第5章空間直角坐標(biāo)系及向量

第三節(jié)曲面及其方程一、曲面方程的概念二、旋轉(zhuǎn)曲面三、柱面四、二次曲面

在平面幾何中，平面曲線看作平面上動點的幾何軌跡.在空間解析幾何中，空間曲面可以看成是空間中動點的幾何軌跡.一、曲面方程的概念關(guān)于二次曲面的研究，有兩個基本問題：(1)將一已知曲面看成空間動點的幾何軌跡，建立該曲面的方程；(2)已知曲面的方程，研究該方程所表示的曲面的幾何形狀.

如果曲面S和方程F(x,y,z)=0之間存在下面關(guān)系：曲面S上的點的坐標(biāo)都滿足方程F(x,y,z)=0；而不在曲面上的點的坐標(biāo)都不滿足這個方程，就稱方程F(x,y,z)=0為曲面S的方程.例1

建立球心在、半徑為R的球面方程.解：設(shè)M(x,y,z)為球面上的任意一點，則點M滿足條件：|M0M|=R即：方程(1)也可以寫為:球面方程為:如果M0為原點，則(3)

顯然，球面上的點滿足這個方程；而不在球面上的點的坐標(biāo)不滿足這個方程，所以方程(1)就是以為球心，以R為半徑的球面方程.例2方程表示怎樣的曲面？解：經(jīng)配方以后，方程可以寫成與(1)式比較，可見球心在(－3,4,0)，半徑為5表示一個球面:例3球的一條直徑的兩端為(1,－2,3)和(－3,4,1)，求此球面方程.解：首先，平面幾何中關(guān)于定比分點及線段中點坐標(biāo)的公式可以推廣到空間中，所以球心的坐標(biāo)為：所以球面方程為：兩點間距離公式

一平面曲線C繞同一平面上的定直線L旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.曲線C稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線，直線L稱為旋轉(zhuǎn)曲面的軸.二、旋轉(zhuǎn)曲面問題：設(shè)在yoz面上曲線C的方程為:F(y,z)=0，把曲線C繞z軸旋轉(zhuǎn)一周，就得到一個以z軸為軸的旋轉(zhuǎn)曲面，求這個旋轉(zhuǎn)曲面方程.

此時，M0點的軌跡是在z=z0平面上，半徑為|y0|的圓.所以點M與M0的z坐標(biāo)相同，且它們到z軸的距離相等，即：(3)

因為M0點是在曲線C上，所以有F(y0,z0)=0.將(3)式代入F(y,z)=0,就得到M點坐標(biāo)應(yīng)滿足的方程:此式為旋轉(zhuǎn)曲面滿足的方程.

同理，曲線C繞y軸旋轉(zhuǎn)，所得到的旋轉(zhuǎn)曲面方程為：

類似,xoy面上的曲線F(x,y)=0繞x軸旋轉(zhuǎn)所得到的旋轉(zhuǎn)曲面方程為：例4yoz坐標(biāo)面上的直線,繞z軸旋轉(zhuǎn)，試求所得旋轉(zhuǎn)曲面方程.解：因為是yoz坐標(biāo)面上的直線繞z軸旋轉(zhuǎn),故將z保持不變，y換成,則有:即所求旋轉(zhuǎn)曲面方程:上式表示的曲面稱為圓錐面，點o稱為圓錐的頂點.例5將xOz坐標(biāo)面上的雙曲線分別繞z軸和x軸旋轉(zhuǎn)一周，求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程.解:繞z軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面叫做旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面，它的方程為繞x軸所成的旋轉(zhuǎn)曲面叫做旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面,它的方程為

平行于定直線,并沿曲線C移動的直線L形成的軌跡稱為柱面，定曲線C稱為柱面的準線，動直線L稱為柱面的母線.三、柱面

一般F(x,y)=0在空間直角坐標(biāo)系中表示柱面，其母線平行于z軸，準線為xOy面上的曲線C：F(x,y)=0

；

僅含x、z的方程:

F(x,z)=0

在空間表示母線平行于y軸的柱面.

同理，僅含y、z的方程:

F(y,z)=0

在空間表示母線平行于x軸的柱面；例6方程表示怎樣的曲面？解：方程在xoy面上表示圓心在原點O、半徑為R的圓.

在空間直角坐標(biāo)系中，此方程不含z，僅含x、y，故此方程：表示母線平行于z軸的圓柱面，它的準線是xOy平面上的圓：例7方程x+y-1=0在空間直角坐標(biāo)系中表示怎樣的曲面？解：方程x+y-1=0在空間直角坐標(biāo)系中代表一個平面，這平面實際上也是一個柱面，是以xOy平面上的直線x+y-1=0為準線，而母線平行于Oz軸的柱面.例8方程x2=4z表示怎樣的柱面？解：方程中僅含x、z，故此柱面的母線平行于y軸，它們的準線為xOz平面上的拋物線x2=4z,這類柱面為拋物柱面.常見的母線平行于z軸的柱面及其方程有：方程稱為母線平行于z軸的圓柱面；方程稱為母線平行于z軸的橢圓柱面；方程稱為母線平行于z軸的雙曲柱面;方程y2=2px稱為母線平行于z軸的拋物柱面.四、二次曲面

在空間直角坐標(biāo)系中，空間曲面可以用方程F(x,y,z)=0來表示.若方程F(x,y,z)=0中的x、y、z是一次(或某些項為零)的，則表示的曲面為平面，通常稱平面為一次曲面.若方程F(x,y,z)=0中的x、y、z是二次(或某些項為一次、零次)的，即方程F(x,y,z)=0為三元二次方程，則表示的曲面稱為二次曲面.1、橢圓錐面

以垂直于z軸的平面z=t截此曲面,當(dāng)t=0時得一點(0,0,0)；當(dāng)t≠0時得平面z=t上的橢圓當(dāng)t變化時，上式表示一族長短軸比例不變的橢圓.平面z=t與曲面F(x,y,z)=0的交線稱為截痕.通過綜合截痕的變化來了解曲面形狀的方法稱為截痕法.2、橢球面由方程所表示的曲面叫做橢球面，a、b、c叫做橢球面的半軸.

特征是：用坐標(biāo)面或平行于坐標(biāo)面的平面x=m(-a<m<a)，y=n(-b<n<b)，z=h(-c<z<c)截曲面所得的交線均為橢圓.

當(dāng)a、b、c中有a=b或b=c或a=c時，即為旋轉(zhuǎn)橢球面；當(dāng)a=b=c時，即為球面.例9xoy坐標(biāo)面上的橢圓，分別繞x、y軸旋轉(zhuǎn)，試求所得旋轉(zhuǎn)曲面方程.解：因為是xOy坐標(biāo)面上的橢圓：繞x軸旋轉(zhuǎn)，故x保持不變，而將y換成得到旋轉(zhuǎn)曲面的方程為：

該曲面稱為旋轉(zhuǎn)橢球面.特征是：以平面x=h(-a<h<a)截該曲面得到的截痕曲線是圓，而分別以平面y=h(–b<h<b)、z=h(–b<h<b)截曲面所得的截痕為橢圓.

類似，該橢圓繞y軸旋轉(zhuǎn)而得的旋轉(zhuǎn)橢球面的方程為：

特征是：用xOz坐標(biāo)面及平行于xOz坐標(biāo)面的平面y=h(–a<h<a)截該曲面得到的截痕曲線是圓，而分別以平面x=h(–b<h<b)、z=h(–b<h<b)截曲面所得的截痕為橢圓.

把xOz面上的雙曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)，得旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面

.把此旋轉(zhuǎn)曲面沿y軸方向伸縮倍，即得單葉雙曲面.3、單葉雙曲面

把xOz面上的雙曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)，得旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面.把此旋轉(zhuǎn)曲面沿y軸方向伸縮倍，即得雙葉雙曲面.4、雙葉雙曲面5、橢圓拋物面

把xOz面上的雙曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)，所得曲面叫做旋轉(zhuǎn)拋物面

.此旋轉(zhuǎn)曲面沿y軸方向伸縮倍，即得橢圓拋物面.例10

yOz坐標(biāo)面上的拋物線繞z軸旋轉(zhuǎn)，試求所得旋轉(zhuǎn)曲面方程.解：該曲面稱為旋轉(zhuǎn)拋物面.yOz坐標(biāo)面上的拋物線繞z軸旋轉(zhuǎn)所得曲面的方程為:

其特征為：以平行于xOy坐標(biāo)面的平面z=h(h>0)截曲面得到的截痕曲線是圓，而以xOz坐標(biāo)面、yOz坐標(biāo)面或平行于xOz坐標(biāo)面、yOz坐標(biāo)面的平面截曲面所得的交線，都是拋物線.當(dāng)a>0時，旋轉(zhuǎn)拋物面的開口向上.6、雙曲拋物面所表示的曲面稱為雙曲拋物面或馬鞍面.用平面z=h去截，截線為：

當(dāng)z=h>0時，截線是雙曲線，實軸平行于y軸,虛軸平行于x軸;

當(dāng)z=h=0時，截線是xoy平面上的兩條相交于原點的直線;

當(dāng)z=h<0時，截線是雙曲線，但實軸平行