d1-10連續(xù)函數(shù)性質(zhì)習(xí)題課

第十節(jié)一、最值定理二、介值定理

三、連續(xù)與間斷小結(jié)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

第一章

注意:

若函數(shù)在開(kāi)區(qū)間上連續(xù),結(jié)論不一定成立.一、最值定理定理1.在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)即:設(shè)則使值和最小值.或在閉區(qū)間內(nèi)有間斷在該區(qū)間上一定有最大(證明略)點(diǎn)

,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例如,無(wú)最大值和最小值也無(wú)最大值和最小值又如,

機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束推論.

由定理1可知有證:

設(shè)上有界.二、介值定理定理2.

(零點(diǎn)定理)至少有一點(diǎn)且使機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(證明略)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界.定理3.(介值定理)設(shè)且則對(duì)A

與B

之間的任一數(shù)C,一點(diǎn)證:

作輔助函數(shù)則且故由零點(diǎn)定理知,至少有一點(diǎn)使即推論:使至少有在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必取得介于最小值與最大值之間的任何值.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1.證明方程一個(gè)根.證:顯然又故據(jù)零點(diǎn)定理,至少存在一點(diǎn)使即說(shuō)明:內(nèi)必有方程的根;取的中點(diǎn)內(nèi)必有方程的根;可用此法求近似根.二分法在區(qū)間內(nèi)至少有機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束則則上連續(xù),且恒為正,例2.

設(shè)在對(duì)任意的必存在一點(diǎn)證:使令,則使故由零點(diǎn)定理知,存在即當(dāng)時(shí),取或,則有證明:小結(jié)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)在上達(dá)到最大值與最小值;上可取最大與最小值之間的任何值;4.當(dāng)時(shí),使必存在上有界;在在機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束1.

任給一張面積為A

的紙片(如圖),證明必可將它思考與練習(xí)一刀剪為面積相等的兩片.提示:建立坐標(biāo)系如圖.則面積函數(shù)因故由介值定理可知:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束證明至少存在使提示:

令則易證2.

設(shè)一點(diǎn)習(xí)題課目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束三、連續(xù)與間斷小結(jié)1.函數(shù)連續(xù)的等價(jià)形式有2.函數(shù)間斷點(diǎn)第一類(lèi)間斷點(diǎn)第二類(lèi)間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束有界定理;最值定理;零點(diǎn)定理;介值定理.3.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)例1.

設(shè)函數(shù)在x=0連續(xù),則

a=

,b=

.提示:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束有無(wú)窮間斷點(diǎn)及可去間斷點(diǎn)解:為無(wú)窮間斷點(diǎn),所以為可去間斷點(diǎn),極限存在例2.

設(shè)函數(shù)試確定常數(shù)a

及b.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例3.

設(shè)

f(x)

定義在區(qū)間上,,若f(x)在連續(xù),提示:閱讀與練習(xí)且對(duì)任意實(shí)數(shù)證明f(x)

對(duì)一切

x

都連續(xù)

.P73題5機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束證:P73題5.

證明:若令則給定當(dāng)時(shí),有又根據(jù)有界性定理,,使取則在內(nèi)連續(xù),存在,則必在內(nèi)有界.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例4.

確定常數(shù)a,b,

使解:原式故于是而機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例5.

當(dāng)時(shí),是的幾階無(wú)窮小?解:

設(shè)其為的階無(wú)窮小,則因故機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束閱讀與練習(xí)1.求的間斷點(diǎn),并判別其類(lèi)型.解:

x=–1為第一類(lèi)可去間斷點(diǎn)

x=1為第二類(lèi)無(wú)窮間斷點(diǎn)

x=0為第一類(lèi)跳躍間斷點(diǎn)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

2.

求解:原式=1(2000考研)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

作業(yè)P73題2;3;4；P743(2),(3);8(1),(4),(5);9;10;11;12機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束3.求解