初高銜接課講義- 新高一數(shù)學(xué)暑期預(yù)科新高一必備知識(shí)

新高一數(shù)學(xué)必備知識(shí)乘法公式完全平方公式和平方差公式和立方與差立方公式立方和與立方差公式二、一元二次方程1、韋達(dá)定理一元二次方程的根與系數(shù)之間存在下列關(guān)系：若ax2＋bx＋c＝0（a≠0）兩根分別是x1，x2，則x1＋x2＝，x1·x2＝．也被稱為韋達(dá)定理．以兩個(gè)數(shù)x1，x2為根的一元二次方程（二次項(xiàng)系數(shù)為1）是x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．利用根與系數(shù)的關(guān)系求值，要熟練掌握以下等式變形：，一元二次方程的兩根之差的絕對(duì)值是一個(gè)重要的量，今后我們經(jīng)常會(huì)遇到求這一個(gè)量的問(wèn)題(相關(guān)地，拋物線與x軸兩交點(diǎn)間的距離)，為了解題簡(jiǎn)便，我們可以探討出其一般規(guī)律：設(shè)x1和x2分別是一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的兩根，則，，．【例題精講】例1.已知方程5x2＋kx-6=0的一個(gè)根是2，求它的另一個(gè)根及k的值．例2.若x1和x2分別是一元二次方程2x2＋5x-3=0的兩根．(1)求|x1-x2|的值；(2)求的值；(3)求＋的值．例3.已知、是方程x2＋2x-5=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則2＋＋2的值為_______．【鞏固練習(xí)】 1.和為一元二次方程的兩個(gè)實(shí)根，并和滿足不等式，則實(shí)數(shù)的值范圍是．2.關(guān)于x的方程的兩根為x1，x2滿足|x1－x2|＝2，求實(shí)數(shù)m的值．已知、是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式的值為．2、利用韋達(dá)定理逆定理，構(gòu)造一元二次方程輔助解題等【例題精講】例1.設(shè)a,b是相異的兩實(shí)數(shù)，滿足的值例2.，求的值．【鞏固練習(xí)】1.如果、都是質(zhì)數(shù)，且，，求的值2.設(shè)實(shí)數(shù)a,b分別滿足且的值．3.△ABC的一邊長(zhǎng)為5，另兩邊長(zhǎng)恰為方程的兩根，則m的取值范圍是．3、根的分布定理（1）0分布一元二次方程的根從幾何意義上來(lái)說(shuō)就是二次函數(shù)與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，所以研究的實(shí)根的情況，可從函數(shù)的圖象上進(jìn)行研究.分布情況兩個(gè)負(fù)根即兩根都小于0兩個(gè)正根即兩根都大于0一正根一負(fù)根即一個(gè)根小于0，一個(gè)大于0大致圖象（）得出的結(jié)論大致圖象（）得出的結(jié)論綜合（不討論）【例題精講】例1.已知方程有兩個(gè)不等正實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．例2.若方程的根滿足下列條件，分別求出實(shí)數(shù)的取值范圍．（1）方程兩實(shí)根均為正數(shù)；（2）方程有一正根一負(fù)根．【鞏固練習(xí)】已知一元二次方程有一正根和一負(fù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（2）k分布【知識(shí)梳理】分布情況兩根都小于即兩根都大于即一個(gè)根小于，一個(gè)大于即大致圖象（）得出的結(jié)論大致圖象（）得出的結(jié)論綜合（不討論）【例題精講】例1.若關(guān)于的方程的一個(gè)大于、另一根小于，求實(shí)數(shù)的取值范圍．例2.若關(guān)于的方程的兩根均小于，求實(shí)數(shù)的取值范圍．例3.已知二次函數(shù)與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，一個(gè)大于1，一個(gè)小于1，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【鞏固練習(xí)】1.關(guān)于的方程的一個(gè)根比1大，另一個(gè)根比1小，則（ ） 2.實(shí)數(shù)為何值時(shí)，方程的兩根都大于．3.（1）已知：是方程的兩個(gè)根，且，求的取值范圍；（2）若的兩根都小于，求的取值范圍．（3）m、n分布分布情況兩根有（圖象有兩種情況，只畫了一種）大致圖象（）得出的結(jié)論或大致圖象（）得出的結(jié)論或綜合（不討論）——————【例題精講】例1.已知關(guān)于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0，（1）若方程有兩根，其中一根滿足，另一根滿足，求m的范圍；（2）若方程兩根滿足，求m的范圍．例2.關(guān)于x的二次方程的兩根滿足0，求實(shí)數(shù)p的取值范圍．例3.二次函數(shù)的圖像與軸的兩個(gè)交點(diǎn)滿足，且分居軸的兩側(cè)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．例4.若二次函數(shù)y=的圖象與兩端點(diǎn)為A（0，3），B（3，0）的線段AB有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求m的取值范圍．【鞏固練習(xí)】1.關(guān)于的方程的兩根分別滿足，，求的取值范圍．2.二次方程的兩個(gè)根與，當(dāng)且時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是．總結(jié)：一元二方程根的分布只需考慮三個(gè)方面：（1）a和△的符號(hào)（2）對(duì)稱軸相對(duì)于區(qū)間的位置（3）所給區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)【例題精講】例1.當(dāng)關(guān)于x的方程的根滿足下列條件時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍：（1）方程x2-ax+a-7=0的兩個(gè)根一個(gè)大于2，另一個(gè)小于2；（2）方程ax2+3x+4=0的根都小于1；（3）方程x2-2(a+4)x+2a2+5a+3=0的兩個(gè)根都在內(nèi)；（4）方程7x2-（a+13）x+2a-1=0的一個(gè)根在內(nèi)，另一個(gè)根在內(nèi)．例2.已知函數(shù)與非負(fù)軸至少有一個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍．【鞏固練習(xí)】已知方程有一個(gè)根小于，其余三個(gè)根都大于，求的取值范圍．三、不等式1、一元二次不等式例1.解下列不等式（1）；（2）；（3）；（4）；（5）（6）x2＋2x－3≤0；（7）x－x2＋6＜0；（8）4x2＋4x＋1≥0；（9）x2－6x＋9≤0；（10）－4＋x－x2＜0．例2.設(shè)，解關(guān)于的不等式．分式不等式及高次不等式（1）簡(jiǎn)單分式不等式的解法：已知f(x)與g(x)是關(guān)于x的多項(xiàng)式，不等式，，，稱為分式不等式．前面介紹過(guò)的符號(hào)法則可以進(jìn)行推廣，進(jìn)而可以研究分式不等式．將分式不等式進(jìn)行同解變形，利用不等式的同解原理將其轉(zhuǎn)化為有理整式不等式（組）即可求解．具體如下：，即或，即；，即或，即；，即，即或；，即，即或．（2）簡(jiǎn)單高次不等式的解法：不等式的最高次項(xiàng)的次數(shù)高于2的不等式稱為高次不等式．前面介紹過(guò)的符號(hào)法則可以進(jìn)行推廣，進(jìn)而可以研究高次不等式．解高次不等式的方法有兩種：方法1：將高次不等式f(x)＞0(＜0)中的多項(xiàng)式f(x)分解成若干個(gè)不可約因式的乘積，根據(jù)符號(hào)法則等價(jià)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)或多個(gè)不等式（組）即可求解．但應(yīng)注意：原不等式的解集是各不等式（組）解集的并集，且次數(shù)較大時(shí)，此種方法比較煩瑣．方法2：穿針引線法：①將不等式化為標(biāo)準(zhǔn)形式，右端為0，左端為一次因式（因式中x的系數(shù)為正）或二次不可約因式的乘積；②求出各因式的實(shí)數(shù)根，并在數(shù)軸上標(biāo)出；③自最右端上方起，用曲線自右向左依次由各根穿過(guò)數(shù)軸，遇奇次重根穿過(guò)，遇偶次重根穿而不過(guò)（奇過(guò)偶不過(guò)）；④記數(shù)軸上方為正，下方為負(fù)，根據(jù)不等式的符號(hào)即可寫出解集．例題解析（1）求不等式的解集（2）求不等式的解集求不等式的解集求不等式的解集3、恒成立與有解問(wèn)題一元二次不等式的恒成立問(wèn)題，即可以看成一個(gè)函數(shù)的圖象與軸的位置關(guān)系問(wèn)題，若是不等式恒成立，即函數(shù)圖象恒在軸上方，且與軸無(wú)交點(diǎn)，同理可以得到其他類似情形。【例題精講】例1.已知不等式ax2＋4x＋a＞1－2x2對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．例2.已知.（1）如果對(duì)一切，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）如果對(duì)，成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【鞏固練習(xí)】1.已知關(guān)于x的二次不等式:的解集為R，求a的取值范圍.2.不等式有實(shí)數(shù)解，且對(duì)于任意的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍3.已知函數(shù)，且，若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x恒有，求實(shí)數(shù)p,q的值.四、二次函數(shù)的最值1、二次函數(shù)的最值——軸定區(qū)間定二次函數(shù)的最值問(wèn)題，核心是對(duì)函數(shù)對(duì)稱軸與給定x范圍的相對(duì)位置關(guān)系的討論．一般分為：對(duì)稱軸在取值范圍的左邊，中間，右邊三種情況．分析：【例題精講】例1.求函數(shù)的最小值；例2.當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值和最小值．例3.當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的取值范圍．2、軸定區(qū)間動(dòng)、軸動(dòng)區(qū)間定例1.已知函數(shù)y＝x2，－2≤x