北師大版八年級上冊數(shù)學(xué) 三角形解答題單元測試卷附答案

圖⑴圖⑶圖⑴圖⑶北師大版八年級上冊數(shù)學(xué)三角形解答題單元測試卷附答案一、八年級數(shù)學(xué)三角形解答題壓軸題（難）1．圖（1）是我們常見的“箭頭圖”，其中隱藏著哪些數(shù)學(xué)知識呢？下面請你解決以下問題：（1）觀察如圖（1）"箭頭圖”，試探究/BDC與ZA、ZB、ZC之間大小的關(guān)系，并說明理由；（2）請你直接利用以上結(jié)論，回答下列兩個問題：如圖（2），把一塊三角板XYZ放置在2BC上，使其兩條直角邊XYSX恰好經(jīng)過點B、C.若ZA=50°，則ZABX+ZACX=；如圖（3）,ZABD,ZACD的五等分線分別相交于點G2、G3、G4，若ZBDC=135°,ZBG1C=67°，求ZA的度數(shù).【答案】（1）ZBDC=ZA+ZB+ZC（2）①40°②50°【解析】試題分析：（1）連接AD并延長，根據(jù)三角形的外角和內(nèi)角關(guān)系解答；（2）①利用（1）的結(jié)論，直接計算出ZABX+ZACX的度數(shù)；②圖（3）利用（1）的結(jié)論，根據(jù)ZBDC=135°,ZBG]C=67°，計算出相等的角：Zdbg4+ZDCG4的和，再次利用（1）的結(jié)論，求出ZA的度數(shù).試題解析：（1）ZBDC=ZA+ZB+ZC.理由：連接AD并延長到M.因為ZBDM=ZBAD+ZB,ZCDM=ZCAD+ZC,所以ZBDM+ZCDM=ZBAD+ZB+ZCAD+ZC,即ZBDC=ZBAC+ZB+ZC.圖⑴(2)①由(1)知：ZBXC=ZA+ZABX+ZACX，由于ZBXC=90°,ZA=50°所以ZABX+ZACX

=ZBXC-zA=90°-50°=40°．②在箭頭圖GfDC中因為ZBDC=ZG1+ZG]BD+ZG￡D,又:ZBDC=135°,ZBG1C=67°???ZABD,ZACD的五等分線分別相交于點G1SG、g、G12344(zdbg4+zDCG4)=135°-67°???zdbg4+zDCG4=17°..ZABG1+ZACG1=17°T在箭頭圖G1BAC中???zBG1C=ZA+ZG1BA+ZG1CA,又：ZBG1C=67°,.ZA=50°.答：ZA的度數(shù)是50°.AAPRCECCE2.AAPRCECCE2.探究：1如圖1,在厶ABC中，BP平分ZABC,CP平分ZACB.求證：ZP=90°+2乙A.如圖2,在MBC中，BP平分ZABC,CP平分外角ZACE.猜想ZP和ZA有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.如圖3,BP平分ZCBF,CP平分ZBCE.猜想ZP和ZA有何數(shù)量關(guān)系，請直接寫出結(jié)論.11【答案】(1)見解析；(2)2ZA=ZP，理由見解析；(3)ZP=90°-2ZA,理由見解析【解析】【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的性質(zhì)進行解答即可：根據(jù)角平分線的定義以及一個三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和,可求出ZA的度數(shù)，根據(jù)補角的定義求出ZACB的度數(shù)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可求出ZP的度數(shù),即可求出結(jié)果,根據(jù)三角形的外角性質(zhì)、內(nèi)角和定理、角平分線的定義探求并證明.【詳解】證明：("?.?△ABC中，ZABC+ZACB=180°-ZA.又?BP平分ZABC,CP平分ZACB,1.\ZPBC=ZABC,21ZPCB=ZACB,21???ZPBC+ZPCB=(180°-ZA),211根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可知ZBPC=180°-2(180°-ZA)=90°+qZA；1二ZA=ZP,理由如下：BP是MBC中ZABC的平分線，CP是ZACB的外角的平分線，11:.ZPBC=ZABC,ZPCE=ZACE.22ZACE是"BC的外角，ZPCE是NBPC的外角，:.ZACE=ZABC+ZA,ZPCE=ZPBC+ZP,11122211???=ZABC+ZA=ZPBC+ZP,22111—AA=AP.2ZP=90°--乙A,理由如下：TP點是外角ZCBF和ZBCE的平分線的交點,ZP+ZPBC+ZPCB=180°.??ZP=180°-(ZPBC+ZPCB)1=180°-(ZFBC+ZECB)21=180°-(ZA+ZACB+ZA+ZABC)21=180°-(ZA+180。)21=90°-ZA.2【點睛】本題考查了角平分線的定義,一個三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和以及補角的定義以及三角形的內(nèi)角和為180°,此類題解題的關(guān)鍵是找出角平分線平分的兩個角的和的度數(shù),從而利用三角形內(nèi)角和定理求解.3?⑴如圖①，你知道ZBOC=ZB+ZC+ZA的奧秘嗎？請用你學(xué)過的知識予以證明;⑵如圖②，設(shè)x二ZA+ZB+ZC+ZD+ZE,運用(1)中的結(jié)論填空.x-°；x-°；x-°；⑶如圖③，一個六角星，其中ZBOD二70°,則ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF二°.【答案】(1)證明見解析.(2)180；180；180；⑶140【解析】【分析】首先延長BO交AC于點D,可得BOC=ZBDC+ZC，然后根據(jù)ZBDC=ZA+ZB,判斷出ZBOC=ZB+ZC+ZA即可.a、首先根據(jù)外角的性質(zhì)，可得Z1=ZA+ZB,Z2=ZC+ZD,然后根據(jù)Z1+Z2+ZE=180°，可得x=ZA+ZB+ZC+ZD+ZE=180,據(jù)此解答即可.b、首先根據(jù)外角的性質(zhì)，可得Z1=ZA+ZB,Z2=ZC+ZD，然后根據(jù)Z1+Z2+ZE=180°，可得x=ZA+ZB+ZC+ZD+ZE=180,據(jù)此解答即可.c、首先延長EA交CD于點F,EA和BC交于點G,然后根據(jù)外角的性質(zhì)，可得ZGFC=ZD+ZE,ZFGC=ZA+ZB，再根據(jù)ZGFC+ZFGC+ZC=180°，可得x=ZA+ZB+ZC+ZD+ZE=180°,據(jù)此解答即可.根據(jù)ZBOD=70°，可得ZA+ZC+ZE=70°,ZB+ZD+ZF=70°，據(jù)此求出ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF的度數(shù)是多少即可.【詳解】⑴證明：如圖，延長BO交AC于點D,則ZBOC二ZBDC+ZC,又TZBDC二ZA+ZB,:,ZBOC=ZB+ZC+ZA.Rc(2)180；180；180(3)140【點睛】此題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：三角形的內(nèi)角和是180°.此題還考查了三角形的外角的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①三角形的外角和為360°.②三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.③三角形的一個外角大于和它不相鄰的任何一個內(nèi)角.如圖①，在平面直角坐標系中，A(0,1),B(4,1),C為x軸正半軸上一點，且AC平分ZOAB.(1)求證：ZOAC二ZOCA；⑵如圖②，若分別作ZA0C的三等分線及Z0CA的外角的三等分線交于點P，即滿足ZP0C11=3ZAOC，ZPCE=3ZACE,求ZP的大??；1ZPCE=ZACE，猜想ZOPCn11ZPCE=ZACE，猜想ZOPCn⑶如圖③，在⑵中，若射線OP、CP滿足ZP0C=—ZA0C,n的大小，并證明你的結(jié)論(用含n的大小，并證明你的結(jié)論(用含n的式子表示).答案】(1)證明見解析(2)15°45(3)no【解析】試題分析：(1)根據(jù)AB坐標可以求得ZOAB大小，根據(jù)角平分線性質(zhì)可求得ZOAC大小,即可解題；(2)根據(jù)題干中給出的ZPOC=3ZAOC、ZPCE=3ZACE可以求得ZPCE和ZPOC的大小,再根據(jù)三角形外角等于不相鄰兩內(nèi)角和即可解題；11(3)解法和(2)相同，根據(jù)題干中給出的ZPOC=—ZAOC、ZPCE=—ZACE可以求得nnZPCE和ZPOC的大小，再根據(jù)三角形外角等于不相鄰兩內(nèi)角和即可解題.試題解析：(1)證明：?.?人(0,1),B(4,1),二ABIICO,???乙OAB=180°-ZAOC二90°.TAC平分ZOAB,?ZOAC=45°,?ZOCA=90°-45°二45°,?ZOAC二ZOCA.(2)解：TZPOC二、ZAOC,?ZPOC二.<90°二30°.TZPCE二子ACE,?ZPCE=.}(180°-45°)二45°.TZP+ZPOC=ZPCE,?ZP=ZPCE-ZPOC二15°.⑶解:ZOPC二一.ii9crii證明如下：TZPOC二ZAOC,?ZPOC=x90°二.TZPCE=ZACE,?ZPCE=aaaxrL3&9(180°-45°)二丹.TZOPC+ZPOC二ZPCE,?ZOPC=ZPCE-ZPOC二一.點睛：本題考查了三角形內(nèi)角和為180°的性質(zhì)，考查了角平分線平分角的性質(zhì)，考查了三角形外角等于不相鄰兩內(nèi)角和的性質(zhì)，本題中求ZPCE和ZPOC的大小是解題的關(guān)鍵.如圖，已知，在△ABC中，ZBVZC,AD平分ZBAC,E的線段AD(除去端點A、D)上一動點，EF丄BC于點F.若ZB=40°，ZDEF=10°，求ZC的度數(shù).當E在AD上移動時，ZB、ZC、ZDEF之間存在怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個等量關(guān)⑵ZC-ZB=2ZDEF.理由見解析【解析】試題分析：(1)已知：EF丄BC,ZDEF=10?？梢郧蟮肸EDF的度數(shù)，ZEDF又是AABD的外角，已知ZB的度數(shù)，可求得ZBAD的值，AD平分ZBAC，所以ZBAC的值也可求出，從而求出ZCO(2)EF丄BC,可得到ZEDF=90°—ZDEF,ZEDF又是AABD的外角，可得到ZBAD=ZEDF—ZB=90°—ZDEF—ZB,然后可將ZBAC用含ZDEF、ZB的角來表示，即ZBAC=2(90°—ZDEF—ZB)，最后利用ZB、ZBAC、ZC的和為180。求得三角之間的等量關(guān)系。

試題解析：(1)TEF丄BC,ZDEF=10°,???ZEDF=80°.VZB=40°,AZBAD=ZEDF-ZB=80°-40°=40°.TAD平分ZBAC,???ZBAC=80°.???ZC=180°—40°—80°=60°.⑵ZC—ZB=2ZDEF.理由如下：TEF丄BC,AZEDF=90°—ZDEF.VZEDF=ZB+ZBAD,AZBAD=90°—ZDEF—ZB.TAD平分ZBAC,AZBAC=2ZBAD=180°—2ZDEF—2ZB..\ZB+180°—2ZDEF—2ZB+ZC=180°./.ZC—ZB=2ZDEF.【點睛】本題主要考查考生對三角形外角和性質(zhì)得理解及靈活運用,以及對三角形內(nèi)角和,角平分線的定義的理解。此為易考點及重點。考查考生等量代換思想的形成及掌握在解題過程中涉及到角與角之間的轉(zhuǎn)換。此為難點。我?？鞓纷甙鄶?shù)學(xué)興趣小組開展了一次活動，過程如下：設(shè)ZBAC=e(0°<e<90°)小棒依次擺放在兩射線之間,并使小棒兩端分別落在兩射線上．活動一：如圖甲所示，從點A1開始，依次向右擺放小棒，使小棒與小棒在端點處互相垂直,A1A2為第1根小棒.B衛(wèi)A.A3AsAr數(shù)學(xué)思考：(1Ar數(shù)學(xué)思考：(1)小棒能無限擺下去嗎？答填“能“或“不能”)設(shè)aa1=a1a2=a2a3=i.則e=度；活動二：如圖乙所示，從點A1開始，用等長的小棒依次向右擺放，其中A1A2為第1根小棒，且A1A2=AA1．數(shù)學(xué)思考：若只能擺放5根小棒，求e的范圍.【答案】(1)能.(2)e=22.5；⑶15°<e<18°.【解析】

【分析】根據(jù)已知條件：小棒兩端能分別落在兩射線上進行判斷即可；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)即得結(jié)果；(3)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理可得關(guān)于*的不等式組，解不等式組即得結(jié)果.【詳解】???根據(jù)已知條件ZBAC=*(0°<*<90°)小棒兩端能分別落在兩射線上，???小棒能繼續(xù)擺下去；⑵VA1A2=A2A3,A]A2丄A2A3，ZA2A1A3=45°,ZAA2A1+Z*=45°,vzaa2a1=z*,Z*=22.5°；⑶如圖乙,va2a1=a2a3,aza2a3a1=za2a1a3=2*°,???A???A2A3=A4A3，???ZA3A2A4=ZA3A2A4=3*°，???A4A3二A4A5,???ZA4A3A5=ZA4A5A3=4*。，地圖乙根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)，可得6*>90°,5*<90°,?15°<*<18°.【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理和三角形的外角性質(zhì)，根據(jù)題意找出規(guī)律并結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.已知，在ABC中，ZA=60°,如圖①，ZABC和ZACB的角平分線交于點0,則ZB0C二—；如圖②，ZABC和ZACB的三等分線分別對應(yīng)交于點0冒02，貝UTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"ZBOC=；2如圖③，ZABC和ZACB的n等分線分別對應(yīng)交于點0^02,……,O(內(nèi)部有12n-1n-1個點)，則ZBOC=；n-1如圖③，ZABC和ZACB的n等分線分別對應(yīng)交于點0.02,……,O，若12n-1ZBOC=90。，求n的值.n-1

答案】(1)120°2)答案】(1)120°2)100°；In丿【解析】【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出ZABC+ZABC，然后根據(jù)角平分線的定義即可求出ZOBC+ZOCB，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出結(jié)論；根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出ZABC+ZABC，然后根據(jù)三等分線的定義即可求出zo2bc+zo2cb，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出結(jié)論；根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出ZABC+ZABC，然后根據(jù)n等分線的定義即可求出ZOn_xBC+ZOn_]CB，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出結(jié)論；根據(jù)(3)的結(jié)論列出方程即可求出結(jié)論．【詳解】解：(1)?.?在ABC中，ZA=60°,AZABC+ZABC=180°_ZA=120°VZABC和ZACB的角平分線交于點0,1A1??.Z0BC二乂ZABC,Z0CB二乂ZACB2211???Z0BC+Z0CB=2"時2ZACB1=2(ZABC+ZACB)=60°???ZBOC=180°—(ZOBC+ZOCB)=120°故答案為：120°．(2)T在ABC中，ZA=60°,???ZABC+ZABC=180°—ZA=120°???ZABC和ZACB的三等分線分別對應(yīng)交于點Op02,勺2AZOBC=ZABC，ZOCB=ZACB232322.\ZOBC+ZOCB=ZABC+ZACB22332=3(ZABC+ZACB)

=80°???^BOC二180°—(ZO2BC+ZO2CB)=100°故答案為：100°．T在ABC中，ZA=60°,AZABC+ZABC=180°—ZA=120°VZABC和"CB的“等分線分別對應(yīng)交于點O1,O2,……，On-1n-1n-1AZO“BC二ZABC,ZO,CB=-——ZACBn—-1nn—1nn-1n-1AZOn“BC+ZO,CB=ZABC+ZACBn—-1n—1nnn-1=(ZABC+ZACB)廠120n-120]In丿JZBOnJZBOn￡=180°—(ZO2BC+ZO2CB)=(60n+120\故答案為：(4)由(3)知：，BOC=n-160n+60n+12090解得：n=4經(jīng)檢驗：n=4是原方程的解【點睛】本題考查了n等分線的定義和三角形的內(nèi)角和定理，掌握n等分線的定義和三角形的內(nèi)角和定理是解決此題的關(guān)鍵．8.如圖⑴所示，AB,CD是兩條線段，M是AB的中點，連接AD,MD,BC,BD,MC,AC,S^dmc，S^ac和S^bc分別表示^DMC,△DAC,△DBC的面積，當ABIICD時，有SadmcDACDBC2BMSadmcDACDBC2BMMNF一S+S如圖⑵所示，當圖6-9(1)中AB與CD不平行時，S^dmc二DACDBC是否仍然成立?請Z△△說明理由；如圖⑶所示，當圖6-9(1)中AB與CD相交于點0時，S^dmc與S^dAc，S^dBc有什么樣的數(shù)量關(guān)系?試說明你的結(jié)論．【答案】(1)S【答案】(1)SaDMC=SDAC；SDBC仍成立，理由見解析;(2)S△DMC=S-S—DBCDAC，2理由見解析.解析】分析】(1)先看題中給出的條件為何成立，由于三角形ADC,DMC,DBC都是同底，而由于AB〃DC，因此高相等，就能得出題中給出的結(jié)論，那么本題也要用高來求解，過A,M,B分別作BC的垂線AE,MN,BF,AE〃MN〃BF，由于M是AB中點，因此MN是梯形AEFB的中位線，因此MN=-(AE+BF)，三個三角形同底因此結(jié)論①是成立的?2(2)本題可以利用AM二MB，讓這兩條邊作底邊來求解，三角形ADB中，小三角形的AB邊上的咼都相等，那么三角形ADM和DBM的面積就相等(等底同咼)，因此三角形OAD,OMD的和就等于三角形BMD的面積，同理三角形AOC和OMC的面積和等于三角形CMB的面積．根據(jù)這些等量關(guān)系即可得出題中三個三角形的面積關(guān)系．【詳解】S+S(1)當AB與CD不平行時，S^dmc=DAW噸仍成立?分別過點A,M,B作CD的垂線AE,MN,BF，垂足分別為E,N,F.VM為AB的中點，???MN二???MN二—(AE+BF)?s+S△DAC△DBC-DC.AE+-DC-BF=-DG(AE+BF)=1-1-DC?2MN=DC?mN=2Sadmc.???Smc=S+S—DACDBC2S-SS-S(2)Sadmc=rDAC?理由:???M是AB的中點,?,S^ADM—Sabdm，‘△acm=Sabcm,而S^dbc=S^bdm+S^bcm+S^dmc?①S^dac=S^adm+S^acm-S^dmc?②??①-②得S^dbc-S^dac=2S^dmc?故S-SSmc=:—DBCDAC2【點睛】本題考查了三角形中位線和梯形，解題的關(guān)鍵是掌握三角形中位線定理和梯形的概念9?圖1，線段AB、CD相交于點0,連接AD、CB，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”.如圖2，在圖1的條件下，ZDAB和ZBCD的平分線AP和CP相交于點P,并且與CD、AB分別相交于M、N.試解答下列問題：(1)在圖1中，請直接寫出ZA、ZB、ZC、ZD之間的數(shù)量關(guān)系：;

圖2中，當ZD=50度，ZB=40度時，求ZP的度數(shù).D圖2中ZD和ZB為任意角時，其他條件不變，試問ZP與ZD.ZB之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系.D劉圖2【答案】(1)ZA+ZD=ZC+ZB；(2)ZP=45°；(3)2ZP=ZD+ZB.【解析】【分析】(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出/A+ZD=ZC+ZB；(2)由(1)得，/DAP+ZD=ZP+ZDCP①,ZPCB+ZB=ZPAB+ZP②，再根據(jù)角平分線的定義可得ZDAP=ZPAB,ZDCP=ZPCB,將①+②整理可得2ZP=ZD+ZB,進而求得ZP的度數(shù)；(3)同(2)根據(jù)“8字形"中的角的規(guī)律和角平分線的定義，即可得出2ZP=ZD+ZB.【詳解】解(1)TZA+ZD+ZAOD=ZC+ZB+ZBOC=180°,ZAOD=ZBOC，ZA+ZD=ZC+ZB；(2)由(1)得，ZDAP+ZD=ZP+ZDCP，①ZPCB+ZB=ZPAB+ZP，②TZ