數(shù)學人教A版（2019）必修第二冊6.2.4平面向量的數(shù)量積運算

問題1

向量a與b的數(shù)量積的含義是什么？向量的數(shù)量積具有哪些運算性質(zhì)？a·b=|a||b|cosθ，其中θ為向量a與b的夾角．設a，b是非零向量，它們的夾角是θ，e是與b方向相同的單位向量，則(1)

a·e=e·a

=|a|cosθ．(2)a⊥b?a·b=0．(3)當a與b同向時，a·b=|a||b|；當a與b反向時，a·b=-|a||b|．

特別地，a·a=|a|2或|a|=．(4)|a·b|≤|a||b|．（由|cosθ|≤1得到）創(chuàng)設情境、引入新課

與向量的線性運算一樣，定義了向量的數(shù)量積后，就要研究一下數(shù)量積運算是否滿足一些運算律．創(chuàng)設情境、引入新課

第五章

三角函數(shù)6.2.4平面向量的數(shù)量積運算學習目標XUEXIMUBIAO1、借助物理中功的模型，理解平面向量數(shù)量積的概念，能求兩個向量的數(shù)量積；2、能根據(jù)條件求向量的夾角；3、了解投影向量的意義及如何運用符號語言表示投影向量.重點難點ZHONGDIANNANDIAN1、向量數(shù)量積的概念、向量投影的概念以及投影向量的意義.(重點).2、投影向量的意義.(難點).1研學引導PARTONE知識點一

向量數(shù)量積的運算律問題2

類比數(shù)的乘法運算律，結(jié)合向量的線性運算的運算律，你能得到數(shù)量積運算的哪些運算律？你能證明嗎？由向量數(shù)量積的定義，可以發(fā)現(xiàn)下列運算律成立：對于向量a，b，c和實數(shù)λ，有①a·b=b·a；②(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)；③(a+b)·c=a·c+b·c．|a+b|cosθe=|a|cos1e+|b|cos2e．|a+b||c|cosθ=|a||c|cos1+|b||c|cos2．(a+b)·c=a·c+b·c．證明向量的分配律：

證明：如圖，任取一點O，作=a，=b，=c，=a+b．設a，b，a+b與c的夾角分別為1，2，，它們在c上的投影分別為

，

，

，與c方向相同的單位向量為e，則

=|a|cos1e，=|b|cos2e，=|a+b|cosθe．因為a=，所以

，則

，即(a+b)·c=a·c+b·c．知識點一

向量數(shù)量積運算律

追問1.1：設a，b，c是向量，(a·b)c=a(b·c)一定成立嗎？為什么？

對于實數(shù)a，b，c，有(a·b)c=a(b·c)；但對于向量a，b，c，(a·b)c=a(b·c)不一定成立．這是因為(a·b)c表示一個與c共線的向量，而a(b·c)表示一個與a共線的向量，而c與a不一定共線，所以(a·b)c=a(b·c)不一定成立．知識點一

向量數(shù)量積運算律2例題精講PARTTWO

例1

我們知道，對任意a，b∈R，恒有

(a+b)2=a2+2ab+b2，(a+b)(a-b)=a2-b2．對任意向量a，b，是否也有下面類似的結(jié)論？（1）(a+b)2=a2+2a·b+b2；（2）(a+b)·(a-b)=a2-b2．（1）(a+b)2=(a+b)·(a+b)=a·a+a·b+b·a+b·b=a2+2a·b+b2；（2）(a+b)·(a-b)=a·a-a·b+b·a-b·b=a2-b2．解：例2

已知|a|=6，|b|=4，a與b的夾角為60o，求(a+2b)·(a-3b)．解：(a+2b)·(a-3b)

=a·a-3a·b+2b·a-6b·b=|a|2-a·b-6|b|2=|a|2-|a||b|cos-6|b|2=62-6×4×cos60o-6×42=-72．

例3已知|a|=3，|b|=4，且a與b不共線．當k為何值時，向量a+kb與a-kb互相垂直？解：a+kb與a-kb互相垂直的充要條件是

(a+kb)·(a-kb)=0，

即a2-k2b2=0．

因為a2=32=9，b2=42=16，所以9-16k2=0．

因此k=

．

也就是說，當k=

時，a+kb與a-kb互相垂直．課堂練習教材P22練習課堂小結(jié)