初等數(shù)學(xué)與解題研究

初等數(shù)學(xué)與解題研究第一講解題研究和初等數(shù)學(xué)概論為什么要解題學(xué)生的解題是為什么？教師的解題又是為什么？數(shù)學(xué)解題的目的美國(guó)數(shù)學(xué)家哈爾莫斯（P.P.Halmos）說(shuō)：“數(shù)學(xué)的真正組成部分應(yīng)該是問(wèn)題和解，解題才是數(shù)學(xué)的心臟?！泵兰傺览麛?shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家G·波利亞（GeorgePolya）稱(chēng)：“掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題?！薄皵?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中真正發(fā)生數(shù)學(xué)的地方都一無(wú)例外地充滿(mǎn)著數(shù)學(xué)解題活動(dòng)?！皵?shù)學(xué)教育應(yīng)該以解題為中心”“解題教學(xué)正是達(dá)到教學(xué)目的的最好手段”解題對(duì)原有知識(shí)和技能的應(yīng)用可保持并鞏固相應(yīng)知識(shí)的記憶提高相應(yīng)技能的熟練程度通過(guò)解題教學(xué)還可使學(xué)生提高和發(fā)展推理能力、化歸能力、形式化處理問(wèn)題的能力、分析和解決問(wèn)題的能力因此，數(shù)學(xué)教育中解題教學(xué)幾乎成了實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)目的的必不可少的手段。解題教學(xué)是模仿教學(xué)，還是思維教學(xué)解題教學(xué)是模仿教學(xué)？？？？模仿教學(xué)，簡(jiǎn)單地說(shuō)，就是解題教學(xué)以教師課堂解例題為示范，學(xué)生課后模仿練習(xí)為主，把教學(xué)建立在學(xué)生的模仿性、被動(dòng)性和依賴(lài)性上，實(shí)質(zhì)是一種接受學(xué)習(xí)。17世紀(jì)捷克教育家夸美紐斯美國(guó)心理學(xué)家?jiàn)W蘇貝爾對(duì)接受學(xué)習(xí)有系統(tǒng)論述。“模仿教學(xué)”以行為主義學(xué)習(xí)理論為基礎(chǔ)，認(rèn)為解題教學(xué)就是解題教學(xué)行為上“刺激—反應(yīng)”的變化。模仿教學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)等學(xué)科教學(xué)實(shí)踐有很大影響，許多教師認(rèn)為解題教學(xué)就是教師例題示范，學(xué)生練習(xí)模仿，課堂教學(xué)就是給學(xué)生講清解題思路與步驟，學(xué)生解題時(shí)模仿效法。持這種觀點(diǎn)的人們認(rèn)為，中小學(xué)生具有較大的可塑性，模仿能力強(qiáng)，在解題教學(xué)中，不需要向?qū)W生解釋過(guò)多的道理，只要認(rèn)真做好解題步驟、思路和解法等方面的示范，讓學(xué)生進(jìn)行模仿，就可以鞏固數(shù)學(xué)知識(shí)，掌握解題方法，實(shí)現(xiàn)解題教學(xué)的目的。解題教學(xué)是思維教學(xué)思維教學(xué)，是指解題教學(xué)不僅在于解題基本活動(dòng)形式本身，更重要的是解題認(rèn)知活動(dòng)思維的產(chǎn)生，實(shí)質(zhì)上是一種發(fā)現(xiàn)式學(xué)習(xí)。思維教學(xué)最早可以追溯到蘇格拉底的“產(chǎn)婆術(shù)”，18世紀(jì)法國(guó)啟蒙運(yùn)動(dòng)思想家、教育家盧梭曾倡導(dǎo)發(fā)現(xiàn)教學(xué)，現(xiàn)代美國(guó)教育心理學(xué)家布魯納則對(duì)發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)有過(guò)精辟的論述。思維教學(xué)是建立在以建構(gòu)主義為基礎(chǔ)的認(rèn)知心理學(xué)的基礎(chǔ)之上的，認(rèn)為解題教學(xué)就是解題思維認(rèn)知結(jié)構(gòu)的變化。第一，解題教學(xué)是解題活動(dòng)的教學(xué)，而活動(dòng)的本質(zhì)屬性是解題思維的活動(dòng)。因此，解題教學(xué)就其本質(zhì)來(lái)說(shuō)，是對(duì)解題思路的分析活動(dòng)，是對(duì)解題方法的感悟與思考，是對(duì)學(xué)生解題思維活動(dòng)的調(diào)動(dòng)與展開(kāi)，從而達(dá)到對(duì)學(xué)生理解及概括水平的培養(yǎng)。第二，解題教學(xué)是學(xué)生解題思維認(rèn)知結(jié)構(gòu)建構(gòu)的過(guò)程教學(xué)。奧加涅相在《中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)法》中曾指出：“思維和解題過(guò)程的密切聯(lián)系是公認(rèn)的。著名心理學(xué)家O.K.吉霍米諾夫也具體地闡述過(guò)這種聯(lián)系：‘在心理中，思維被看作是解題活動(dòng)?！m然思維并非總等同于解題過(guò)程，但是有理由斷言，思維形成最有效的辦法是通過(guò)解題來(lái)實(shí)現(xiàn)。解題教學(xué)不僅要向?qū)W生暴露“怎樣解題”的思維過(guò)程，還要向他們展示“為什么這樣解”以及“怎樣學(xué)會(huì)解”的解題認(rèn)知結(jié)構(gòu)建構(gòu)的思維方法，教師應(yīng)盡量讓學(xué)生的解題思維活動(dòng)顯性化，也就是多讓學(xué)生進(jìn)行交流思考，使學(xué)生清晰地認(rèn)識(shí)到自己解決問(wèn)題的依據(jù)、步驟、原因和所產(chǎn)生的思維障礙。換言之，解題教學(xué)的金科玉律是達(dá)到對(duì)學(xué)生思維訓(xùn)練的目的，因而，解題教學(xué)本質(zhì)上應(yīng)該是一種思維教學(xué)。數(shù)學(xué)解題的基礎(chǔ)一、知識(shí)結(jié)構(gòu)二、思維能力三、經(jīng)驗(yàn)題感四、情感態(tài)度初等數(shù)學(xué)研究1．有理數(shù)集是一個(gè)數(shù)域(記為Q)，且是最小數(shù)域．

2．有理數(shù)域是有序域．3．有理數(shù)域具有阿基米德性質(zhì)．“阿基米德性質(zhì)”——即設(shè)a，b為任意兩個(gè)自然數(shù)，則存在自然數(shù)n，使得nb＞a有理數(shù)域具有阿基米德性質(zhì)，即對(duì)于任意的正有理數(shù)a，b，必存在n∈N，使na＞b．有理數(shù)——有理數(shù)的概念定理1有理數(shù)集是一個(gè)有序集，即(1)對(duì)于任意兩個(gè)有理數(shù)a，b，有且僅有下列情況之一成立：a＞b，b＞a，a=b．(2)對(duì)于任意三個(gè)有理數(shù)a，b和c，若a＞b，b＞c，則a＞c．有理數(shù)集的性質(zhì)4．有理數(shù)域具有稠密性．有理數(shù)域具有稠密性，即任意兩個(gè)有理數(shù)a，b(設(shè)a＜b)之間總存在無(wú)限多個(gè)有理數(shù)．5．有理數(shù)集是可數(shù)集．一切能與正整數(shù)集建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的集合叫做可數(shù)集．把一切正有理數(shù)寫(xiě)成既約分?jǐn)?shù)m/n的形式，按以下的方法來(lái)排列所有的有理數(shù)：

(1)0排在最前邊；

(2)對(duì)于正分?jǐn)?shù)，按照它的分子與分母的和的大小排列，較小的和排在前邊，較大的和排在后邊．如果和相等，分子大的排在前邊；

(3)對(duì)于負(fù)分?jǐn)?shù)，把它緊排在與它的絕對(duì)值相等的正分?jǐn)?shù)的后邊；

(4)分?jǐn)?shù)值相等的分?jǐn)?shù)，只保留最前邊的一個(gè)．學(xué)習(xí)的范圍數(shù)學(xué)解題的理論基礎(chǔ)數(shù)學(xué)解題的策略和方法中考、高考、數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題的研究分析學(xué)會(huì)編制數(shù)學(xué)問(wèn)題和試題數(shù)學(xué)解題能力的培養(yǎng)學(xué)生任務(wù)分組研究分析中考、高考、競(jìng)賽試題編制相關(guān)的模擬試題中考研究分類(lèi)（2003-2013）二次函數(shù)問(wèn)題平面幾何證明動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題開(kāi)放性、創(chuàng)新性問(wèn)題代數(shù)幾何綜合題qq群:362550873高考研究分類(lèi)（2003-2013）高考選擇題分析高考填空題分析高考中的向量運(yùn)算、線(xiàn)性規(guī)劃等分析高考中的數(shù)列問(wèn)題分析高考中的概率統(tǒng)計(jì)問(wèn)題分析高考中的立體幾何問(wèn)題分析高考中的解析幾何問(wèn)題分析高考中的三角函數(shù)問(wèn)題分析高考中的函數(shù)和導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問(wèn)題分析高考中的創(chuàng)新問(wèn)題分析備選內(nèi)容華羅庚金杯試題分析（小學(xué)、初中）希望杯試題分析（初中