǎn)是機(jī)理復(fù)雜,受到較多隨機(jī)因素的影響.類似渡口模型可采用統(tǒng)計(jì)模擬方法加以解決.

一種新產(chǎn)品剛面世，廠家和商家總是采取各種措施促進(jìn)銷售，比如不惜血本大做廣告等等.他們都希望對(duì)這種新產(chǎn)品的推銷速度做到心中有數(shù),廠家用于組織生產(chǎn)，商家便于安排進(jìn)貨.例1.3.2新產(chǎn)品銷售模型

怎樣建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型描述新產(chǎn)品(電飯煲)推銷速度，并由此分析出一些有用的結(jié)果以指導(dǎo)生產(chǎn).想一想

此問題與我們遇到的哪一個(gè)建模問題相類似？重新分析Logistic人口模型,t

時(shí)刻的人口數(shù)為改寫為

數(shù)學(xué)分析1.若

r＜0,則S＜0,隨著,有2.若

r＞0,討論Logistic曲線特征，有N(t)是單調(diào)上升函數(shù).

K是使得人口凈增長率r(K)=0的人口數(shù)，可理解為該地區(qū)能容納的人口上限.t00N0KK/2

人口不會(huì)無限增長，存在一個(gè)轉(zhuǎn)折時(shí)間點(diǎn)t0

，過此點(diǎn)以后增長速度會(huì)減緩.

(1)一般每戶只需用1～2只電飯煲就足夠,一個(gè)地區(qū)的需求量是有限的；

電飯煲的銷售情況類似于人口增長情況,可利用類比方法建立模型.Logistic模型特點(diǎn)初期高速增長，過一個(gè)特定時(shí)間點(diǎn)后增長速度減緩，且有上界控制.對(duì)電飯煲銷售問題的分析：(2)初期在廣告之類推銷作用下銷售速度較快,商品趨于飽和時(shí)銷售速度會(huì)減緩.

記x(t)為t時(shí)刻已售出的電飯煲總數(shù),市場的飽和量(最大需求量)為M,利用Logistic模型來描述電飯煲的銷售速度變化情況.實(shí)際情況與Logistic銷售曲線十分吻合.

當(dāng)銷售量小于最大需求量的一半時(shí)，銷售速度增長很快，產(chǎn)品最為暢銷,其后銷售速度將開始下降.

結(jié)論新產(chǎn)品取得較高的經(jīng)濟(jì)效益應(yīng)采取的措施(1)初期采取小批量生產(chǎn)并加以廣告宣傳；(2)銷售量處于最大需求量的20%～80%時(shí)，是該產(chǎn)品正式大批量生產(chǎn)的較適合時(shí)期；(3)當(dāng)銷售量超過最大需求量的80%，應(yīng)考慮適時(shí)轉(zhuǎn)產(chǎn).討論

現(xiàn)實(shí)中哪些變量的變化可用Logistic模

型進(jìn)行描述？

現(xiàn)代化都市里大樓林立,這些拔地而起的摩天大樓安全性不容忽視,我們經(jīng)常耳聞目睹大樓內(nèi)發(fā)生意外情況,造成令人震驚的人員傷亡和財(cái)產(chǎn)損失.

大樓內(nèi)居住人員的安全保障在于無論發(fā)生什么情況,都能使人員有組織,有秩序地進(jìn)行疏散撤離.

一座大樓的管委會(huì)想進(jìn)行一次緊急疏散人員的演習(xí).例1.3.3“9.11”事件的反思

問題分析

演習(xí)之前需要考慮許多方面,如大樓內(nèi)的設(shè)施、人員的分布情況、撤離路線的設(shè)計(jì)、撤離的步驟等等,這是一個(gè)較龐大的系統(tǒng)工程.(見P16

實(shí)例3疏散模型).可考慮將此問題分解成為若干個(gè)子問題，如*一個(gè)房間內(nèi)人員的撤離；*一個(gè)通道的撤離；*一層樓人員的撤離；……最后,將各個(gè)子問題重新組合起來.小型飛機(jī)內(nèi)艙練習(xí)題大中小三類飛機(jī)旅客上機(jī)流程設(shè)計(jì)中型飛機(jī)內(nèi)艙大型飛機(jī)內(nèi)艙②關(guān)鍵詞聯(lián)想法主要步驟如下：(1)抓住問題或方案的關(guān)鍵詞,不受任何約束地進(jìn)行聯(lián)想；(2)把聯(lián)想到的內(nèi)容用關(guān)鍵詞的方式登記在卡片上,進(jìn)一步激發(fā)產(chǎn)生新的想法,進(jìn)一步想出新的主意；(3)再把積攢的卡片相互搭配,形成解決問題的初步思路與步驟.有效的發(fā)散思維方式

例3.1.4

一個(gè)飛行管理問題

在約10,000米高空的某邊長160公里的正方形區(qū)域內(nèi)，經(jīng)常有若干架飛機(jī)作水平飛行.區(qū)域內(nèi)每架飛機(jī)的位置和速度均由計(jì)算機(jī)記錄其數(shù)據(jù),以便進(jìn)行飛行管理.當(dāng)一架欲進(jìn)入該區(qū)域的飛機(jī)到達(dá)區(qū)域邊緣,記錄其數(shù)據(jù)后，要立即計(jì)算并判斷是否會(huì)與區(qū)域內(nèi)的飛機(jī)發(fā)生碰撞.如果會(huì)碰撞,則應(yīng)計(jì)算如何調(diào)整各架（包括新進(jìn)入的）飛機(jī)飛行方向角，以避免碰撞.現(xiàn)假定條件如下：……請(qǐng)你對(duì)這個(gè)避免碰撞的飛行管理問題建立數(shù)學(xué)模型,列出計(jì)算步驟,對(duì)以下數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算(方向角誤差不超過0.01度).要求飛機(jī)飛行方向角調(diào)整的幅度盡量小.記錄數(shù)據(jù)為：……

試根據(jù)實(shí)際應(yīng)用背景對(duì)你的模型進(jìn)行評(píng)價(jià)與推廣.飛行管理問題

*對(duì)問題仔細(xì)閱讀,首先抓住題目中的關(guān)鍵詞“管理”進(jìn)行聯(lián)想.

*

抓住諸如“碰撞”、“調(diào)整”、“避免碰撞”、“立即”、“判斷”等等詞語.

*聯(lián)系解決問題的方案,不加約束繼續(xù)聯(lián)想，再將關(guān)鍵詞搭配起來.

立即判斷

碰撞

條件

實(shí)時(shí)

算法

避免碰撞

調(diào)整方向角

實(shí)時(shí)

幅度盡量小

相對(duì)距離優(yōu)化問題優(yōu)化算法優(yōu)化調(diào)整方案問題的初步理解及把握:

飛行管理問題是優(yōu)化問題,在調(diào)整方向角的幅度盡量小的同時(shí)，還必須注意調(diào)整方案及算法的實(shí)時(shí)性.

作業(yè)題1.網(wǎng)上查找全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽B題“2010年上海世博會(huì)影響力的定量評(píng)估”,需給出網(wǎng)址.2.用關(guān)鍵詞聯(lián)想法分析題目,形成對(duì)問題的初步理解和解決問題的思路.2010年上海世博會(huì)是首次在中國舉辦的世界博覽會(huì).從1851年倫敦的“萬國工業(yè)博覽會(huì)”開始，世博會(huì)正日益成為各國人民交流歷史文化、展示科技成果、體現(xiàn)合作精神、展望未來發(fā)展等的重要舞臺(tái).請(qǐng)你們選擇感興趣的某個(gè)側(cè)面，建立數(shù)學(xué)模型，利用互聯(lián)網(wǎng)數(shù)據(jù)，定量評(píng)估2010年上海世博會(huì)的影響力.2010年上海世博會(huì)影響力的定量評(píng)估有兩種把握住問題的全貌的有效方法：

(1)層次結(jié)構(gòu)法

(2)問題分解法

有專著介紹

問題分解法是一種簡單而有效的把握問題整體的方法.③整體把握問題的方法將問題分解為“三要素”的三個(gè)部分.

問題分解三要素

初態(tài)

目標(biāo)態(tài)

過程

覺察到的現(xiàn)在狀態(tài)(目前“有什么”，如條件、數(shù)據(jù)等).

覺察到的希望目標(biāo)(想要什么、希望達(dá)到什么等).

能在“初態(tài)”和“目標(biāo)態(tài)”之間發(fā)生作用的行動(dòng)(能做什么).例1常見數(shù)學(xué)題目模式

已知求（證）解題初態(tài)目標(biāo)態(tài)過程教師的主要教學(xué)目標(biāo)

*解決實(shí)際問題時(shí)，分析出問題的初態(tài)和目標(biāo)態(tài)很困難.

*未清晰地描述出問題的“初態(tài)”和“