高中平面幾何定理歸納匯總與證明

...wd......wd......wd...高中平面幾何定理匯總及證明共邊比例定理有公共邊AB的兩個三角形的頂點分別是P、Q，AB與PQ的連線交于點M，那么有以下比例式成立：△PAB的面積：△QAB的面積＝PM：QM.證明：分如下四種情況，分別作三角形高，由相似三角形可證S△PAB=(S△PAM-S△PMB)=(S△PAM/S△PMB-1)×S△PMB=(AM/BM-1)×S△PMB(等高底共線，面積比=底長比〕同理，S△QAB=(AM/BM-1)×S△QMB所以，S△PAB/S△QAB=S△PMB/S△QMB=PM/QM(等高底共線，面積比=底長比〕定理得證！特殊情況：當PB∥AQ時，易知△PAB與△QAB的高相等，從而S△PAB=S△QAB，反之，S△PAB=S△QAB，那么PB∥AQ。正弦定理在任意一個平面三角形中，各邊和它所對角的正弦值的比相等且等于外接圓半徑的2倍〞，即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2r=R〔r為外接圓半徑，R為直徑〕證明：現(xiàn)將△ABC，做其外接圓，設圓心為O。我們考慮∠C及其對邊AB。設AB長度為c。假設∠C為直角，那么AB就是⊙O的直徑，即c=2r?！?/p>

〔特殊角正弦函數(shù)值〕∴

假設∠C為銳角或鈍角，過B作直徑BC`交⊙O于C`，連接C'A，顯然BC'=2r=R。假設∠C為銳角，那么C'與C落于AB的同側(cè)，此時∠C'=∠C〔同弧所對的圓周角相等〕∴在Rt△ABC'中有假設∠C為鈍角，那么C'與C落于AB的異側(cè)，BC的對邊為a，此時∠C'=∠A，亦可推出

。考慮同一個三角形內(nèi)的三個角及三條邊，同理，分別列式可得

。

分角定理在△ABC中，D是邊BC上異于B,C或其延長線上的一點，連結(jié)AD，那么有BD/CD=(sin∠BAD/sin∠CAD)*(AB/AC)。證明：S△ABD/S△ACD=BD/CD…………

(1.1)S△ABD/S△ACD=[(1/2)×AB×AD×sin∠BAD]/[(1/2)×AC×AD×sin∠CAD]=(sin∠BAD/sin∠CAD)×(AB/AC)

…………(1.2)由1.1式和1.2式得BD/CD=(sin∠BAD/sin∠CAD)×(AB/AC)張角定理在△ABC中，D是BC上的一點，連結(jié)AD。那么sin∠證明：設∠1=∠BAD，∠2=∠CAD由分角定理，S△ABD/S△ABC=BD/BC=(AD/AC)*(sin∠1/sin∠BAC)→(BD/BC)*(sin∠BAC/AD)=sin∠1/AC(1.1)S△ACD/S△ABC=CD/BC=(AD/AB)*(sin∠2/sin∠BAC)→(CD/BC)*(sin∠BAC/AD)=sin∠2/AB(1.2)(1.1)式+(1.2)式即得sin∠1/AC+sin∠2/AB=sin∠BAC/AD帕普斯定理直線l1上依次有點A,B,C，直線l2上依次有點D,E,F，設AE,BD交于G，AF,DC交于I，BF,EC交于H，那么G,I,H共線。蝴蝶定理設S為圓內(nèi)弦AB的中點，過S作弦CF和DE。設CF和DE各相交AB于點M和N，那么S是MN的中點。證明：過O作OL⊥ED，OT⊥CF，垂足為L、T，連接ON，OM，OS，SL，ST，易明△ESD∽△CSF∴ES/CS=ED/FC根據(jù)垂徑定理得：LD=ED/2，F(xiàn)T=FC/2∴ES/CS=EL/CT又∵∠E=∠C∴△ESL∽△CST∴∠SLN=∠STM∵S是AB的中點所以OS⊥AB∴∠OSN=∠OLN=90°∴O，S，N，L四點共圓，〔一中同長〕同理，O，T，M，S四點共圓∴∠STM=∠SOM，∠SLN=∠SON∴∠SON=∠SOM∵OS⊥AB∴MS=NS西姆松定理過三角形外接圓上異于三角形頂點的任意一點作三邊或其延長線上的垂線，那么三垂足共線?！泊司€常稱為西姆松線〕。證明：假設L、M、N三點共線，連結(jié)BP，CP，那么因PL⊥BC，PM⊥AC，PN⊥AB，有B、L、P、N和P、M、C、L分別四點共圓，有∠NBP=∠NLP=∠MLP=∠MCP.故A、B、P、C四點共圓。假設A、P、B、C四點共圓，那么∠NBP=∠MCP。因PL⊥BC，PM⊥AC，PN⊥AB，有B、L、P、N和P、M、C、L四點共圓，有∠NBP=∠NLP=∠MCP=∠MLP.故L、M、N三點共線。西姆松逆定理：假設一點在三角形三邊所在直線上的射影共線，那么該點在此三角形的外接圓上。證明：PM⊥AC，PN⊥AB,所以A,M,N,P共圓清宮定理設P、Q為△ABC的外接圓上異于A、B、C的兩點，P關(guān)于三邊BC、CA、AB的對稱點分別是U、V、W，且QU、QV、QW分別交三邊BC、CA、AB或其延長線于D、E、F，那么D、E、F在同一直線上.證明：A、B、P、C四點共圓，因此∠PCE=∠ABP點P和V關(guān)于CA對稱所以∠PCV=2∠PCE又因為P和W關(guān)于AB對稱，所以∠PBW=2∠ABP從這三個式子，有∠PCV=∠PBW另一方面，因為∠PCQ和∠PBQ都是弦PQ所對的圓周角，所以∠PCQ=∠PBQ兩式相加，有∠PCV+∠PCQ=∠PBW+∠PBQ即∠QCV=∠QBW即△QCV和△QBW有一個頂角相等，因此但是，，所以同理，于是根據(jù)梅涅勞斯定理的逆定理，D、E、F三點在同一直線上。密克定理三圓定理：設三個圓C1,C2,C3交于一點O，而M,N,P分別是C1和C2,C2和C3,C3和C1的另一交點。設A為C1的點，直線MA交C2于B，直線PA交C3于C。那么B,N,C這三點共線。逆定理：如果是三角形，M,N,P三點分別在邊AB,BC,CA上，那么△AMP、△BMN、△CPN的外接圓交于一點O。完全四線形定理如果ABCDEF是完全四線形，那么三角形的外接圓交于一點O，稱為密克點。四圓定理設C1,C2,C3,C4為四個圓，A1和B1是C1和C2的交點，A2和B2是C2和C3的交點，A3和B3是C3和C4的交點，A4和B4是C1和C4的交點。那么A1,A2,A3,A4四點共圓當且僅當B1,B2,B3,B4四點共圓。證明：在△ABC的BC,AC,AB邊上分別取點W,M,N，對AMN,△BWN和△CWM分別作其外接圓，那么這三個外接圓共點。該定理的證明很簡單，利用“圓內(nèi)接四邊形對角和為180度〞及其逆定理。現(xiàn)在U是和的公共點。連接UM和UN，∵四邊形BNUW和四邊形CMUW分別是和的內(nèi)接四邊形，∴∠UWB+∠UNB=∠UNB+∠UNA=180度∴∠UWB=∠UNA。同理∠UWB+∠UWC=∠UWC+∠UMC=180度∴∠UWB=∠UMC?！摺蟄MC+∠UMA=180度∴∠UNA+∠UMA=180度，這正說明四邊形ANUM是一個圓內(nèi)接四邊形，而該圓必是，U必在上。婆羅摩笈多定理圓內(nèi)接四邊形ABCD的對角線AC⊥BD，垂足為M。EF⊥BC，且M在EF上。那么F是AD的中點。證明：∵AC⊥BD，ME⊥BC∴∠CBD=∠CME∵∠CBD=∠CAD，∠CME=∠AMF∴∠CAD=∠AMF∴AF=MF∵∠AMD=90°，同時∠MAD+∠MDA=90°∴∠FMD=∠FDM∴MF=DF，即F是AD中點逆定理：假設圓內(nèi)接四邊形的對角線相互垂直，那么一邊中點與對角線交點的連線垂直于對邊。證明：∵MA⊥MD，F(xiàn)是AD中點∴AF=MF∴∠CAD=∠AMF∵∠CAD=∠CBD，∠AMF=∠CME∴∠CBD=∠CME∵∠CME+∠BME=∠BMC=90°∴∠CBD+∠BME=90°∴EF⊥BC托勒密定理圓內(nèi)接四邊形中，兩條對角線的乘積(兩對角線所包矩形的面積)等于兩組對邊乘積之和(一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和)．圓內(nèi)接四邊形ABCD，求證：AC·BD=AB·CD+AD·BC．證明：過C作CP交BD于P，使∠1=∠2，又∠3=∠4，∴△ACD∽△BCP．得AC：BC=AD：BP，AC·BP=AD·BC①。又∠ACB=∠DCP，∠5=∠6，∴△ACB∽△DCP．得AC：CD=AB：DP，AC·DP=AB·CD②。+②得AC(BP+DP)=AB·CD+AD·BC．即AC·BD=AB·CD+AD·BC．梅涅勞斯定理當直線交三邊所在直線于點時，。證明：過點C作CP∥DF交AB于P，那么兩式相乘得梅涅勞斯逆定理：假設有三點F、D、E分別在邊三角形的三邊AB、BC、CA或其延長線上，且滿足AF/FB×BD/DC×CE/EA=1，那么F、D、E三點共線。證明：先假設E、F、D三點不共線，直線DE與AB交于P。由梅涅勞斯定理的定理證明〔如利用平行線分線段成比例的證明方法〕得：(AP/PB)(BD/DC)(CE/EA)=1?！?AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1?！郃P/PB=AF/FB；∴(AP+PB)/PB=(AF+FB)/FB；∴AB/PB=AB/FB；∴PB=FB；即P與F重合?！郉、E、F三點共線。塞瓦定理在△ABC內(nèi)任取一點O，延長AO、BO、CO分別交對邊于D、E、F，那么(BD/DC)×(CE/EA)×(AF/FB)=1?！摺鰽DC被直線BOE所截，∴(CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1①∵△ABD被直線COF所截，∴(BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1②/①約分得：(DB/CD)×(CE/EA)×(AF/FB)=1圓冪定理相交弦定理：如圖Ⅰ，AB、CD為圓O的兩條任意弦。相交于點P，連接AD、BC，由于∠B與∠D同為弧AC所對的圓周角，因此由圓周角定理知：∠B=∠D，同理∠A=∠C，所以。所以有：，即：。割線定理：如圖Ⅱ，連接AD、BC。可知∠B=∠D，又因為∠P為公共角，所以有，同上證得。切割線定理：如圖Ⅲ，連接AC、AD?！螾AC為切線PA與弦AC組成的弦切角，因此有∠PBC=∠D，又因為∠P為公共角，所以有，易證圖Ⅳ，PA、PC均為切線，那么∠PAO=∠PCO=90°，在直角三角形中：OC=OA=R，PO為公共邊，因此。所以PA=PC，所以。綜上可知，是普遍成立的。弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧所對的圓心角度數(shù)的一半，等于它所夾的弧所對的圓周角度數(shù)。點對圓的冪P點對圓O的冪定義為點P在圓O內(nèi)→P對圓O的冪為負數(shù)；點P在圓O外→P對圓O的冪為正數(shù)；點P在圓O上→P對圓O的冪為0。三角形五心：內(nèi)心：三角形三條內(nèi)角平分線的交點外心：三角形三條邊的垂直平分線〔中垂線〕的相交點重心：三角形三邊中線的交點垂心：三角形的三條高線的交點旁心：三角形的旁切圓〔與三角形的一邊和其他兩邊的延長線相切的圓〕的圓心九點圓心：三角形三邊的中點,三高的垂足和三個歐拉點〔連結(jié)三角形各頂點與垂心所得三線段的中點〕九點共圓的圓心根心定理三個兩兩不同心的圓，形成三條根軸，那么必有以下三種情況之一：〔1〕三根軸兩兩平行；〔2〕三根軸完全重合；〔3〕三根軸兩兩相交，此時三根軸必匯于一點，該點稱為三圓的根心。平面上任意三個圓，假設這三個圓圓心不共線，那么三條根軸相交于一點，這個點叫它們的根心；假設三圓圓心共線，那么三條根軸互相平行。根軸定義：A與B的根軸L1：到A與B的切線相等的點。B與C的根軸L2：到B與C的切線相等的點。證明設A、B、C三個圓，圓心不重合也不共線?？疾霯1與L2的交點P。因為P在L1上，所以：P到A的切線距離=P到B的切線距離。因為P在L2上，所以：P到B的切線距離=P到C的切線距離。所以：P到A的切線距離=P到B的切線距離=P到C的切線距離。也就是：P到A的切線距離=P到C的切線距離。所以：P在A與C的根軸上。所以：三個根軸交于一點。雞爪定理設△ABC的內(nèi)心為I，∠A內(nèi)的旁心為J，AI的延長線交三角形外接圓于K，那么KI=KJ=KB=KC。證明：由內(nèi)心和旁心的定義可知∠IBC=∠ABC/2，∠JBC=(180°-∠ABC)/2∴∠IBC+∠JBC=∠ABC/2+90°-∠ABC/2=90°=∠IBJ同理，∠ICJ=90°∵∠IBJ+∠ICJ=180°∴IBJC四點共圓，且IJ為圓的直徑∵AK平分∠BAC∴KB=KC〔相等的圓周角所對的弦相等〕又∵∠IBK=∠IBC+∠KBC=∠ABC/2+∠KAC=∠ABI+∠BAK=∠KIB∴KB=KI由直角三角形斜邊中線定理逆定理可知K是IJ的中點∴KB=KI=KJ=KC逆定理：設△ABC中∠BAC的平分線交△ABC的外接圓于K。在AK及延長線上截取KI=KB=KJ，其中I在△ABC的內(nèi)部，J在△ABC的外部。那么I是△ABC的內(nèi)心，J是△ABC的旁心。證明：利用同一法可輕松證明該定理的逆定理。取△ABC的內(nèi)心I'和旁心J’，根據(jù)定理有KB=KC=KI'=KJ'又∵KB=KI=KJ∴I和I'重合，J和J’重合即I和J分別是內(nèi)心和旁心費爾巴哈定理三角形的九點圓與其內(nèi)切圓以及三個旁切圓相切設△ABC的內(nèi)心為I，九點圓的圓心為V。三邊中點分別為L，M，N，內(nèi)切圓與三邊的切點分別是P，Q，R，三邊上的垂足分別為D，E，F(xiàn)。不妨設AB>AC。假設⊙I與⊙V相切于點T，那么LT與⊙I相交，設另一個交點為S。過點S作⊙I的切線，分別交AB和BC于V，U，連接AU。又作兩圓的公切線TX，使其與邊AB位于LT的同側(cè)。由假設知∠XTL=∠LDT而TX和SV都是⊙I的切線，且與弦ST所夾的圓弧一樣，于是∠XTL=∠VST因此∠LDT=∠VST那么∠UDT+∠UST=180°這就是說，S，T，D，U共圓。而這等價于：LU×LD=LS×LT又LP2=LS×LT故有LP2=LU×LD另一方面，T是公共的切點，自然在⊙V上，因此L，D，T，N共圓，進而有∠LTD=∠LND由已導出的S，T，D，U共圓，得∠LTD=∠STD=180°-∠SUD=∠VUB=∠AVU-∠B而∠LND=∠NLB-∠NDB=∠ACB-∠NBD=∠C-∠B〔這里用了LN∥AC，以及直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半〕所以，就得到∠AVU=∠C注意到AV，AC，CU，UV均與⊙I相切，于是有∠AIR=∠AIQ∠UIS=∠UIP∠RIS=∠QIS三式相加，即知∠AIU=180°也即是說，A，I，U三點共線。另外，AV=AC，這可由△AIV≌△AIC得到?！策@說明，公切點T可如下得到：連接AI，并延長交BC于點U，過點U作⊙I的切線，切點為S，交AB于V，最后連接LS，其延長線與⊙I的交點即是所謂的公切點T。〕連接CV，與AU交于點K，那么K是VC的中點。前面已得到：LP2=LU×LD而2LP=(BL+LP)-(CL-LP)=BP-CP=BR-CQ=(BR+AR)-(CQ+AQ)=AB-AC=AB-AV=BV即LP=BV然而LK是△CBV的中位線于是LK=BV因之LP=LK故LK2=LU×LD由于以上推導均可逆轉(zhuǎn)，因此我們只需證明：LK2=LU×LD。往證之這等價于：LK與圓KUD相切于是只需證：∠LKU=∠KDU再注意到LK∥AB〔LK是△CBV的中位線〕，即有∠LKU=∠BAU又AU是角平分線，于是∠LKU=∠CAU=∠CAK于是又只需證：∠CAK=∠KDU即證：∠CAK+∠CDK=180°這即是證：A，C，D，K四點共圓由于AK⊥KC〔易得〕，AD⊥DC所以A，C，D，K確實共圓。這就證明了⊙I與⊙V內(nèi)切。旁切圓的情形是類似的。證畢另略證：OI2=R2-2RrIH2=2r2-2Rr'OH2=R2-4Rr'(其中r‘是垂心H的垂足三角形的內(nèi)切圓半徑，R、r是三角形ABC外接圓和內(nèi)切圓半徑)FI2=1/2(OI2+IH2)-1/4OH2=(1/2R-r)2FI=1/2R-r這就證明了九點圓與內(nèi)切圓內(nèi)切〔九點圓半徑為外接圓半徑一半。F是九點圓圓心，I為內(nèi)心〕莫利定理將三角形的三個內(nèi)角三等分，靠近某邊的兩條三分角線相交得到一個交點，那么這樣的三個交點可以構(gòu)成一個正三角形證明：設△ABC中，AQ,AR,BR,BP,CP,CQ為各角的三等分線，三邊長為a,b,c,三內(nèi)角為3α，3β，3γ，那么α+β+γ=60°。在△ABC中，由正弦定理，得AF=csinβ/sin(α+β)。不失一般性，△ABC外接圓直徑為1，那么由正弦定理，知c=sin3γ，所以AF=〔sin3γ*sinβ〕/sin(60°-γ)=[sinβ*sinγ(3-4sin2γ)]/[1/2(√3cosγ-sinγ)]=2sinβsinγ〔√3cosγ+sinγ〕=4sinβsinγsin〔60°+γ〕.同理,AE=4sinβsinγsin(60°+β)∴AF:AE=[4sinβsinγsin(60°+γ)]：[4sinβsinγsin(60°+β)]=sin(60°+γ):sin(60°+β)=sin∠AEF:sin∠AFE∴∠AEF=60°+γ,∠AFE=60°+β.同理得，∠CED=60°+α∠FED=180°-CED-(AEF-α-γ)=180°-60°-α-60°+α=60°∴△FED為正三角形拿破侖定理假設以任意三角形的各邊為底邊向形外作底角為60°的等腰三角形，那么它們的中心構(gòu)成一個等邊三角形。在△ABC的各邊上向外各作等邊△ABF，等邊△A