分組碼和卷積碼

分組碼和卷積碼1第一頁，共三十五頁，2022年，8月28日7.1基本定義基本概念：由一組固定長度的碼字矢量組成。碼長——矢量元數(shù)的個(gè)數(shù)n。碼字元素選自由q個(gè)元素組成的字符集（二進(jìn)制分組碼，非二進(jìn)制分組碼）長度為n的碼字2n個(gè)碼字k個(gè)信息比特2k種組合(n,k)碼映射信息比特與碼字之間的關(guān)系碼率：2第二頁，共三十五頁，2022年，8月28日7.1基本定義有限域，也稱伽羅華域（GaliosField）：二進(jìn)制加法和乘法的有限集合。+01001110X010001011.基域：模5的加法和乘法運(yùn)算擴(kuò)域：2.有限域上的多項(xiàng)式：首一（Monic）多項(xiàng)式：既約多項(xiàng)式：多項(xiàng)式無法寫成兩個(gè)低次多項(xiàng)式的乘積。3第三頁，共三十五頁，2022年，8月28日7.1基本定義3.擴(kuò)域：本原多項(xiàng)式GF(4)域的加法和乘法：+01XX+1001XX+1110X+1XXXX+101X+1X+1X10x01XX+100000101XX+1X0XX+11X+10X+11X4第四頁，共三十五頁，2022年，8月28日7.1基本定義4.本原元和本原多項(xiàng)式mg(X)2X2+X+13X3+X+14X4+X+15X5+X+16X6+X+17X7+X+18X8+X4+X3+X2+19X9+X4+110X10+X3+111X11+X2+112X12+X6+X4+X+15第五頁，共三十五頁，2022年，8月28日7.2線性分組碼的一般性質(zhì)任何碼字都是G的矢量的線性組合：生成矩陣和奇偶校驗(yàn)矩陣假設(shè)：k個(gè)信息比特碼字（n位）編碼運(yùn)算：矩陣形式：j=1,…nG—生成矩陣6第六頁，共三十五頁，2022年，8月28日7.2線性分組碼的一般性質(zhì)(n,k)線性碼的對偶碼是一種(n,n-k)線性碼，有2n-k個(gè)碼矢量生成矩陣H，由n-k個(gè)線性無關(guān)的碼矢量組成由于對(n,k)碼的每個(gè)碼字都成立，于是：(n,k)碼(n,k)碼任意一個(gè)碼字Cm都正交于矩陣H的每一行對偶碼(n,n-k)正交于H矩陣用于譯碼器檢查收到的碼字c是否滿足cHt=0H矩陣稱為(n,k)碼的一致校驗(yàn)矩陣（簡稱校驗(yàn)矩陣）7第七頁，共三十五頁，2022年，8月28日7.2線性分組碼的一般性質(zhì)7.2.2線性分組碼的重量和距離特性碼字的重量：碼字里非零碼元的數(shù)量碼字間的漢明距離：兩個(gè)碼字間不同碼元的個(gè)數(shù)碼的最小距離

線性分組碼的最小重量與奇偶校驗(yàn)矩陣列之間的相關(guān)性有關(guān)碼的最小重量8第八頁，共三十五頁，2022年，8月28日7.2線性分組碼的一般性質(zhì)7.2.3重量分布多項(xiàng)式碼的重量分布多項(xiàng)式（WEP）：多項(xiàng)式的系數(shù)是該碼字中不同重量的碼字的個(gè)數(shù)對于正交FSK調(diào)制有假設(shè)發(fā)送的是全零碼字，則對于BPSK調(diào)制有9第九頁，共三十五頁，2022年，8月28日7.2線性分組碼的一般性質(zhì)7.2.4線性分組碼的差錯(cuò)概率碼字差錯(cuò)概率：定義10第十頁，共三十五頁，2022年，8月28日7.3一些特殊的線性分組碼7.3.1重復(fù)碼：(n,1)碼，全0或者全17.3.2漢明(n,k)碼：7.3.3最大長度碼：漢明碼的對偶碼7.3.4Reed-Muller碼：11第十一頁，共三十五頁，2022年，8月28日7.4線性分組碼的最佳軟判決譯碼有效碼字間的最佳檢測，如相關(guān)度量計(jì)算主要問題：碼字?jǐn)?shù)量巨大，導(dǎo)致計(jì)算量巨大12第十二頁，共三十五頁，2022年，8月28日7.5線性分組碼的硬判決譯碼先逐個(gè)碼元進(jìn)行判決后，再進(jìn)行譯碼1.最小距離（最大似然）譯碼判決后的碼字可能不是一個(gè)有效碼字，尋找與該碼字距離最小的有效碼字作為譯碼的結(jié)果2.伴隨式和標(biāo)準(zhǔn)陣列7.5.2.硬判決譯碼糾錯(cuò)能力：13第十三頁，共三十五頁，2022年，8月28日7.6硬判決與軟判決譯碼的性能比較14第十四頁，共三十五頁，2022年，8月28日7.7線性分組碼最小距離的邊界7.7.1辛格爾頓（Singleton）界：7.7.2漢明界：7.7.3普洛特金（Plotkin）界：對于q元，對于二進(jìn)制，15第十五頁，共三十五頁，2022年，8月28日7.8修改的線性分組碼7.8.1縮短和伸長7.8.2刪余和擴(kuò)展7.8.3刪信和增廣16第十六頁，共三十五頁，2022年，8月28日7.9循環(huán)碼循環(huán)碼是線性碼的一個(gè)子集。碼字碼字C的所有循環(huán)移位都是碼字循環(huán)碼的碼字多項(xiàng)式表示：n-1次多項(xiàng)式，用它與碼字C聯(lián)系起來特點(diǎn)：若兩邊同乘X：Xc(X)除于Xn+1：其中：代表碼字：c1(X)是Xc(X)除于Xn+1的余式，因此：17第十七頁，共三十五頁，2022年，8月28日7.9循環(huán)碼生成多項(xiàng)式信息多項(xiàng)式：長度為k碼字多項(xiàng)式：長度為n生成多項(xiàng)式g(X)必須是Xn+1的因式，例如系統(tǒng)循環(huán)碼：18第十八頁，共三十五頁，2022年，8月28日7.9循環(huán)碼循環(huán)碼編碼器：移位寄存器循環(huán)碼的譯碼7.10BCH碼7.11RS碼BCH碼的生成多項(xiàng)式由的因式構(gòu)成特點(diǎn)：循環(huán)碼的一個(gè)大類；（二進(jìn)制，非二進(jìn)制）二進(jìn)制BCH碼：m和t是任意正整數(shù)，非二進(jìn)制BCH碼：包括Reed-Solomon碼19第十九頁，共三十五頁，2022年，8月28日8.1卷積碼的構(gòu)造二進(jìn)制數(shù)據(jù)移位輸入到編碼器，沿著移存器每次移動(dòng)k比特；每個(gè)k比特長的輸入序列對應(yīng)一個(gè)n比特長的輸出序列；碼率Rc=k/nK（移存器的級數(shù)）稱為卷積碼的約束長度。編碼器由K級移存器（每級k比特）和n個(gè)模2加法器組成編碼過程：卷積碼的描述方法：樹圖、網(wǎng)格圖、狀態(tài)圖20第二十頁，共三十五頁，2022年，8月28日8.2卷積碼的譯碼卷積碼譯碼卷積碼沒有固定長度，有記憶，采用序列譯碼；譯碼器是一個(gè)最大似然序列估計(jì)器；譯碼過程：搜遍網(wǎng)格圖找出最可能的序列譯碼度量：硬判決——漢明距離；軟判決——?dú)W氏距離21第二十一頁，共三十五頁，2022年，8月28日8.3二進(jìn)制卷積碼的距離特性22第二十二頁，共三十五頁，2022年，8月28日8.9Turbo碼和迭代譯碼編碼器結(jié)構(gòu)：由兩個(gè)并聯(lián)的卷積編碼器組成，第2級編碼器前串接了一個(gè)交織器交織器：信息比特進(jìn)入下一級編碼器之前對它們重新排序?qū)ΧM(jìn)制卷積編碼器輸出的校驗(yàn)比特進(jìn)行刪余處理，目的是為了提高碼率帶交織的并行級聯(lián)卷積碼——Turbo23第二十三頁，共三十五頁，2022年，8月28日8.9Turbo碼和迭代譯碼特色之一：兩個(gè)編碼器與交織結(jié)合的效果：使碼字變得相對稀疏，即各碼字極少有離它很靠近的鄰碼。交織導(dǎo)致緊鄰碼字?jǐn)?shù)量的減少，由此使編碼增益提高。已經(jīng)證明，當(dāng)交織器長度為N時(shí)，緊鄰碼字的數(shù)目減少N倍特色之二：使用基于MAP準(zhǔn)則的迭代譯碼24第二十四頁，共三十五頁，2022年，8月28日8.9Turbo碼和迭代譯碼Turbo碼的性能影響Turbo碼性能的一個(gè)重要因素——交織長度（交織增益）大交織產(chǎn)生的問題：譯碼時(shí)延；計(jì)算復(fù)雜帶交織的串行級聯(lián)卷積碼1998年Benedetto另一種級聯(lián)卷積碼在低誤碼率時(shí)，具有比并行級聯(lián)碼更好的性能使用足夠大的交織器，采用MAP迭代譯碼Turbo碼的性能可以非常接近Shannon限25第二十五頁，共三十五頁，2022年，8月28日8.11LDPC碼LDPC碼：具有稀疏校驗(yàn)矩陣的線性分組碼LDPC碼的硬譯碼和軟譯碼26第二十六頁，共三十五頁，2022年，8月28日8.12網(wǎng)格編碼調(diào)制TCM背景分組碼和卷積碼：性能的改善是通過擴(kuò)大傳輸信號帶寬為代價(jià)而獲得的；這種情況主要適用于功率受限信道的設(shè)計(jì)。如(24,12)Golay碼：當(dāng)b=10時(shí)，編碼增益=5dB

但這個(gè)編碼增益以傳輸信號帶寬增大1倍而獲得。采用軟判決譯碼的二進(jìn)制(n,k)分組碼，與不編碼系統(tǒng)相比，所得到的性能改善約為：如何解決帶限信道的編碼問題？要求：不擴(kuò)展帶寬而獲得編碼增益。27第二十七頁，共三十五頁，2022年，8月28日8.12網(wǎng)格編碼調(diào)制TCM分析：（假設(shè)一次傳輸2個(gè)比特的情況）編碼要使編碼后與不編碼QPSK具有同樣的數(shù)據(jù)吞吐量不編碼系統(tǒng)：QPSK，4個(gè)點(diǎn)的信號星座，每個(gè)符號攜帶2比特采用2/3的編碼系統(tǒng)：必須結(jié)合如8PSK的調(diào)制使用2信息比特3編碼比特引出的問題：

與QPSK星座相比，要保持相同的Pe

，8PSK星座要求的信號功率必須增加4dB！如何補(bǔ)償由于信號集擴(kuò)大而產(chǎn)生的這種要求？28第二十八頁，共三十五頁，2022年，8月28日8.12網(wǎng)格編碼調(diào)制TCM兩種解決方案：按照傳統(tǒng)的方法——編碼與調(diào)制分別獨(dú)立設(shè)計(jì)通過增大編碼符號間的最小歐氏距離來彌補(bǔ)信號集擴(kuò)大造成的損失。要求編碼器必須提供4dB以上的編碼增益才能補(bǔ)償這一要求。措施：通過采用大約束長度的卷積碼，大分組長度的分組碼。編碼與調(diào)制結(jié)合在一起設(shè)計(jì)——網(wǎng)格編碼調(diào)制的核心思想編碼調(diào)制集成的關(guān)鍵：找到一種有效的辦法，將編碼比特映射到信號點(diǎn)集，而使最小歐式距離最大。29第二十九頁，共三十五頁，2022年，8月28日8.12網(wǎng)格編碼調(diào)制TCM途徑：分集映射分集：——遵循“最小歐氏距離逐級增大”的原則第1次分集：分為2個(gè)子集，每子集4點(diǎn)，第2次分集：兩個(gè)子集又進(jìn)一步劃分，最后一次分集得到8個(gè)子集，每個(gè)子集僅包含一個(gè)信號點(diǎn)8PSK：各點(diǎn)間相隔的最小歐氏距離為：將信號星座分割成子集，使子集中兩個(gè)信號點(diǎn)之間的最小歐氏距離隨著每次分集變大。30第三十頁，共三十五頁，2022年，8月28日8.12網(wǎng)格編碼調(diào)制TCM每次子集隔點(diǎn)選取對矩形信號星座而言，每一級分集可使最小歐氏距離增加倍。第一次分集后，點(diǎn)間距離從增加到16QAM信號星座的分集31第三十一頁，共三十五頁，2022年，8月28日8.12網(wǎng)格編碼調(diào)制TCM編碼過程：

映射（編碼）k2個(gè)未編碼比特用來在各子集中選擇某一信號點(diǎn)。信息輸入m比特分為兩路從編碼器得出的n比特用來選擇子集（在分集后信號星座的2n個(gè)子集中選擇其一）k1k232第三十二頁，共三十五頁，2022年，8月28日8.12網(wǎng)格編碼調(diào)制TCM分兩步實(shí)現(xiàn)：譯碼（軟判決譯碼）子集譯碼確定每一子集中的最佳信號點(diǎn)；（即確定每個(gè)子集中離接收信號點(diǎn)最近的點(diǎn)）路徑譯碼

將每個(gè)子集選出的信號點(diǎn)及相應(yīng)的平方距離量度對應(yīng)到Viterbi算法的分支中，在網(wǎng)格圖中找出一條信號路徑，該路徑與接收信號序列的距離平方之和最小。33第三十三頁，共三十五頁，2022年，8月28日8.12網(wǎng)格編碼調(diào)制TCM性能（網(wǎng)格編碼調(diào)制所能獲得的編碼增益一覽）碼率為1/2