統(tǒng)計(jì)決策與貝葉斯估計(jì)

1、統(tǒng)計(jì)決策一、統(tǒng)計(jì)決策的三個(gè)要素1樣本空間和分布族設(shè)總體X的分布函數(shù)為F(x;

),是未知參數(shù)，若設(shè)X1

,…,Xn是來自總體X的一個(gè)樣本，則樣本所有可能值組成的集合稱為樣本空間，記為X

2決策空間（判決空間）對(duì)于任何參數(shù)估計(jì)，每一個(gè)具體的估計(jì)值，就是一個(gè)回答，稱為一個(gè)決策，一個(gè)統(tǒng)計(jì)問題中可能選取的全部決策組成的集合稱為決策空間，一個(gè)決策空間至少應(yīng)有兩個(gè)決策。3損失函數(shù)統(tǒng)計(jì)決策的一個(gè)基本假定是，每采取一個(gè)決策，必然有一定的后果，統(tǒng)計(jì)決策是將不同決策以數(shù)量的形式表示出來常見的損失函數(shù)有以下幾種（1）線性損失函數(shù)絕對(duì)損失函數(shù)（2）平方損失函數(shù)（3）凸損失函數(shù)（4）多元二次損失函數(shù)二、統(tǒng)計(jì)決策函數(shù)及風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)1統(tǒng)計(jì)決策函數(shù)定義3.1：定義在樣本空間上X，取值于決策空間A內(nèi)的函數(shù)d(x)，稱為統(tǒng)計(jì)決策函數(shù)，簡稱決策函數(shù)決策函數(shù)就是一個(gè)行動(dòng)方案，如果用表達(dá)式處理，d(x)=d(x1,x2,…xn)本質(zhì)上就是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量

2風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)決策函數(shù)d(X)，完全取決于樣本，損失函數(shù)L(,d)也是樣本X的函數(shù),當(dāng)樣本取不同的值x時(shí)，決策d(X)可能不同，所以損失函數(shù)值L(,d)也不同，不能判斷決策的好壞，一般從總體上來評(píng)價(jià)、比較決策函數(shù)，取平均損失，就是風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)定義3.2設(shè)樣本空間，分布族分別為X，F(xiàn)*，決策空間為A，損失函數(shù)為L(,d),d(X)為決策函數(shù),為決策函數(shù)d(X)的風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)，R(,d),表示采取決策d(X)所蒙受的平均損失（L(,d)的數(shù)學(xué)期望）

優(yōu)良性準(zhǔn)則定義3.3設(shè)d1,d2是統(tǒng)計(jì)問題中的兩個(gè)決策函數(shù)，若其風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)滿足不等式則稱決策函數(shù)d1優(yōu)于d2定義3.4設(shè)D={d(X)}是一切定義在樣本空間X上，取值于決策空間A上的決策函數(shù)全體，若存在一個(gè)決策函數(shù)d*(X)，使對(duì)任意一個(gè)d(X)都有則稱d*(X)為一致最小風(fēng)險(xiǎn)決策函數(shù)，或一致最優(yōu)決策函數(shù)問題總結(jié)1風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)是二元函數(shù)，極值往往不存在或不唯一2在某個(gè)區(qū)間內(nèi)的逐點(diǎn)比較不現(xiàn)實(shí)（麻煩）3對(duì)應(yīng)不同參數(shù)的，同一決策函數(shù)，風(fēng)險(xiǎn)值不相等4由統(tǒng)計(jì)規(guī)律的特性決定不能點(diǎn)點(diǎn)比較5必須由一個(gè)整體指標(biāo)來代替點(diǎn)點(diǎn)比較2.貝葉斯斯估計(jì)計(jì)1)統(tǒng)統(tǒng)計(jì)推推斷的的基礎(chǔ)礎(chǔ)經(jīng)典學(xué)學(xué)派的觀點(diǎn)點(diǎn)：統(tǒng)計(jì)推推斷是是根據(jù)據(jù)樣本本信息息對(duì)總總體分分布或或總體體的特特征數(shù)數(shù)進(jìn)行行推斷斷，這這里用用到兩兩種信信息：：總體信信息和樣本信信息；貝葉斯斯學(xué)派派的觀點(diǎn)點(diǎn)：除除了上上述兩兩種信信息以以外，，統(tǒng)計(jì)計(jì)推斷斷還應(yīng)應(yīng)該使使用第第三種種信息息：先驗(yàn)信信息。。（1））總體信信息:總體分分布提提供的的信息息。（2））樣本信信息:抽取樣樣本所所得觀觀測值值提供供的信信息。。（3））先驗(yàn)信信息:人們在在試驗(yàn)驗(yàn)之前前對(duì)要要做的的問題題在經(jīng)經(jīng)驗(yàn)上和和資料料上總總是有有所了了解的的，這這些信信息對(duì)對(duì)統(tǒng)計(jì)推推斷是是有益益的。。先驗(yàn)驗(yàn)信息息即是是抽樣樣（試試驗(yàn)）之之前有有關(guān)統(tǒng)統(tǒng)計(jì)問問題的的一些些信息息。一一般說說來，先先驗(yàn)信信息來來源于于經(jīng)驗(yàn)驗(yàn)和歷歷史資資料。。先驗(yàn)驗(yàn)信息在在日常常生活活和工工作中中是很很重要要的。?；谏仙鲜鋈N信信息進(jìn)進(jìn)行統(tǒng)統(tǒng)計(jì)推推斷的的統(tǒng)計(jì)計(jì)學(xué)稱稱為貝葉斯斯統(tǒng)計(jì)計(jì)學(xué)。。它與經(jīng)經(jīng)典統(tǒng)統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)的差差別就就在于于是否否利用用先驗(yàn)驗(yàn)信息息。貝貝葉斯斯統(tǒng)計(jì)計(jì)在重重視使使用總總體信信息和和樣本本信息息的同同時(shí)，，還注注意先先驗(yàn)信信息的的收集集、挖挖掘和和加工工，使使它數(shù)數(shù)量化化，形形成先先驗(yàn)分分布，，參加加到統(tǒng)統(tǒng)計(jì)推推斷中中來，，以提提高統(tǒng)統(tǒng)計(jì)推推斷的的質(zhì)量量。忽忽視先先驗(yàn)信信息的的利用用，有有時(shí)是是一種種浪費(fèi)費(fèi)，有有時(shí)還還會(huì)導(dǎo)導(dǎo)出不不合理理的結(jié)結(jié)論。。貝葉斯斯學(xué)派派的基基本觀觀點(diǎn)：：任一未未知量量都可看看作隨隨機(jī)變變量，，可用一一個(gè)概概率分分布去去描述述，這這個(gè)分分布稱稱為先先驗(yàn)分分布；；在獲得得樣本本之后后，總總體分分布、、樣本本與先先驗(yàn)分分布通通過貝貝葉斯斯公式式結(jié)合合起來來得到到一個(gè)個(gè)關(guān)于于未知知量新的分分布——后驗(yàn)分分布；任何何關(guān)于于的統(tǒng)計(jì)計(jì)推斷斷都應(yīng)應(yīng)該基基于的后驗(yàn)驗(yàn)分布布進(jìn)行行。2)先先驗(yàn)分分布利用先先驗(yàn)信信息的的前提提（1）參數(shù)數(shù)是隨機(jī)的的，但有一一定的分布布規(guī)律（2）參數(shù)數(shù)是某一常常數(shù)，但無無法知道目標(biāo)：充分分利用參數(shù)數(shù)的先驗(yàn)信信息對(duì)未知知參數(shù)作出出更準(zhǔn)確的的估計(jì)。貝葉斯方法法就是把未未知參數(shù)視視為具有已已知分布的的隨機(jī)變量量，將先驗(yàn)驗(yàn)信息數(shù)字字化并利用用的一種方方法，一般般先驗(yàn)分布布記為()3)貝葉斯斯公式的密密度函數(shù)形形式(后驗(yàn)驗(yàn)分布）設(shè)總體X的分布密度度函數(shù)P(x;)在貝葉斯統(tǒng)統(tǒng)計(jì)中記為為P(x|)，它表示在在隨機(jī)變量量θ取某個(gè)給定定值時(shí)總體體的條件概率密密度函數(shù)；；P(x;)=P(x|)根據(jù)參數(shù)的先驗(yàn)信息息確定先驗(yàn)分布()；樣本x1,x2,…,xn的聯(lián)合條件分分布密度函函數(shù)為這個(gè)分布綜綜合了總體體信息和樣樣本信息；0是未知的，，它是按先先驗(yàn)分布()產(chǎn)生的。為為把先驗(yàn)信信息綜合進(jìn)進(jìn)去，不能能只考慮0，對(duì)的其它值發(fā)發(fā)生的可能能性也要加加以考慮，，故要用()進(jìn)行綜合。。這樣一來來，樣本x1,…,xn和參數(shù)的聯(lián)合分布為為:f(x1,x2,…,xn,)=q(x1,x2,…,xn)()，簡記為f(x,)=q(x)()這個(gè)聯(lián)合分分布把總體體信息、樣樣本信息和和先驗(yàn)信息息三種可用用信息都綜綜合進(jìn)去了了；在有了樣本本觀察值x1,x2,…,xn之后，則應(yīng)應(yīng)依據(jù)f(x,)對(duì)作出推斷。。由于f(x,)=h(x1,x2,…,xn)m(x1,x2,…,xn)，其中m(x1,x2,…,xn)是x1,x2,…,xn的邊際概率率函數(shù)，它它與無關(guān)。因此此能用來對(duì)對(duì)作出推斷的的僅是條件件分布h(x1,x2,…,xn)，它的計(jì)算算公式是這個(gè)條件分分布稱為的后驗(yàn)分布，，它集中了總總體、樣本本和先驗(yàn)中中有關(guān)的一切信息息。后驗(yàn)分布h(x1,x2,…,xn)的計(jì)算公式式就是用密密度函數(shù)表表示的貝葉葉斯公式。。它是用總總體和樣本本對(duì)先驗(yàn)分分布()作調(diào)整的結(jié)結(jié)果，貝葉葉斯統(tǒng)計(jì)的的一切推斷斷都基于后后驗(yàn)分布進(jìn)進(jìn)行。4）共軛先先驗(yàn)分布定義：設(shè)總總體X的分布密度度為p(x|),F*為的一個(gè)分布布族，()為的任意一個(gè)個(gè)先驗(yàn)分布布，()∈F*,若對(duì)樣本的的任意觀測測值x,的后驗(yàn)分布布h(|x)仍在F*內(nèi)，稱F*為關(guān)于分布布密度p(x|)的共軛先驗(yàn)驗(yàn)分布族，，簡稱共軛軛族。計(jì)算共軛先先驗(yàn)分布的的方法當(dāng)給定樣本本的分布（（似然函數(shù)數(shù)）q(x|)和先驗(yàn)分布()；由貝葉斯公公式得h(x|)=()q(x)/m(x)由于m(x)不依賴于于,改寫為為h(x|)∝()q(x)上式不是正正常的密度度函數(shù),是是h(x|)的主要要部分,稱稱為h(x|)的核例8X1,X2,…,Xn來自正態(tài)分布布N(,2)的一個(gè)樣本，，其中已知，求方差差2的共軛先驗(yàn)分分布例9X1,X2,…,Xn來自二項(xiàng)分布布B(N,)的一個(gè)樣本，，求的共軛先驗(yàn)分分布計(jì)算共軛先驗(yàn)驗(yàn)分布的方法法1.h(|x)=()q(x|)/m(x),m(x)不依賴于先求出q(x|),再選取與與q(x|)具有相同形形式的分布作作為先驗(yàn)分布布，就是共軛軛分布2.當(dāng)參數(shù)存在適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)統(tǒng)計(jì)量時(shí)，設(shè)設(shè)X的分布密度為為p(x|),T(X)是的充分統(tǒng)計(jì)量量,再由定理3.1，求得共共軛先驗(yàn)分布布族定理3.1設(shè)設(shè)f()為任一固定定的函數(shù),滿滿足若后驗(yàn)分布h(x)與()屬于同一個(gè)分分布族，則稱稱該分布族是是的共軛先驗(yàn)分布布(族)。二項(xiàng)分布b(n,)中的成功概率率的共軛先驗(yàn)分分布是貝塔分分布Be(a,b)；泊松分布P()中的均值的共軛先驗(yàn)分分布是伽瑪分布Γ(,)；指數(shù)分布中均均值的倒數(shù)的的共軛先驗(yàn)分分布是伽瑪分分布Γ(,)；在方差已知時(shí)時(shí)，正態(tài)均值值的共軛先驗(yàn)分分布是正態(tài)分分布N(,2);在均值已知時(shí)時(shí)，正態(tài)方差差2的共軛先驗(yàn)分分布是倒伽瑪瑪分布IΓ(,)。5）貝葉斯風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)定義：稱為決策函數(shù)數(shù)d(X)在給定先驗(yàn)驗(yàn)分布()下的貝葉斯風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)，簡稱d(X)的貝葉斯風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)相當(dāng)于隨機(jī)損損失函數(shù)求兩兩次期望，一一次對(duì)后驗(yàn)分布，一一次對(duì)X的邊緣分布6)貝葉斯斯點(diǎn)估計(jì)定義：設(shè)總體X的分布函數(shù)F(x,)中參數(shù)為隨機(jī)變量，，()為的先驗(yàn)分布，，若在決策函函數(shù)類D中存在一個(gè)決決策函數(shù)d*(X)，使得對(duì)決決策函數(shù)類D中的任一決策策函數(shù)d(X)，均有則稱為d*(X)參數(shù)的貝葉斯估計(jì)計(jì)量定理3.2設(shè)的先驗(yàn)分布為為()，損失函數(shù)為為L(,d)=(-d)2,則的貝葉斯估計(jì)計(jì)是其中h(|x)為參數(shù)的后驗(yàn)密度。定理3.3——3.7，給給出了各種損損失函數(shù)下的的貝葉斯估計(jì)計(jì)，不證定理3.3設(shè)的先驗(yàn)分布為為()，取損失函數(shù)數(shù)為加權(quán)平方方損失函數(shù)則的貝葉斯估計(jì)計(jì)為定理3.4設(shè)(1,2,…,p)T的先驗(yàn)分布為為()，損失函數(shù)為為則的貝葉斯估計(jì)計(jì)為定義：設(shè)d=d(x)為任一決策策函數(shù)，損失失函數(shù)為L(,d)，則L(,d)對(duì)后驗(yàn)分布h(|x)的數(shù)學(xué)期望稱稱為后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)，記作若存在一個(gè)決決策函數(shù)d*(x)使得則d*(x)稱為在后驗(yàn)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)準(zhǔn)則下下的最優(yōu)決策策函數(shù)定理3.5對(duì)給定的統(tǒng)計(jì)計(jì)決策問題（（包括先驗(yàn)分分布）和決策策函數(shù)類D當(dāng)滿足則貝葉斯決策策函數(shù)d*(x)與貝葉斯后后驗(yàn)型決策函函數(shù)d**(x)等價(jià)定理3.6設(shè)的先驗(yàn)分布布為()，損失函數(shù)為為絕對(duì)值損失失則的貝葉斯估計(jì)計(jì)d*(x)為后驗(yàn)分布h(|x)的中位數(shù)定理3.7設(shè)的先驗(yàn)分布為為()，在線性損失失函數(shù)下,則的貝葉斯估計(jì)計(jì)d*(x)為后驗(yàn)分布h(|x)的k1/(k0+k1)上側(cè)分位位數(shù)常用貝葉斯斯估計(jì)基于后驗(yàn)分分布h(x)的貝葉斯估估計(jì)，常用用如下三種種：用后驗(yàn)分布布的密度函函數(shù)最大值值作為的點(diǎn)估計(jì)，，稱為最大大后驗(yàn)估計(jì)計(jì)；用后驗(yàn)分布布的中位數(shù)數(shù)作為的點(diǎn)估計(jì)，，稱為后驗(yàn)驗(yàn)中位數(shù)估估計(jì)；用后驗(yàn)分布布的均值作作為的點(diǎn)估計(jì)，，稱為后驗(yàn)驗(yàn)期望估計(jì)計(jì)。用得最最多的是后后驗(yàn)期望估估計(jì)，簡稱稱為貝葉斯斯估計(jì)，記記為。。求貝葉斯估估計(jì)的一般般步驟1.根據(jù)據(jù)總體X的分布，求求得條件概概率q(x|)2.在已已知的先驗(yàn)分布布()下，求得x與的聯(lián)合分布布密度f(x,)=()q(x|)3.求得得X的邊緣分布布m(x)4.計(jì)算算h(|x)=()q(x|)/m(x)5.求數(shù)數(shù)學(xué)期望6.求得得貝葉斯風(fēng)風(fēng)險(xiǎn)（如果果需要的話話）例3.11設(shè)總體體X~B(1,p)，其中參參數(shù)p未知，且服服從[0,1]上的的均勻分布布，損失函函數(shù)取二次次損失函數(shù)數(shù)L(,d)=(-d)2，求參數(shù)p的貝葉斯估估計(jì)及貝葉葉斯風(fēng)險(xiǎn)若在試驗(yàn)前前對(duì)事件A沒有什么了了解，對(duì)其其發(fā)生的概概率也沒有任何何信息。貝貝葉斯本人人建議采用用“同等無無知”的原原則使用區(qū)區(qū)間（0,1））上的均勻分分布U(0,1)作為的先驗(yàn)分布布，因?yàn)槿∪。?,1））上的每一點(diǎn)點(diǎn)的機(jī)會(huì)均均等。貝葉葉斯的這個(gè)個(gè)建議被后后人稱為貝貝葉斯假設(shè)設(shè)。某些場合，，貝葉斯估估計(jì)要比極極大似然估估計(jì)更合理理一點(diǎn)。比比如:““抽檢檢3個(gè)全是是合格品””與“抽檢檢10個(gè)全全是合格品品”，后者者的質(zhì)量比比前者更信信得過。這這種差別在在不合格品品率的極大大似然估計(jì)計(jì)中反映不不出來（兩者都為0）），而用貝貝葉斯估計(jì)計(jì)兩者分分別別是是0.2和和0.83。。由此此可可以以看看到到，，在在這這些些極極端端情情況況下下，，貝貝葉葉斯斯估估計(jì)計(jì)比比極極大大似似然然估估計(jì)計(jì)更更符符合合人人們們的的理理念念。。例設(shè)設(shè)總總體體X~N(,1)，其其中中未知知，，假假定定~N(0,1)，對(duì)對(duì)于于給給定定的的損損失失函函數(shù)數(shù)L(,d)=(-d)2，求求的貝葉葉斯斯估估計(jì)計(jì)量量例3.15X1,X2,…,Xn來自自正正態(tài)態(tài)分分布布N(,02)的一一個(gè)個(gè)樣樣本本，，其其中中02已知知，，未知知，，假假設(shè)設(shè)的先先驗(yàn)驗(yàn)分分布布為為正正態(tài)態(tài)分分布布N(,2)，其其中中先先驗(yàn)驗(yàn)均均值值和先先驗(yàn)驗(yàn)方方差差2均已已知知，，試試求求的貝貝葉葉斯斯估估計(jì)計(jì)。。解：：樣本本x的聯(lián)聯(lián)合合分分布布和和的先先驗(yàn)驗(yàn)分分布布分分別別為為由此此可可以以寫寫出出x與的聯(lián)聯(lián)合合分分布布其中中，，若記記則有有注意意到到A,B,C均與與無關(guān)關(guān)，，樣樣本本的的邊邊際際密密度度函函數(shù)數(shù)應(yīng)用用貝貝葉葉斯斯公公式式即即可可得得到到后后驗(yàn)驗(yàn)分分布布這說說明明在在樣樣本本給給定定后后，，的后后驗(yàn)驗(yàn)分分布布為為N(B/A,1/A)，即即|x~N(B/A,1/A)后驗(yàn)驗(yàn)均均值值即即為為其其貝貝葉葉斯斯估估計(jì)計(jì)：：它是是樣樣本本均均值值與與先先驗(yàn)驗(yàn)均均值值的加加權(quán)權(quán)平平均均。。貝葉葉斯斯估估計(jì)計(jì)的的誤誤差差貝葉葉斯斯區(qū)區(qū)間間估估計(jì)計(jì)兩種種區(qū)區(qū)間間估估計(jì)計(jì)的的區(qū)區(qū)別別1））構(gòu)構(gòu)造造一一個(gè)個(gè)統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量，，并并求求得得其其概概率率分分布布2））利利用用參參數(shù)數(shù)的的后后驗(yàn)驗(yàn)分分布布區(qū)間間估估計(jì)計(jì)求求解解步步驟驟前面面同同貝貝葉葉斯斯點(diǎn)點(diǎn)估估計(jì)計(jì)；；求得得后后驗(yàn)驗(yàn)分分布布后后按按置置信信度度，，分分開開單單側(cè)側(cè)、、雙雙側(cè)側(cè)查查表表，，得得出出置置信信上上下下界界。。注意意：：貝貝葉葉斯斯區(qū)區(qū)間間估估計(jì)計(jì)的的置置信信區(qū)區(qū)間間較較短短；；貝葉葉斯斯點(diǎn)點(diǎn)估估計(jì)計(jì)不不再再要要求求無無偏偏性性。。例3.15x1,x2,…,xn來自自正正態(tài)態(tài)分分布布N(,02)的一一個(gè)個(gè)樣樣本本，，其其中中02已知知，，未知知，，假假設(shè)設(shè)的先先驗(yàn)驗(yàn)分分布布為為正正態(tài)態(tài)分分布布N(,2)，其其中中先先驗(yàn)驗(yàn)均均值值和先先驗(yàn)驗(yàn)方方差差2均已已知知，，試試求求的貝貝葉葉斯斯區(qū)區(qū)間間估估計(jì)計(jì)。。解：：由由貝貝葉葉斯斯點(diǎn)點(diǎn)估估計(jì)計(jì)知知例3.16對(duì)對(duì)某某一一兒兒童童做做智智力力測測驗(yàn)驗(yàn)x=115，，設(shè)設(shè)結(jié)結(jié)果果為為X~N(,100),為智智商商，，根據(jù)據(jù)經(jīng)經(jīng)驗(yàn)驗(yàn)~N(100,225)，求求該該兒兒童童智智商商的的0.95貝貝葉葉斯斯置置信信區(qū)區(qū)間間解：：由由上上題題結(jié)結(jié)論論知知，，的后后驗(yàn)驗(yàn)分分布布服服從從正正態(tài)態(tài)分分布布最大大最最小小估估計(jì)計(jì)（（極極大大極極小?。﹎inmax定義義：：設(shè)設(shè)D是決決策策函函數(shù)數(shù)的的集集合合，，若若有有d*(x)=d*(x1,x2,…xn),d*∈D，使得對(duì)任任意一個(gè)個(gè)決策函函數(shù)d(x1,x2,…xn)，總總有則稱d*為最大最最小決策策函數(shù)，，當(dāng)上界界能取到到時(shí)可記記為解題步驟驟（1）對(duì)對(duì)D中所有決決策函數(shù)數(shù)求最大大風(fēng)險(xiǎn)（2）在在所有最最大風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)值中選選取最小小值此最小值值所對(duì)應(yīng)應(yīng)的決策策函數(shù)就就是最大大最小決決策函數(shù)數(shù)。例設(shè)總體體X服從兩點(diǎn)點(diǎn)分布，，試求p的極大極極小估計(jì)計(jì)量，其其中L(p,d)d=0.25d=0.5P1=0.2514P2=0.532解：決策策空間為為A={0.25,0.5}，選選取容量量為1的的子樣，，x只能取0,1a只能取0.25，0.5，則則決策函函數(shù)d(x)有四個(gè)個(gè)：dxad1(x)d2(x)d3(x)d4(x)00.250.50.250.510.250.50.50.25風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)數(shù)R(p,d)R(p1,di)R(p2,di)maxR(pi,dj)d1133d2434d37/45/25/2d413/45/213/4min(maxR(pi,dj))=5/2則極大極極小估計(jì)計(jì)為R(p,d)計(jì)算舉舉例例：地質(zhì)質(zhì)學(xué)家把把地層狀狀態(tài)分為為0，1兩種，，并把當(dāng)當(dāng)?shù)責(zé)o石石油記為為0，有石油記記為1，分布規(guī)律律如下表表x010

（無油）0.60.41（有油）0.30.7決策空間間為A={a1,a2,a3}，其其中a1為鉆探探石油，，a2為出賣賣土地，，a3為開發(fā)發(fā)旅游。。損失函數(shù)數(shù)L(,a)取下表aa1a2a30（無油）12161（有油）0105決策函數(shù)數(shù)d(x)取下表表(取n=1)（（9個(gè)決決策函數(shù)數(shù)）x1d1d2d3d4d5d6d7d8d90a1a1a1a2a2a2a3a3a31a1a2a3a1a2a3a1a2a3風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)數(shù)R(i,dj)及最大值值表di(x1)d1d2d3d4d5d6d7d8d9R(