1余弦定理正弦定理的應(yīng)用【新教材】2022年蘇教版高中數(shù)學(xué)必修同步教案（學(xué)生版教師版）

編號(hào)：019課題:§余弦定理、正弦定理的應(yīng)用目標(biāo)要求1、理解并掌握解三角形中的常見(jiàn)術(shù)語(yǔ)問(wèn)題．2、理解并掌握測(cè)量距離、高度問(wèn)題．3、理解并掌握測(cè)量角度問(wèn)題．4、理解并掌握正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用問(wèn)題.學(xué)科素養(yǎng)目標(biāo)解三角形是高中數(shù)學(xué)的重要教學(xué)內(nèi)容，它涉及三角形的邊、角、面積，以及三角函數(shù)、圓等知識(shí)，綜合性較強(qiáng).在解三角形的教學(xué)中，重點(diǎn)講解如何運(yùn)用正弦定理和余弦定理解三角形問(wèn)題，以及判斷三角形的解.做好解三角形的教學(xué)，不但可以提高學(xué)生的解題能力，而且還對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思路的發(fā)展有幫助.重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：測(cè)量距離、高度、角度問(wèn)題；難點(diǎn)：正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用問(wèn)題．教學(xué)過(guò)程基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)1.解三角形中的常見(jiàn)術(shù)語(yǔ)術(shù)語(yǔ)名稱術(shù)語(yǔ)意義圖形表示仰角與俯角與目標(biāo)視線在同一鉛直平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角,目標(biāo)視線在水平視線________時(shí)叫仰角,目標(biāo)視線在水平視線______________時(shí)叫俯角.方位角從正北方向___________轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線所成的水平角,如點(diǎn)B的方位角為(如圖所示).方位角的取值范圍:0°～360°.方向角指以觀測(cè)者為中心,指北或指南的方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角,它是方位角的另一種表示形式.如圖,左圖中表示北偏東30°,右圖中表示南偏西60°.2.本質(zhì):仰角、俯角、方位角等都是在生產(chǎn)、生活中為方便使用而人為定義的.方向角亦是在測(cè)量中人為設(shè)置的量.3.應(yīng)用:仰角、俯角、方向角、方位角等經(jīng)常用于求距離、高度和角度的題目中.選擇合適的角可以簡(jiǎn)化運(yùn)算,提高測(cè)量的精確度.【課前基礎(chǔ)演練】題1.（多選）下列命題正確的是()A.若P在Q的北偏東44°方向,則Q在P的東偏北44°方向.B.方位角與方向角其實(shí)質(zhì)是一樣的,均是確定觀察點(diǎn)與目標(biāo)點(diǎn)之間的位置關(guān)系,其范圍均是.C.方位角210°的方向與南偏西30°的方向一致.D.方位角是指從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線所成的水平角.題2.如圖,為了測(cè)量隧道AB的長(zhǎng)度,給定下列四組數(shù)據(jù),測(cè)量時(shí)應(yīng)選用數(shù)據(jù)()A. B. C. D.題3.已知兩座建筑A,B與規(guī)劃測(cè)量點(diǎn)C的距離相等,A在C的北偏東40°,B在C的南偏東60°,則A在B的 ()A.北偏東10° B.北偏西10°C.南偏東10° D.南偏西10°關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類型一測(cè)量距離、高度問(wèn)題(數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算)【題組訓(xùn)練】題4.如圖所示,設(shè)A,B兩點(diǎn)在河的兩岸,一測(cè)量者與A在河的同側(cè),在A所在的河岸邊先確定一點(diǎn)C,測(cè)出A,C的距離為50m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,可以計(jì)算出A,B兩點(diǎn)的距離為 () 題5.已知船A在燈塔C北偏東85°且到C的距離為2km,船B在燈塔C北偏西65°且到C的距離為km,則A、B兩船的距離為 ()A.km 題6.如圖所示,D,C,B在地平面同一直線上,DC=10m,從D,C兩地測(cè)得A點(diǎn)的仰角分別為30°和45°,則A點(diǎn)離地面的高AB等于 ()m 【解題策略】1.求距離問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意的兩點(diǎn)(1)選定或確定所求量所在的三角形,若其他量已知,則直接求解;若有未知量,則先把未知量放在另一確定三角形中求解.(2)確定用正弦定理還是余弦定理,如果都可用,就選擇更便于計(jì)算的定理.2.解決測(cè)量高度問(wèn)題的一般步驟(1)畫圖:根據(jù)已知條件畫出示意圖.(2)分析三角形:分析與問(wèn)題有關(guān)的三角形,在高度問(wèn)題中,經(jīng)常用到直角三角形.(3)求解:運(yùn)用正、余弦定理,有序地解相關(guān)的三角形,逐步求解.在解題中,要綜合運(yùn)用平面幾何知識(shí),注意方程思想的運(yùn)用.【補(bǔ)償訓(xùn)練】題7.如圖所示,為了測(cè)定河的寬度,在一岸邊選定兩點(diǎn)A、B,望對(duì)岸標(biāo)記物C,測(cè)得∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120m,則河的寬度為 ()m m m m題8.在一幢20m高的樓頂測(cè)得對(duì)面一塔吊頂?shù)难鼋菫?0°,塔基的俯角為45°,那么這座塔吊的高是 ()A.B.C.D.類型二測(cè)量角度問(wèn)題(數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】題9.在海岸A處,發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向,距離A為海里的B處有一艘走私船,在A處北偏西75°方向,距離A為2海里的C處有一艘緝私艇奉命以海里/時(shí)的速度追截走私船,此時(shí),走私船正以10海里/時(shí)的速度從B處向北偏東30°方向逃竄.(1)問(wèn)C與B相距多少海里?C在B的什么方向?(2)問(wèn)緝私艇沿什么方向行駛才能最快追上走私船?并求出所需時(shí)間.【解題策略】解決測(cè)量角度的常用方法與注意點(diǎn)(1)測(cè)量角度問(wèn)題的關(guān)鍵是弄清題意,畫出圖形,并在圖形中標(biāo)出有關(guān)的角和距離,再用正弦定理或余弦定理解三角形,最后將結(jié)果轉(zhuǎn)化為實(shí)際問(wèn)題的解.(2)求角的度數(shù)時(shí),多用余弦定理求角.因?yàn)橛嘞液瘮?shù)在上是單調(diào)遞減的,而正弦函數(shù)不單調(diào),一個(gè)正弦值可能對(duì)應(yīng)兩個(gè)角.若角在上時(shí),用正、余弦定理皆可.【跟蹤訓(xùn)練】題10.甲船在A處觀察到乙船在它的北偏東60°方向的B處,兩船相距anmile,乙船向正北方向行駛.若甲船的速度是乙船速度的倍,問(wèn)甲船應(yīng)沿什么方向前進(jìn)才能最快追上乙船?相遇時(shí)乙船行駛了多少nmile?【拓展延伸】1.函數(shù)與方程思想在距離問(wèn)題中的應(yīng)用(1)函數(shù)思想的應(yīng)用將三角形中邊角之間的關(guān)系問(wèn)題借助余弦定理和正弦定理建立函數(shù)關(guān)系,結(jié)合有關(guān)函數(shù)的圖象和性質(zhì),加以分析、轉(zhuǎn)化、解決有關(guān)求取值范圍、最大(小)值問(wèn)題.(2)方程思想的應(yīng)用余弦定理和正弦定理涉及三個(gè)邊和三個(gè)角共六個(gè)量,只要知道其中三個(gè)獨(dú)立的量(必須有邊)就能求出其余三個(gè)量.因此,解三角形的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題中,直接求相關(guān)量較難時(shí),通常將問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系運(yùn)用這兩個(gè)定理轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型(方程、方程組)加以解決.【拓展訓(xùn)練】題11.某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上,在小艇出發(fā)時(shí),輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處,并正以30海里/小時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛.假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里/小時(shí)的航行速度勻速行駛,經(jīng)過(guò)t小時(shí)與輪船相遇.(1)若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小,則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少?(2)為保證小艇在30分鐘內(nèi)(含30分鐘)能與輪船相遇,試確定小艇航行速度的最小值.類型三余弦定理、正弦定理的綜合應(yīng)用(數(shù)學(xué)建模)角度1余弦定理、正弦定理在立體幾何中的應(yīng)用【典例】題12.如圖,為了測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB,有不同的方案,其中之一是選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C和D,測(cè)得CD=200米,在C點(diǎn)和D點(diǎn)測(cè)得塔頂A的仰角分別是45°和30°,且∠CBD=30°,求塔高AB.角度2余弦定理、正弦定理在三角形中的應(yīng)用【典例】題13.如圖,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=,BC=1,P為△ABC內(nèi)一點(diǎn),∠BPC=90°.(1)若PB=,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA.【解題策略】在復(fù)雜圖形中利用正弦定理、余弦定理解題的方法(1)分析復(fù)雜圖形,找準(zhǔn)需要解決的問(wèn)題所在的三角形,找出該三角形與其他三角形之間的關(guān)系.(2)根據(jù)題目給出的條件,適當(dāng)選用正弦定理或余弦定理解題.【題組訓(xùn)練】題14.瑞云塔是福清著名的歷史文化古跡.如圖,一研究小組同學(xué)為了估測(cè)塔的高度,在塔底D和A,B(與塔底D同一水平面)處進(jìn)行測(cè)量,在點(diǎn)A,B處測(cè)得塔頂C的仰角分別為45°,30°,且A,B兩點(diǎn)相距91m,由點(diǎn)D看A,B的張角為150°,則瑞云塔的高度CD= ()mB.mC.mD.m題15.如圖所示,位于A處的信息中心獲悉:在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn),在原地等待營(yíng)救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C處的乙船,現(xiàn)乙船朝北偏東的方向沿直線CB前往B處救援,則________.【補(bǔ)償訓(xùn)練】題16.某海域的東西方向上分別有A,B兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)(如圖),它們相距海里.現(xiàn)有一艘輪船在D點(diǎn)發(fā)出求救信號(hào),經(jīng)探測(cè)得知D點(diǎn)位于A點(diǎn)北偏東45°,B點(diǎn)北偏西60°,這時(shí),位于B點(diǎn)南偏西60°且與B點(diǎn)相距海里的C點(diǎn)有一救援船,其航行速度為30海里/小時(shí).(1)求B點(diǎn)到D點(diǎn)的距離BD;(2)若命令C處的救援船立即前往D點(diǎn)營(yíng)救,求該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要的時(shí)間.題17.如圖,某公園內(nèi)有兩條道路AB,AP,現(xiàn)計(jì)劃在AP上選擇一點(diǎn)C,新建道路BC,并把△ABC所在區(qū)域改造成綠化區(qū)域,已知km.(1)若綠化區(qū)域△ABC的面積為1km2,求道路BC的長(zhǎng)度;(2)綠化區(qū)域△ABC每平方千米的改造費(fèi)用與新建道路BC每千米修建費(fèi)用都是∠ACB的函數(shù),其中綠化區(qū)域△ABC改造費(fèi)用為(單位:萬(wàn)元/平方千米),新建道路BC新建費(fèi)用為(單位:萬(wàn)元/千米),設(shè),某工程隊(duì)承包了該公園的綠化區(qū)域改造與新道路修建,已知綠化區(qū)域改造費(fèi)與道路新建費(fèi)用越高,則工程隊(duì)所獲利潤(rùn)也越高,試問(wèn)當(dāng)為何值時(shí),該工程隊(duì)獲得最高利潤(rùn)?課堂檢測(cè)·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)題18.如圖,兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等,燈塔A在觀察站南偏西40°,燈塔B在觀察站南偏東60°,則燈塔A在燈塔B的 ()A.北偏東10° B.北偏西10°C.南偏東80° D.南偏西80°題19.一海輪從A處出發(fā),以每小時(shí)40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行,30分鐘后到達(dá)B處.在C處有一座燈塔,海輪在A處觀察燈塔,其方向是南偏東70°,在B處觀察燈塔,其方向是北偏東65°,那么B,C兩點(diǎn)間的距離是 ()A.海里 B.海里C.海里 D.海里題20.如圖所示,在山底A處測(cè)得山頂B的仰角∠CAB=45°,沿傾斜角為30°的山坡向山頂走1000m到達(dá)S點(diǎn),又測(cè)得山頂仰角∠DSB=75°,則山高BC為 ()A.m B.mC.m D.m題21.一輪船從A點(diǎn)沿北偏東70°的方向行駛10海里至海島B,又從B沿北偏東10°的方向行駛10海里至海島C,若此輪船從A點(diǎn)直接沿直線行駛至海島C,則此船沿________方向行駛________海里至海島C.題22.海上某貨輪在A處看燈塔B在貨輪北偏東75°,距離為海里;在A處看燈塔C,在貨輪的北偏西30°,距離為海里;貨輪向正北由A處航行到D處時(shí)看燈塔B在南偏東60°,求:(1)A處與D處之間的距離;(2)燈塔C與D處之間的距離.編號(hào)：019課題:§余弦定理、正弦定理的應(yīng)用目標(biāo)要求1、理解并掌握解三角形中的常見(jiàn)術(shù)語(yǔ)問(wèn)題．2、理解并掌握測(cè)量距離、高度問(wèn)題．3、理解并掌握測(cè)量角度問(wèn)題．4、理解并掌握正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用問(wèn)題.學(xué)科素養(yǎng)目標(biāo)解三角形是高中數(shù)學(xué)的重要教學(xué)內(nèi)容，它涉及三角形的邊、角、面積，以及三角函數(shù)、圓等知識(shí)，綜合性較強(qiáng).在解三角形的教學(xué)中，重點(diǎn)講解如何運(yùn)用正弦定理和余弦定理解三角形問(wèn)題，以及判斷三角形的解.做好解三角形的教學(xué)，不但可以提高學(xué)生的解題能力，而且還對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思路的發(fā)展有幫助.重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：測(cè)量距離、高度、角度問(wèn)題；難點(diǎn)：正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用問(wèn)題．教學(xué)過(guò)程基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)1.解三角形中的常見(jiàn)術(shù)語(yǔ)術(shù)語(yǔ)名稱術(shù)語(yǔ)意義圖形表示仰角與俯角與目標(biāo)視線在同一鉛直平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角,目標(biāo)視線在水平視線___上方__時(shí)叫仰角,目標(biāo)視線在水平視線__下午___時(shí)叫俯角.方位角從正北方向___順時(shí)針____轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線所成的水平角,如點(diǎn)B的方位角為(如圖所示).方位角的取值范圍:0°～360°.方向角指以觀測(cè)者為中心,指北或指南的方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角,它是方位角的另一種表示形式.如圖,左圖中表示北偏東30°,右圖中表示南偏西60°.2.本質(zhì):仰角、俯角、方位角等都是在生產(chǎn)、生活中為方便使用而人為定義的.方向角亦是在測(cè)量中人為設(shè)置的量.3.應(yīng)用:仰角、俯角、方向角、方位角等經(jīng)常用于求距離、高度和角度的題目中.選擇合適的角可以簡(jiǎn)化運(yùn)算,提高測(cè)量的精確度.【課前基礎(chǔ)演練】題1.（多選）下列命題正確的是()A.若P在Q的北偏東44°方向,則Q在P的東偏北44°方向.B.方位角與方向角其實(shí)質(zhì)是一樣的,均是確定觀察點(diǎn)與目標(biāo)點(diǎn)之間的位置關(guān)系,其范圍均是.C.方位角210°的方向與南偏西30°的方向一致.D.方位角是指從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線所成的水平角.【答案】選CD提示:A×.因?yàn)槿鬚在Q的北偏東44°方向,則Q應(yīng)在P的南偏西44°方向.B×.因?yàn)榉较蚪堑姆秶鸀?°～90°,而方位角的范圍為0°～360°.C√.由方位角與方向角的定義知正確.D√.方位角是指從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線所成的水平角，這是方位角的定義.題2.如圖,為了測(cè)量隧道AB的長(zhǎng)度,給定下列四組數(shù)據(jù),測(cè)量時(shí)應(yīng)選用數(shù)據(jù)()A. B. C. D.【解析】選C.選擇a,b,γ可直接利用余弦定理求解,而無(wú)法測(cè)量得到,故排除A,B,D.選C.題3.已知兩座建筑A,B與規(guī)劃測(cè)量點(diǎn)C的距離相等,A在C的北偏東40°,B在C的南偏東60°,則A在B的 ()A.北偏東10° B.北偏西10°C.南偏東10° D.南偏西10°【解析】選B.如圖,由題意可知△ABC為等腰三角形,∠ACB=80°,所以∠CBA=(180°-80°)=50°,又60°-50°=10°.所以A在B的北偏西10°.關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類型一測(cè)量距離、高度問(wèn)題(數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算)【題組訓(xùn)練】題4.如圖所示,設(shè)A,B兩點(diǎn)在河的兩岸,一測(cè)量者與A在河的同側(cè),在A所在的河岸邊先確定一點(diǎn)C,測(cè)出A,C的距離為50m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,可以計(jì)算出A,B兩點(diǎn)的距離為 () 【解析】選A.∠ABC=180°-45°-105°=30°,在△ABC中由，得(m).題5.已知船A在燈塔C北偏東85°且到C的距離為2km,船B在燈塔C北偏西65°且到C的距離為km,則A、B兩船的距離為 ()A.km 【解析】選D.如圖可知∠ACB=85°+65°=150°,AC=2km,BC=km,所以,所以AB=km.題6.如圖所示,D,C,B在地平面同一直線上,DC=10m,從D,C兩地測(cè)得A點(diǎn)的仰角分別為30°和45°,則A點(diǎn)離地面的高AB等于 ()m 【解析】選D.方法一:設(shè)AB=xm,則BC=xm.所以BD=(10+x)m.所以，解.所以A點(diǎn)離地面的高AB等于m.方法二:因?yàn)椤螦CB=45°,所以∠ACD=135°,所以∠CAD=180°-135°-30°=15°.由正弦定理,得(m),所以AB=ACsin45°m.【解題策略】1.求距離問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意的兩點(diǎn)(1)選定或確定所求量所在的三角形,若其他量已知,則直接求解;若有未知量,則先把未知量放在另一確定三角形中求解.(2)確定用正弦定理還是余弦定理,如果都可用,就選擇更便于計(jì)算的定理.2.解決測(cè)量高度問(wèn)題的一般步驟(1)畫圖:根據(jù)已知條件畫出示意圖.(2)分析三角形:分析與問(wèn)題有關(guān)的三角形,在高度問(wèn)題中,經(jīng)常用到直角三角形.(3)求解:運(yùn)用正、余弦定理,有序地解相關(guān)的三角形,逐步求解.在解題中,要綜合運(yùn)用平面幾何知識(shí),注意方程思想的運(yùn)用.【補(bǔ)償訓(xùn)練】題7.如圖所示,為了測(cè)定河的寬度,在一岸邊選定兩點(diǎn)A、B,望對(duì)岸標(biāo)記物C,測(cè)得∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120m,則河的寬度為 ()m m m m【解析】選D.在△ABC中,∠CAB=30°,∠CBA=75°,所以∠ACB=75°,∠ACB=∠ABC.所以AC=AB=120m.如圖,作CD⊥AB,垂足為D,則CD即為河的寬度.在Rt△ACD中,由正弦定理,得，所以，所以CD=60,所以河的寬度為60m.題8.在一幢20m高的樓頂測(cè)得對(duì)面一塔吊頂?shù)难鼋菫?0°,塔基的俯角為45°,那么這座塔吊的高是 ()A.B.C.D.【解析】選B.如圖,由條件知四邊形ABCD為正方形,所以AB=CD=BC=AD=20m.在△DCE中,∠EDC=60°,∠DCE=90°,CD=20m,所以EC=CD·tan60°=20(m),所以BE=BC+CE=(20+20)=20(1+)m.類型二測(cè)量角度問(wèn)題(數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】題9.在海岸A處,發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向,距離A為海里的B處有一艘走私船,在A處北偏西75°方向,距離A為2海里的C處有一艘緝私艇奉命以海里/時(shí)的速度追截走私船,此時(shí),走私船正以10海里/時(shí)的速度從B處向北偏東30°方向逃竄.(1)問(wèn)C與B相距多少海里?C在B的什么方向?(2)問(wèn)緝私艇沿什么方向行駛才能最快追上走私船?并求出所需時(shí)間.【解題策略】解決測(cè)量角度的常用方法與注意點(diǎn)(1)測(cè)量角度問(wèn)題的關(guān)鍵是弄清題意,畫出圖形,并在圖形中標(biāo)出有關(guān)的角和距離,再用正弦定理或余弦定理解三角形,最后將結(jié)果轉(zhuǎn)化為實(shí)際問(wèn)題的解.(2)求角的度數(shù)時(shí),多用余弦定理求角.因?yàn)橛嘞液瘮?shù)在上是單調(diào)遞減的,而正弦函數(shù)不單調(diào),一個(gè)正弦值可能對(duì)應(yīng)兩個(gè)角.若角在上時(shí),用正、余弦定理皆可.【跟蹤訓(xùn)練】題10.甲船在A處觀察到乙船在它的北偏東60°方向的B處,兩船相距anmile,乙船向正北方向行駛.若甲船的速度是乙船速度的倍,問(wèn)甲船應(yīng)沿什么方向前進(jìn)才能最快追上乙船?相遇時(shí)乙船行駛了多少nmile?【解析】如圖所示,設(shè)兩船在C處相遇,并設(shè)∠CAB=,乙船行駛距離BC為xnmile,則AC=x,由正弦定理得，而,所以,所以∠ACB=30°,BC=AB=a.所以甲船應(yīng)沿北偏東30°方向前進(jìn)才能最快追上乙船,兩船相遇時(shí)乙船行駛了anmile.【拓展延伸】1.函數(shù)與方程思想在距離問(wèn)題中的應(yīng)用(1)函數(shù)思想的應(yīng)用將三角形中邊角之間的關(guān)系問(wèn)題借助余弦定理和正弦定理建立函數(shù)關(guān)系,結(jié)合有關(guān)函數(shù)的圖象和性質(zhì),加以分析、轉(zhuǎn)化、解決有關(guān)求取值范圍、最大(小)值問(wèn)題.(2)方程思想的應(yīng)用余弦定理和正弦定理涉及三個(gè)邊和三個(gè)角共六個(gè)量,只要知道其中三個(gè)獨(dú)立的量(必須有邊)就能求出其余三個(gè)量.因此,解三角形的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題中,直接求相關(guān)量較難時(shí),通常將問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系運(yùn)用這兩個(gè)定理轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型(方程、方程組)加以解決.【拓展訓(xùn)練】題11.某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上,在小艇出發(fā)時(shí),輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處,并正以30海里/小時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛.假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里/小時(shí)的航行速度勻速行駛,經(jīng)過(guò)t小時(shí)與輪船相遇.(1)若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小,則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少?(2)為保證小艇在30分鐘內(nèi)(含30分鐘)能與輪船相遇,試確定小艇航行速度的最小值.【思路導(dǎo)引】(1)設(shè)相遇時(shí)小艇的航行距離為S海里,根據(jù)余弦定理可得S關(guān)于t的表達(dá)式為,進(jìn)而可知當(dāng)時(shí),S有最小值為,進(jìn)而求得此時(shí)的速度v.(2)設(shè)小艇與輪船在B處相遇.根據(jù)余弦定理可得v關(guān)于t的表達(dá)式,再根據(jù)t的范圍及二次函數(shù)的單調(diào)性求得v的最小值及此時(shí)t的值.【解析】(1)設(shè)相遇時(shí)小艇航行的距離為S海里,則.故當(dāng)時(shí),(海里/小時(shí)).即小艇以海里/小時(shí)的速度航行,相遇時(shí)小艇的航行距離最小.(2)設(shè)小艇與輪船在B處相遇,如圖所示.由題意可得:,化簡(jiǎn)得，由于,即,所以當(dāng)時(shí)v取得最小值,即小艇航行速度的最小值為海里/小時(shí).類型三余弦定理、正弦定理的綜合應(yīng)用(數(shù)學(xué)建模)角度1余弦定理、正弦定理在立體幾何中的應(yīng)用【典例】題12.如圖,為了測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB,有不同的方案,其中之一是選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C和D,測(cè)得CD=200米,在C點(diǎn)和D點(diǎn)測(cè)得塔頂A的仰角分別是45°和30°,且∠CBD=30°,求塔高AB.【思路導(dǎo)引】設(shè)AB=h.表示出BC=h,BD=h,然后在△BCD中利用余弦定理求解.【解析】在Rt△ABC中,∠ACB=45°,若設(shè)AB=h,則BC=h.在Rt△ABD中,∠ADB=30°,則BD=h.在△BCD中,由余弦定理可得,即,所以,解得h=200(h=-200舍去),即塔高AB=200米.角度2余弦定理、正弦定理在三角形中的應(yīng)用【典例】題13.如圖,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=,BC=1,P為△ABC內(nèi)一點(diǎn),∠BPC=90°.(1)若PB=,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA.【思路導(dǎo)引】(1)根據(jù)PB,BC的值及∠BPC求出∠PBC的值,再在△ABP中,求出∠PBA,利用余弦定理求出PA的長(zhǎng).(2)根據(jù)∠PBA+∠PAB=30°,用∠PBA表示∠PAB,再利用正弦定理求出tan∠PBA.【解析】(1)由已知得,∠PBC=60°,所以∠PBA=30°,在△ABP中,由余弦定理得,所以(負(fù)值舍去).(2)設(shè)∠PBA=,所以∠PCB=,PB=sin.在△PBA中,由正弦定理得,，化簡(jiǎn)得，所以，即.【解題策略】在復(fù)雜圖形中利用正弦定理、余弦定理解題的方法(1)分析復(fù)雜圖形,找準(zhǔn)需要解決的問(wèn)題所在的三角形,找出該三角形與其他三角形之間的關(guān)系.(2)根據(jù)題目給出的條件,適當(dāng)選用正弦定理或余弦定理解題.【題組訓(xùn)練】題14.瑞云塔是福清著名的歷史文化古跡.如圖,一研究小組同學(xué)為了估測(cè)塔的高度,在塔底D和A,B(與塔底D同一水平面)處進(jìn)行測(cè)量,在點(diǎn)A,B處測(cè)得塔頂C的仰角分別為45°,30°,且A,B兩點(diǎn)相距91m,由點(diǎn)D看A,B的張角為150°,則瑞云塔的高度CD= ()mB.mC.mD.m【解析】選C.設(shè)CD=h,因?yàn)樵邳c(diǎn)A,B處測(cè)得塔頂C的仰角分別為45°,30°,所以BD=h,AD=h,因?yàn)?所以,即(負(fù)值舍去).題15.如圖所示,位于A處的信息中心獲悉:在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn),在原地等待營(yíng)救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C處的乙船,現(xiàn)乙船朝北偏東的方向沿直線CB前往B處救援,則________.【解析】在△ABC中,AB=40,AC=20,∠BAC=120°,由余弦定理知.由正弦定理,則∠ACB為銳角,.由∠ACB+30°,則cos=cos(∠ACB+30°)=cos∠ACB·cos30°-sin∠ACB·sin30°=.答案:【補(bǔ)償訓(xùn)練】題16.某海域的東西方向上分別有A,B兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)(如圖),它們相距海里.現(xiàn)有一艘輪船在D點(diǎn)發(fā)出求救信號(hào),經(jīng)探測(cè)得知D點(diǎn)位于A點(diǎn)北偏東45°,B點(diǎn)北偏西60°,這時(shí),位于B點(diǎn)南偏西60°且與B點(diǎn)相距海里的C點(diǎn)有一救援船,其航行速度為30海里/小時(shí).(1)求B點(diǎn)到D點(diǎn)的距離BD;(2)若命令C處的救援船立即前往D點(diǎn)營(yíng)救,求該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要的時(shí)間.【解析】(1)由題意知海里,∠DBA=90°-60°=30°,∠DAB=90°-45°=45°,所以∠ADB=180°-(45°+30°)=105°,在△DAB中,由正弦定理得，(2)在△DBC中,∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+(90°-60°)=60°,BC(海里),由余弦定理得,所以CD=30(海里),則需要的時(shí)間(小時(shí)).答:救援船到達(dá)D點(diǎn)需要1小時(shí).題17.如圖,某公園內(nèi)有兩條道路AB,AP,現(xiàn)計(jì)劃在AP上選擇一點(diǎn)C,新建道路BC,并把△ABC所在區(qū)域改造成綠化區(qū)域,已知km.(1)若綠化區(qū)域△ABC的面積為1km2,求道路BC的長(zhǎng)度;(2)綠化區(qū)域△ABC每平方千米的改造費(fèi)用與新建道路BC每千米修建費(fèi)用都是∠ACB的函數(shù),其中綠化區(qū)域△ABC改造費(fèi)用為(單位:萬(wàn)元/平方千米),新建道路BC新建費(fèi)用為(單位:萬(wàn)元/千米),設(shè),某工程隊(duì)承包了該公園的綠化區(qū)域改造與新道路修建,已知綠化區(qū)域改造費(fèi)與道路新建費(fèi)用越高,則工程隊(duì)所獲利潤(rùn)也越高,試問(wèn)當(dāng)為何值時(shí),該工程隊(duì)獲得最高利潤(rùn)?【解析】(1)因?yàn)榫G化區(qū)域△ABC的面積為1km2,所以.因?yàn)?所以,得AC=2,由余弦定理得,所以即BC的長(zhǎng)度為.(2)設(shè)綠化區(qū)域改造費(fèi)與道路新建費(fèi)用之和為y萬(wàn)元.因?yàn)?所以,由正弦定理，得，則由題