地球物理反演基礎(chǔ)-課件25章

第二章數(shù)學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)本章主要提供一些求解線性反演問題所需的必備數(shù)學(xué)知識(shí)。因此本章的內(nèi)容既不完備也不謹(jǐn)慎，只是希望能從數(shù)學(xué)上對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)的性質(zhì)有深刻的理解。主要內(nèi)容有：一、映射與模型空間

二、線性方程組求解

線性映射的基本方程是：一般說來任何實(shí)驗(yàn)都只能得到有限的數(shù)據(jù)。也就是說，觀測(cè)數(shù)據(jù)在位置xj處進(jìn)行采樣，因而數(shù)據(jù)公式成為：

j=1,2,…..n或

j=1,2,…..n(2.1)

為第j個(gè)數(shù)據(jù)，(y)為第j個(gè)核函數(shù),N為觀測(cè)數(shù)據(jù)總數(shù)m(y)為模型一個(gè)基本的問題是“只知道有限個(gè)，可得到模型m(y)的什么結(jié)論？”第一節(jié)

映射與模型空間

模型空間：模型空間是所有可能函數(shù)的集合。為了對(duì)這些函數(shù)進(jìn)行操作，因此要求模型空間是一個(gè)向量空間（vectorspace）。向量空間對(duì)反演問題的求解有很大的幫助。模型空間的每一個(gè)元素都是一個(gè)向量。盡管模型空間的特征與常規(guī)歐拉空間（Euclidean）一樣，但與常規(guī)歐拉空間的向量不盡相同。模型空間屬于Hilbert(希爾伯特)空間。自然模型空間的任何一個(gè)元素作為向量時(shí)都認(rèn)為是特定方向上的一個(gè)點(diǎn)。有了方向的概念，則進(jìn)一步可以有正交（Othogonality）的概念?？梢远x線性依賴關(guān)系并定義一組模型空間的正交，從而所有函數(shù)都可以寫成這些向量基的線性形式。同時(shí)也可以測(cè)量長(zhǎng)度。為了建立向量空間，首先要定義內(nèi)積和范數(shù)，前者確定兩個(gè)向量是否正交，后者確定向量的長(zhǎng)度。

第一節(jié)

映射與模型空間設(shè)f(x)和g(x)為定義在[0，a]上的兩個(gè)函數(shù)，f和g的內(nèi)積定義為：

(2.2)(f,g)是內(nèi)積形式的縮寫。若內(nèi)積為零，則稱兩個(gè)函數(shù)是互相垂直的。即：

N維歐拉空間兩個(gè)向量和的內(nèi)積為：當(dāng)=90時(shí)為垂直，此時(shí)內(nèi)積函數(shù)之間的正交是非常普遍的，例如定義[0，a]上函數(shù)f(x)的Fourier表示，有下式：

（2.3）

第一節(jié)

映射與模型空間第一節(jié)

映射與模型空間函數(shù)系數(shù)在[0，a]上是正交的，即：（2.4）式中的常數(shù)不等于單位值，若為單位值，則這些函數(shù)稱為（標(biāo)準(zhǔn)）單位正交（Orthonormal）。

模（norm）模型空間里長(zhǎng)度的概念是非常重要的，任何函數(shù)的長(zhǎng)度可用“?！眮砗饬??！澳！钡倪x擇有多種，這里主要使用兩種模，即：

l1模：

（2.5）

l2模

（2.6）

顯然對(duì)于不同的模，同一個(gè)函數(shù)f(x)有不同的長(zhǎng)度。例如定義在[0,1]上的函數(shù)f(x)=x，其l1模為1/2，l2模為。在簡(jiǎn)介里我們提到多個(gè)可能的模型產(chǎn)生同樣的數(shù)據(jù)，如何選擇特定的模型呢？首先必須引入模，然后尋找具有最小或最大模并仍符合觀測(cè)數(shù)據(jù)的模型。反演問題求解的一個(gè)重要方面是對(duì)特定的問題選擇適當(dāng)?shù)哪?。什么是適當(dāng)?shù)哪ＨQ于我們尋找的解的性質(zhì)。不同的模獲得的模型具有不同的特征，主要體現(xiàn)在所建立模型是否為物理參數(shù)數(shù)值最小、振蕩、平滑或分段連續(xù)。例如層狀介質(zhì)的波阻抗就是分段連續(xù)的。關(guān)于這個(gè)問題的回答由研究人員根據(jù)具體的地球物理反演問題來確定。對(duì)于大多數(shù)地球物理反演問題，取決于用觀測(cè)數(shù)據(jù)所要解決的地質(zhì)問題。第一節(jié)

映射與模型空間第一節(jié)

映射與模型空間與歐拉向量空間相似，n維向量空間的l1與

l2模為：（2.7）（2.8）例如向量f=(1,1,0)和g=（0，1.1414，0）的模為：可以看到盡管兩個(gè)向量的l2模是一樣的（或說能量相同），但只有一個(gè)脈沖的向量的l1模最小。這在反演地震記錄獲得對(duì)應(yīng)于層狀介質(zhì)模型的反射率（系數(shù)）函數(shù)時(shí)十分有用，目前地震反演中的稀疏脈沖反演就是根據(jù)l1模來編制算法的。

基（Basis）:定義內(nèi)積和模以后，可在模型空間產(chǎn)生一組基。若基是完備的，則空間的任何函數(shù)都可用這組基的線性組合來表示。也就是說若表示第i個(gè)基函數(shù)，則任意函數(shù)f(x)可表示為：

（2.9）特例：定義在[0,a]上的任何函數(shù)都可用公式（2.3）表示。這里的基函數(shù)是簡(jiǎn)單的正弦函數(shù)?；瘮?shù)的選擇不是唯一的，有無窮多個(gè)選擇。但是最方便的基是單位正交基，即（，=1。我們來計(jì)算（2.9）所示函數(shù)與的內(nèi)積，有：第一節(jié)

映射與模型空間第一節(jié)

映射與模型空間

所以有：這就是說是f(x)在基向量上的投影，或等價(jià)地說，f(x)在方向的長(zhǎng)度，這是幾何學(xué)上內(nèi)積的定義。模型函數(shù)m(x)和的內(nèi)積，產(chǎn)生

m(x)在方向的投影。如我們的公式：

j=1….n(2.10)可知每個(gè)觀測(cè)數(shù)據(jù)都是模型m在核函數(shù)上的投影。值得注意的是模型空間的維數(shù)是無限的。這個(gè)事實(shí)可由函數(shù)的Fourier表示法（公式2.3）得知。也就是說為了唯一確定f(x)，需要無窮多個(gè)Cj，假設(shè)公式（2.10）中核函數(shù)(x)為Fourier基函數(shù)，則觀測(cè)數(shù)據(jù)就是Fourier系數(shù)。N個(gè)數(shù)據(jù)表示已知N個(gè)Fourier展開項(xiàng)的系數(shù)。這是試驗(yàn)所提供的所有模型信息，顯然不足以確定模型函數(shù)。在此舉一個(gè)歐拉空間的例子，考慮三維空間的向量模型：，定義常規(guī)的基：實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)：

就像用一束光從方向照射，然后分別從，方向測(cè)量影子的長(zhǎng)度，問題是：我們對(duì)=(m1,m2,m3)知道多少？

第一節(jié)

映射與模型空間第一節(jié)

映射與模型空間假如m1和m2是精確已知，但是不知道m(xù)3。所以，任何

=(2,3,x),，滿足觀測(cè)數(shù)據(jù)即實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)提供了三維空間模型在二維子空間的信息，如下圖所示：

D∥是核函數(shù)，（,,0）是拓展形成的。是形成的空間。若將模型分為兩部分：

(2.11)

式中∈D∥,

∈

則被觀測(cè)數(shù)據(jù)完全確定，而則無任何信息。實(shí)際上對(duì)該問題來說為零化子。第一節(jié)

映射與模型空間上面的問題對(duì)函數(shù)空間也同樣成立，(x)拓展成模型子空間如下圖：第二節(jié)線性方程組求解（本節(jié)內(nèi)容可參考各類計(jì)算數(shù)學(xué)教材，這里不講。）第三章線性問題最小平方反演

－廣義矩陣法

線性問題可采用如下矩陣形式表示：求:其中為觀測(cè)數(shù)據(jù)，為所求的模型（本書中若不加特別說明不帶轉(zhuǎn)置符號(hào)的向量為列向量）。對(duì)于精確數(shù)據(jù)，有由于實(shí)驗(yàn)誤差，Gauss（1809）指出，實(shí)際數(shù)據(jù)不能精確擬合，必然存在差值，即：

所以求唯一解的最好方法是使平方和最小，從而有：對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)，并令之為零，得：合并，寫成矩陣形式為：

――正則方程

稱為非約束最小平方解，統(tǒng)計(jì)學(xué)上稱為的無偏估算。

注：嚴(yán)格來講，G不是方陣，通常意義下的逆并不存在，實(shí)際上是G的廣義逆（最小平方）。的計(jì)算關(guān)鍵在于的求取，可看成是一方陣，求逆的方法較多，這里主要介紹一下奇異值分解法(SVD)。(其他方法有Gramer法則，Gauss消去法，Gauss-Jordan法，LU(三角形)分解法等，請(qǐng)參考相關(guān)數(shù)學(xué)教材。)。設(shè)G為n*n或n*p的矩陣，(n為行數(shù)，p為列數(shù))，其中行數(shù)表示觀測(cè)數(shù)據(jù)數(shù)目，列數(shù)表示模型參數(shù)數(shù)目。根據(jù)奇異值分解方法有：U和V為酉矩陣，滿足：

為n*p的特征向量，對(duì)應(yīng)著數(shù)據(jù)空間

為p*p的特征向量，對(duì)應(yīng)著模型參數(shù)空間是一的對(duì)角陣，包含最多r個(gè)G的非零特征值

()

中對(duì)角線項(xiàng)

()稱為G的奇異值，這個(gè)分解稱為G的奇異值（或譜）分解，簡(jiǎn)寫成SVD。奇異值分解主要用來分析數(shù)學(xué)上的穩(wěn)健――數(shù)值計(jì)算的穩(wěn)定性。在地球物理反演中還能提供模型狀態(tài)及觀測(cè)數(shù)據(jù)特征信息，可進(jìn)行模型解析和協(xié)方差研究。

若一個(gè)矩陣的特征值很小，則稱該矩陣為病態(tài)的。對(duì)于線性問題d=Gm，最小平方解為

用G的SVD表示上述反演方程：

因?yàn)樗哉f明：上式消去了中關(guān)于觀測(cè)數(shù)據(jù)空間的信息，只剩下與模型參數(shù)有關(guān)的信息。因而反演問題實(shí)際上是求取觀測(cè)數(shù)據(jù)中有關(guān)模型參數(shù)的確定信息。

所以（因?yàn)椋亩簿褪钦f（廣義逆）

得或第四章約束線性最小平方反演主要內(nèi)容一、帶先驗(yàn)信息的反演二、帶有平滑度措施的反演三、帶有平滑度措施反演的幾何解釋一、帶先驗(yàn)信息的反演：

Dm=約束方程

D為除對(duì)角線元素外都是零的對(duì)角陣，與m作用得到包含在向量h中的m的先驗(yàn)值，而希望向偏量(與無偏估算相對(duì)應(yīng))

求解過程：

lim=對(duì)m求偏導(dǎo)數(shù)，并令其為零，則有：

標(biāo)準(zhǔn)方程若D為單位陣，則：

約束解為：

上式為約束線性反演公式，該解稱為：偏置線性估算技術(shù)。它的主要有點(diǎn)是對(duì)于存在觀測(cè)誤差的超定或欠定問題，均能從無限多個(gè)（似是而非）解中獲得單一解。單但其合理性則取決于約束條件（當(dāng)然合理并不意味著與實(shí)際模型一致）。例：地震數(shù)據(jù)折射數(shù)據(jù)的直線約束擬合：已知表示地震折射波至，試用直線（折射波時(shí)距曲線）來擬合旅行時(shí)與炮檢距的關(guān)系，并假定擬合必須經(jīng)過點(diǎn)（注意“擬合必須經(jīng)過點(diǎn)”是一個(gè)已知條件而非約束條件。反演結(jié)果不一定滿足約束條件，但必定滿足已知條件）。

解：所以：Dm-h=0其中：

所以-Lagrange算子

二、帶有平滑度措施的反演

對(duì)于有限不精確觀測(cè)數(shù)據(jù)集，最有效的反演解法是強(qiáng)制要求解是平滑的。對(duì)于多解性問題，尤其是具有很小奇異值（解不穩(wěn)定）的反演問題，處理的基本思想是：有懷疑就平滑非唯一性問題的補(bǔ)救方法

1、公式化：A：期望模型參數(shù)隨位置緩慢變化，獲得物理參數(shù)上平滑的模型（顯然各模型參數(shù)應(yīng)屬于同一類物理屬性），則選擇相鄰兩個(gè)參數(shù)模型之間差最小；

D為(l=p-1)階，h為維。B：模型參數(shù)不隨位置緩慢變化：

這實(shí)際上是無已知條件的偏置估算形式，但可有效的衰減解的長(zhǎng)度，從而得到穩(wěn)定的反演過程。這樣原反演問題變成了約束反演問題，相當(dāng)于增加了下式的平方度量約束：

（解的平方度）

平方度量的加入，使得多解性反演問題變成在不完整、不一致、不充足的觀測(cè)數(shù)據(jù)條件下，在所有解中，根據(jù)找出最平滑的解。

從數(shù)學(xué)上講，等效于在或更廣義的下求的極小值，式中H=為最大允許剩余錯(cuò)配值。小結(jié)為：2、求解對(duì)求導(dǎo)有：

標(biāo)準(zhǔn)方程

A，最平滑解：(D為一階差分算子)

B，D=I時(shí)有：

實(shí)際上就是所共知的阻尼最小平方解，這與下面的C在數(shù)學(xué)上是一致的。C，在矩陣的本征值上附加了一個(gè)正的常數(shù)，用于改善反演條件(Marquaudt(1970)解法)?；仡櫡羌s束最小平方解：即對(duì)角矩陣用置換，這樣的結(jié)果與B的情況稍有不同。

而阻尼最小平方法，可解的在本征值上加一個(gè)小偏差

已知G=，對(duì)應(yīng)的最小平方解為：

又

從而

從而產(chǎn)生約束解為：

注意上面的推導(dǎo)并沒有在向量d中添加任何零值，因此，c與a，b稍有差別，在應(yīng)用上，前面的算法，a，b更有適應(yīng)性，因?yàn)閏要求出。但在結(jié)果分析中c更清晰。

3.帶有平滑度措施反演的幾何解釋：

用下圖表示和，圖中等值線為常數(shù)和的l維超平面，和的約束條件的解就在和兩條線的相切點(diǎn)C。值的選取非常重要，當(dāng)然也很重要。由于是不定的，一般計(jì)算出多個(gè)的方法選擇一個(gè)解。

的結(jié)果，再用統(tǒng)計(jì)ABCC’q1=q0q1=qTq1=aq2=rq2=r’圖在函數(shù)空間中求解軌跡的二維示意圖本章回顧：－觀測(cè)數(shù)據(jù)－n×p的矩陣，由核函數(shù)離散而來（稱為設(shè)計(jì)矩陣或數(shù)據(jù)核）－模型參量精確解：

非約束最小平方解：（或稱無偏估算）增加約束方程有：

式中若，則為約束線性最小平方解法，使向偏置;若為一階差分算子，即h=[00….0]的轉(zhuǎn)置矩陣則為最平滑解，若D=I，h=[0]，則(最小平方解)

即為阻尼最小平方解對(duì)于Marquaudt解，在本征值上加一個(gè)小偏差G=

從而

從而：產(chǎn)生約束解為：

最小二乘法

第五章

線性反演誤差分析實(shí)驗(yàn)誤差是如何轉(zhuǎn)換成模型誤差的？根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果來分析，反演理論不僅提供了參數(shù)估計(jì)，還討論反演用的“優(yōu)度”。

主要內(nèi)容一、觀測(cè)誤差的處理二、擬合優(yōu)度三、參數(shù)解析矩陣

四、參數(shù)估算的誤差邊界

一、觀測(cè)誤差的處理假定n個(gè)標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)誤差，是零均值的高斯分布，并且是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，則定義一個(gè)的對(duì)角加權(quán)矩陣W則約束反演問題成為：

一、觀測(cè)誤差的處理當(dāng)D＝I時(shí)，

（式中僅為一個(gè)值）當(dāng)然對(duì)于

，最好采用待定因子的對(duì)角矩陣。式中，用，則與Bayesian估算形式相當(dāng)。注：B和為對(duì)角陣，轉(zhuǎn)置與本身相等，左乘與右乘相等。

二、擬合優(yōu)度1、若觀測(cè)數(shù)據(jù)相對(duì)于它的期望值呈正態(tài)分布，并已知其有不確定性（實(shí)驗(yàn)誤差），則由下式定義的統(tǒng)計(jì)參數(shù)q評(píng)估觀測(cè)數(shù)據(jù)與期望數(shù)據(jù)之間的擬合度：

j＝1,p

或加權(quán)簡(jiǎn)化為：對(duì)于n個(gè)獨(dú)立的觀測(cè)值和p個(gè)獨(dú)立的參數(shù)，q具有呈分布且具有（n－p）度自由度。二、擬合優(yōu)度q的期望值是n（統(tǒng)計(jì)特性），根據(jù)q值來確定一個(gè)模型是可接受或排除：若q滿足2、若實(shí)驗(yàn)誤差不可知，無偏差估計(jì)的由下式給出：則解的優(yōu)度的另一種預(yù)測(cè)方法為：二、擬合優(yōu)度對(duì)于加權(quán)解有：

此時(shí)的期望值為“1.0”。3、具有個(gè)獨(dú)立約束方程解的自由度為：，并用來代替前面的

三、參數(shù)解析矩陣1、非約束解（最小平方）：用

表示：把括號(hào)里的量用表示，在估算中用作廣義逆，右乘設(shè)計(jì)矩陣（或數(shù)據(jù)核）得解析矩陣：即解唯一確定（精確）。：三、參數(shù)解析矩陣

的維數(shù)為（r為問題的非零本征值數(shù)目）。若，則所有模型參數(shù)都被唯一確定。中的行與單位矩陣行的偏差一般認(rèn)為是有關(guān)模型參數(shù)解的優(yōu)劣尺度。2、阻尼解：

所以解不可能是完美的解。

三、參數(shù)解析矩陣3、帶先驗(yàn)的數(shù)據(jù)反演

或用分塊矩陣（增廣矩陣）：則。(為增廣矩陣的分量)。

因此這個(gè)解也是完美的，雖然在形式上與相類似。但增加的數(shù)據(jù)約束可能是某種程度的虛假信息。四、參數(shù)估算的誤差邊界

<1>參數(shù)協(xié)方差矩陣

利用協(xié)方差矩陣將數(shù)據(jù)誤差轉(zhuǎn)換成參數(shù)（模型）誤差（Menke，1984）設(shè)最小平方解為－反演中使用的廣義逆（算子）。即是的模中線性變換。則的數(shù)學(xué)期望為：

假設(shè)試驗(yàn)數(shù)據(jù)互不相關(guān)，且具有等方差，則根據(jù)誤差傳遞規(guī)律，有：因?yàn)椋陨鲜匠闪?。?duì)marquardt型阻尼最小平方解：協(xié)方差矩陣為：

四、參數(shù)估算的誤差邊界四、參數(shù)估算的誤差邊界對(duì)于約束解（