基本不等式原理及其變通

基本不等式原理及其變通第一頁，共四十頁，2022年，8月28日問題提出1.不等式有許多基本性質(zhì)，同時(shí)還有一些顯而易見的結(jié)論，如a2≥0，|a|≥0，|a|≥a等，這些性質(zhì)都是研究不等式問題的理論依據(jù).在實(shí)際應(yīng)用中，我們還需要有相應(yīng)的不等式原理.第二頁，共四十頁，2022年，8月28日2.如圖是在北京召開的第24界國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)，它是根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去象一個(gè)風(fēng)車，代表中國人民熱情好客.在這個(gè)圖案中既有一些相等關(guān)系，也有一些不等關(guān)系，對這些等與不等的關(guān)系，我們作些相應(yīng)研究.第三頁，共四十頁，2022年，8月28日基本不等式原理及其變通第四頁，共四十頁，2022年，8月28日探究（一）:基本不等式的原理|a－b|

思考1：將圖中的“風(fēng)車”抽象成如圖，在正方形ABCD中有4個(gè)全等的直角三角形.設(shè)直角三角形的兩條直角邊長為a，b那么正方形ABCD和EFGH的邊長分別為多少？ABCDEFGH第五頁，共四十頁，2022年，8月28日思考2：圖中正方形ABCD的面積與4個(gè)直角三角形的面積之和有什么不等關(guān)系？由此可得到一個(gè)什么不等式？

a2＋b2≥2ab

思考3：從圖形分析,上述不等式在什么情況下取等號？當(dāng)直角三角形為等腰直角三角形，即a＝b時(shí)，a2＋b2＝2ab.ABCDEFGH第六頁，共四十頁，2022年，8月28日思考4：在上面的圖形背景中，a，b都是正數(shù)，那么當(dāng)a，b∈R時(shí)，不等式a2＋b2≥2ab成立嗎？為什么？

一般地，對于任意實(shí)數(shù)a，b，有:a2＋b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號成立.ABCDEFGH第七頁，共四十頁，2022年，8月28日思考5：特別地，如果a＞0，b＞0，我們用、分別代替a、b，可得什么不等式?當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號成立.第八頁，共四十頁，2022年，8月28日思考6：不等式稱為基本不等式，它溝通了兩個(gè)正數(shù)的和與積的不等關(guān)系，在實(shí)際問題中有廣泛的應(yīng)用，你能用分析法證明嗎？第九頁，共四十頁，2022年，8月28日思考7：我們稱和分別為a，b的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)，如何用文字語言表述基本不等式？

兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).

第十頁，共四十頁，2022年，8月28日思考8：如圖，在直角三角形ABC中，CD為斜邊上的高，CO為斜邊上中線，你能利用這個(gè)圖形對基本不等式作出幾何解釋嗎？ABCDO第十一頁，共四十頁，2022年，8月28日探究（二）：基本不等式的變通思考1：將基本不等式兩邊平方可得什么結(jié)論？它與不等式a2＋b2≥2ab有什么內(nèi)在聯(lián)系？第十二頁，共四十頁，2022年，8月28日思考2：在不等式a2＋b2≥2ab兩邊同加上a2＋b2可得什么結(jié)論？所得不等式有什么特色？

它反映了兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方和與它們的和的平方的不等關(guān)系，稱為平方平均不等式，其數(shù)學(xué)意義是：兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的算術(shù)平均數(shù)的平方.第十三頁，共四十頁，2022年，8月28日思考3:將不等式兩邊同乘以，可變通出一些什么結(jié)論？第十四頁，共四十頁，2022年，8月28日理論遷移

例1已知x、y都是正數(shù)，求證：(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥８x3y3

例2已知a2＋b2＋c2＝1，求證：(a＋b＋c)3≤3.第十五頁，共四十頁，2022年，8月28日小結(jié)作業(yè)2.基本不等式有多種形式，應(yīng)用時(shí)具有很大的靈活性，既可直接應(yīng)用也可變式應(yīng)用.一般地，遇到和與積，平方和與積，平方和與和的平方等不等式問題時(shí)，常利用基本不等式處理1.不等式a2＋b2≥2ab與都是基本不等式，它們成立的條件不同，前者a、b可為任意實(shí)數(shù)，后者要求a、b都是正數(shù)，但二者等號成立的條件相同.第十六頁，共四十頁，2022年，8月28日3.當(dāng)a、b都是正數(shù)時(shí)，有不等式鏈

作業(yè)：

P100習(xí)題3.4A組：1，2.第十七頁，共四十頁，2022年，8月28日第二課時(shí)

3.4基本不等式第十八頁，共四十頁，2022年，8月28日問題提出1.基本不等式有哪幾種基本形式？（1）a2＋b2≥2ab（a，b∈R），當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號成立；（2）(a＞0，b＞0)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號成立；（3）(a＞0，b＞0)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號成立；第十九頁，共四十頁，2022年，8月28日2.函數(shù)的最大值和最小值的含義分別是什么？3.在一定條件下，利用基本不等式可以求出變量的極端值，因此，利用基本不等式求最值就成為一種重要的數(shù)學(xué)方法.最大值:f(x)≤M，且等號成立;最小值:f(x)≥m，且等號成立.第二十頁，共四十頁，2022年，8月28日基本不等式與最值第二十一頁，共四十頁，2022年，8月28日探究（一）：基本不等式與最值原理思考1：在基本不等式

(a＞0，b＞0)中，如果a·b＝P為定值，能得到什么原理？原理一：若兩個(gè)正數(shù)的積為定值，則當(dāng)這兩個(gè)正數(shù)相等時(shí)它們的和取最小值.第二十二頁，共四十頁，2022年，8月28日思考2：在基本不等式

(a＞0，b＞0)中，如果a＋b＝S為定值，又能得到什么原理？原理二：若兩個(gè)正數(shù)的和為定值，則當(dāng)這兩個(gè)正數(shù)相等時(shí)它們的積取最大值.第二十三頁，共四十頁，2022年，8月28日思考3：能否由得函數(shù)的最小值是2嗎？思考4：當(dāng)x≥4時(shí),能否由得函數(shù)的最小值是4嗎？第二十四頁，共四十頁，2022年，8月28日思考6：利用基本不等式求兩個(gè)變量的和的最小值(或積的最大值)，應(yīng)具備哪些基本條件？思考5：當(dāng)x∈(0，π)時(shí)，能否由，得函數(shù)的最小值是嗎？

一正二定三相等第二十五頁，共四十頁，2022年，8月28日探究（二）基本不等式求最值的實(shí)際應(yīng)用【背景材料】在農(nóng)村，為防止家畜家禽對菜地的破壞，常用籬笆圍成一個(gè)菜園.如果菜園的面積一定，為節(jié)省材料，就應(yīng)考慮所用籬笆最短的問題；如果所用籬笆的長度一定，為了充分利用材料，就用考慮所圍菜園面積最大的問題第二十六頁，共四十頁，2022年，8月28日思考1：如果用籬笆圍成一個(gè)面積為100m2的矩形菜園，所用籬笆的總長度是定值？還是變量？思考2：如何設(shè)計(jì)這個(gè)矩形菜園的長和寬，才能使所用籬笆最短，最短的籬笆是多少？矩形的長、寬都為10m時(shí)，所用籬笆最短，最短的籬笆是40m.第二十七頁，共四十頁，2022年，8月28日思考3：用一段長為36m的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，所圍成的矩形菜園的面積是定值？還是變量？思考4:如何設(shè)計(jì)這個(gè)矩形菜園的長和寬，才能使菜園的面積最大，最大面積是多少?矩形的長、寬都為9m時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是81m2...第二十八頁，共四十頁，2022年，8月28日思考5：若矩形菜園的一邊靠墻，另外三邊用一段長為36m的籬笆圍成，如何設(shè)計(jì)這個(gè)矩形菜園的長和寬，才能使菜園的面積最大，最大面積是多少?..矩形的長為18m，寬為9m時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是162m2.第二十九頁，共四十頁，2022年，8月28日理論遷移

例1某工廠要建造一個(gè)長方體無蓋貯水池，其容積為4800m3，深為3m.如果池底每平方米的造價(jià)為150元，池壁每平方米的造價(jià)為120元，問怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低，最低總造價(jià)是多少元？當(dāng)水池底面是邊長為40m的正方形時(shí)，水池的總造價(jià)最低，最低總造價(jià)是297600元.第三十頁，共四十頁，2022年，8月28日

例2某食品廠定期購買面粉，已知該廠每天需要購買面粉6噸，每噸面粉的價(jià)格為1800元，面粉的保管費(fèi)等其他費(fèi)用為平均每噸每天3元，購買面粉每次需支付運(yùn)輸費(fèi)900元.問該廠每隔多少天購買一次面粉，才能使平均每天所支付的費(fèi)用最少？最少費(fèi)用是多少？每隔10天購買一次面粉，能使平均每天所支付的費(fèi)用最少，最少費(fèi)用是10989元.第三十一頁，共四十頁，2022年，8月28日1.用基本不等式求函數(shù)的最值，是一種很重要的方法，應(yīng)用時(shí)要注意下列三個(gè)條件：(1)函數(shù)解析式中各變量均為正數(shù)；(2)含變量的兩項(xiàng)的和或積為定值；(3)含變量的兩項(xiàng)可以相等，即“一正二定三相等”.小結(jié)作業(yè)第三十二頁，共四十頁，2022年，8月28日2.在實(shí)際問題中求最值時(shí)，一般先要設(shè)定字母表示相關(guān)變量，再建立變量之間的函數(shù)關(guān)系，然后求最值.對形如：x＋y，xy，x2＋y2,等結(jié)構(gòu)的最值問題，常用基本不等式求解.第三十三頁，共四十頁，2022年，8月28日作業(yè)：P100練習(xí)：3，4.P101習(xí)題3.4A組：3，4.第三十四頁，共四十頁，2022年，8月28日第三課時(shí)

3.4基本不等式第三十五頁，共四十頁，2022年，8月28日1.基本不等式：（1）a2＋b2≥2ab（a，b∈R），當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號成立；一般形式：（2）(a＞0，b＞0)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號成立；（3）(a＞0，b＞0)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號成立知識整理第三十六頁，共四十頁，2022年，8月28日2.最值原理：（1）若兩個(gè)正數(shù)的積為定值，則當(dāng)這兩個(gè)正數(shù)相等時(shí)它們的和取最小值.（2）若兩個(gè)正數(shù)的和為定值，則當(dāng)這兩個(gè)正數(shù)相等時(shí)它們的積取最大值.（3）環(huán)境條件：一正二定三相等.第三十七頁，共四十頁，2022年，8月28日利用基本不等式求最值第三十八頁，共四十頁，20