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文檔簡介
復(fù)變函數(shù)冪級數(shù)復(fù)數(shù)及復(fù)變函數(shù)第一頁,共七十七頁,2022年,8月28日§4.1
復(fù)數(shù)項級數(shù)1.復(fù)數(shù)列的極限2.級數(shù)的概念第二頁,共七十七頁,2022年,8月28日1.復(fù)數(shù)列的極限定義又設(shè)復(fù)常數(shù):定理1證明第三頁,共七十七頁,2022年,8月28日第四頁,共七十七頁,2022年,8月28日例1
判斷下列數(shù)列是否收斂?若收斂,求出其極限.第五頁,共七十七頁,2022年,8月28日2.級數(shù)的概念級數(shù)的前面n項的和---級數(shù)的部分和不收斂---無窮級數(shù)定義設(shè)復(fù)數(shù)列:
第六頁,共七十七頁,2022年,8月28日例2解定理2證明第七頁,共七十七頁,2022年,8月28日
由定理2,復(fù)數(shù)項級數(shù)的收斂問題可歸之為兩個實數(shù)項級數(shù)的收斂問題.性質(zhì)定理3證明第八頁,共七十七頁,2022年,8月28日
?定義由定理3的證明過程,及不等式定理4第九頁,共七十七頁,2022年,8月28日解例2第十頁,共七十七頁,2022年,8月28日級數(shù)收斂判定:1.正項級數(shù)收斂判定:2.交錯級數(shù)收斂判定:3.特殊結(jié)構(gòu)的級數(shù)收斂判定:第十一頁,共七十七頁,2022年,8月28日練習(xí):第十二頁,共七十七頁,2022年,8月28日1.冪級數(shù)的概念
2.收斂定理
3.收斂圓與收斂半徑
4.收斂半徑的求法
5.冪級數(shù)的運算和性質(zhì)§4.2冪級數(shù)第十三頁,共七十七頁,2022年,8月28日1.冪級數(shù)的概念定義設(shè)復(fù)變函數(shù)列:---稱為復(fù)變函數(shù)項級數(shù)級數(shù)的最前面n項的和---級數(shù)的部分和
第十四頁,共七十七頁,2022年,8月28日若級數(shù)(1)在D內(nèi)處處收斂,其和為z的函數(shù)---級數(shù)(1)的和函數(shù)特殊情況,在級數(shù)(1)中稱為冪級數(shù)第十五頁,共七十七頁,2022年,8月28日2.收斂定理同實變函數(shù)一樣,復(fù)變冪級數(shù)也有所謂的收斂定理:定理1(阿貝爾(Able)定理)第十六頁,共七十七頁,2022年,8月28日證明第十七頁,共七十七頁,2022年,8月28日(2)用反證法,3.收斂圓與收斂半徑由Able定理,冪級數(shù)的收斂范圍不外乎下述三種情況:(i)若對所有正實數(shù)都收斂,級數(shù)(3)在復(fù)平面上處處收斂.(ii)除z=0外,對所有的正實數(shù)都是發(fā)散的,這時,級數(shù)(3)在復(fù)平面上除z=0外處處發(fā)散.第十八頁,共七十七頁,2022年,8月28日顯然,<否則,級數(shù)(3)將在處發(fā)散.將收斂部分染成紅色,發(fā)散部分染成藍(lán)色,逐漸變大,在c內(nèi)部都是紅色,逐漸變小,在c外部都是藍(lán)色,紅、藍(lán)色不會交錯.故播放第十九頁,共七十七頁,2022年,8月28日第二十頁,共七十七頁,2022年,8月28日
(i)冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)部收斂,在收斂圓外部發(fā)散,在圓周上可能收斂可能發(fā)散,具體問題要具體分析.定義這個紅藍(lán)兩色的分界圓周cR叫做冪級數(shù)的收斂圓;這個圓的半徑R叫做冪級數(shù)的收斂半徑.(ii)冪級數(shù)(3)的收斂范圍是以0為中心,半徑為R的圓域;冪級數(shù)(2)的收斂范圍是以z0為中心,半徑為R的圓域.第二十一頁,共七十七頁,2022年,8月28日4.收斂半徑的求法
定理2(比值法)證明第二十二頁,共七十七頁,2022年,8月28日第二十三頁,共七十七頁,2022年,8月28日
定理3(根值法)第二十四頁,共七十七頁,2022年,8月28日
定理3(根值法)
定理2(比值法)第二十五頁,共七十七頁,2022年,8月28日例1解
綜上第二十六頁,共七十七頁,2022年,8月28日例2求下列冪級數(shù)的收斂半徑第二十七頁,共七十七頁,2022年,8月28日5.冪級數(shù)的運算和性質(zhì)
代數(shù)運算
---冪級數(shù)的加、減運算---冪級數(shù)的乘法運算第二十八頁,共七十七頁,2022年,8月28日---冪級數(shù)的代換(復(fù)合)運算
冪級數(shù)的代換運算在函數(shù)展成冪級數(shù)中很有用.例3解代換第二十九頁,共七十七頁,2022年,8月28日解代換展開還原第三十頁,共七十七頁,2022年,8月28日
分析運算
定理4---冪級數(shù)的逐項求導(dǎo)運算---冪級數(shù)的逐項積分運算第三十一頁,共七十七頁,2022年,8月28日例4
求冪級數(shù)的和函數(shù)及收斂圓.第三十二頁,共七十七頁,2022年,8月28日1.泰勒展開定理
2.展開式的唯一性
3.簡單初等函數(shù)的泰勒展開式§4.3泰勒(Taylor)級數(shù)第三十三頁,共七十七頁,2022年,8月28日1.泰勒(Taylor)展開定理現(xiàn)在研究與此相反的問題:一個解析函數(shù)能否用冪級數(shù)表達(dá)?(或者說,一個解析函數(shù)能否展開成冪級數(shù)?解析函數(shù)在解析點能否用冪級數(shù)表示?)由§4.2冪級數(shù)的性質(zhì)知:一個冪級數(shù)的和函數(shù)在它的收斂圓內(nèi)部是一個解析函數(shù).以下定理給出了肯定回答:任何解析函數(shù)都一定能用冪級數(shù)表示.第三十四頁,共七十七頁,2022年,8月28日定理1(泰勒展開定理)Dk分析:代入(1)得第三十五頁,共七十七頁,2022年,8月28日Dkz第三十六頁,共七十七頁,2022年,8月28日---(*)得證!第三十七頁,共七十七頁,2022年,8月28日證明第三十八頁,共七十七頁,2022年,8月28日第三十九頁,共七十七頁,2022年,8月28日第四十頁,共七十七頁,2022年,8月28日第四十一頁,共七十七頁,2022年,8月28日
第四十二頁,共七十七頁,2022年,8月28日2.展開式的唯一性結(jié)論解析函數(shù)展開成冪級數(shù)是唯一的,就是它的Taylor級數(shù).利用泰勒級數(shù)可把解析函數(shù)展開成冪級數(shù),這樣的展開式是否唯一?事實上,設(shè)f(z)用另外的方法展開為冪級數(shù):第四十三頁,共七十七頁,2022年,8月28日由此可見,任何解析函數(shù)展開成冪級數(shù)就是Talor級數(shù),因而是唯一的.---直接法---間接法代公式由展開式的唯一性,運用級數(shù)的代數(shù)運算、分析運算和已知函數(shù)的展開式來展開函數(shù)展開成Taylor級數(shù)的方法:第四十四頁,共七十七頁,2022年,8月28日3.簡單初等函數(shù)的泰勒展開式例1解第四十五頁,共七十七頁,2022年,8月28日第四十六頁,共七十七頁,2022年,8月28日
上述求sinz,cosz展開式的方法即為間接法.例2把下列函數(shù)展開成z的冪級數(shù):解第四十七頁,共七十七頁,2022年,8月28日(2)由冪級數(shù)逐項求導(dǎo)性質(zhì)得:第四十八頁,共七十七頁,2022年,8月28日
(1)另一方面,因ln(1+z)在從z=-1向左沿負(fù)實軸剪開的平面內(nèi)解析,ln(1+z)離原點最近的一個奇點是-1,它的展開式的收斂范圍為z<1.第四十九頁,共七十七頁,2022年,8月28日練習(xí)第五十頁,共七十七頁,2022年,8月28日定理第五十一頁,共七十七頁,2022年,8月28日第五十二頁,共七十七頁,2022年,8月28日1.預(yù)備知識
2.雙邊冪級數(shù)
3.函數(shù)展開成雙邊冪級數(shù)
4.展開式的唯一性§4.4羅朗(Laurent)級數(shù)第五十三頁,共七十七頁,2022年,8月28日
由§4.3
知,f(z)在z0
解析,則f(z)總可以在z0
的某一個圓域z-z0<R內(nèi)展開成z-z0的冪級數(shù).若f(z)在z0點不解析,在z0的鄰域中就不可能展開成z-z0的冪級數(shù),但如果在圓環(huán)域R1<z-z0<R2
內(nèi)解析,那么,f(z)能否用級數(shù)表示呢?例如,第五十四頁,共七十七頁,2022年,8月28日由此推想,若f(z)在R
1<z-z0<R2
內(nèi)解析,f(z)可以展開成級數(shù),只是這個級數(shù)含有負(fù)冪次項,即第五十五頁,共七十七頁,2022年,8月28日
本節(jié)將討論在以z0為中心的圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)的級數(shù)表示法.它是后面將要研究的解析函數(shù)在孤立奇點鄰域內(nèi)的性質(zhì)以及定義留數(shù)和計算留數(shù)的基礎(chǔ).第五十六頁,共七十七頁,2022年,8月28日1.預(yù)備知識Cauchy積分公式的推廣到復(fù)連通域---見第三章第18題Dz0R1R2rRk1k2D1z第五十七頁,共七十七頁,2022年,8月28日2.雙邊冪級數(shù)---含有正負(fù)冪項的級數(shù)定義形如---雙邊冪級數(shù)正冪項(包括常數(shù)項)部分:負(fù)冪項部分:第五十八頁,共七十七頁,2022年,8月28日級數(shù)(2)是一冪級數(shù),設(shè)收斂半徑為R2,則級數(shù)在z-z0=R2內(nèi)收斂,且和為s(z)+;在z-z0=R2外發(fā)散.
第五十九頁,共七十七頁,2022年,8月28日z0R1R2z0R2R1第六十頁,共七十七頁,2022年,8月28日
(2)在圓環(huán)域的邊界z-z0=R1,
z-z0=R2上,第六十一頁,共七十七頁,2022年,8月28日3.函數(shù)展開成雙邊冪級數(shù)定理第六十二頁,共七十七頁,2022年,8月28日證明由復(fù)連通域上的Cauchy
積分公式:Dz0R1R2rRk1k2D1z記為I1記為I2第六十三頁,共七十七頁,2022年,8月28日第六十四頁,共七十七頁,2022年,8月28日式(*1),(*2)中系數(shù)cn的積分分別是在k2,k1上進(jìn)行的,在D內(nèi)取繞z0的簡單閉曲線c,由復(fù)合閉路定理可將cn寫成統(tǒng)一式子:證畢!級數(shù)中正整次冪部分和負(fù)整次冪部分分別稱為洛朗級數(shù)的解析部分和主要部分.第六十五頁,共七十七頁,2022年,8月28日
(2)在許多實際應(yīng)用中,經(jīng)常遇到f(z)在奇點
z0的鄰域內(nèi)解析,需要把f(z)展成級數(shù),那么就利用洛朗(Laurent)級數(shù)來展開.級數(shù)中正整次冪部分和負(fù)整次冪部分分別稱為洛朗級數(shù)的解析部分和主要部分.第六十六頁,共七十七頁,2022年,8月28日4.展開式的唯一性結(jié)論一個在某一圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展開為含有正、負(fù)冪項的級數(shù)是唯一的,這個級數(shù)就是f(z)的洛朗級數(shù).事實上,Dz0R1R2c第六十七頁,共七十七頁,2022年,8月28日Dz0R1R2c第六十八頁,共七十七頁,2022年,8月28日
由唯一性,將函數(shù)展開成Laurent級數(shù),可用間接法.在大都數(shù)情況,均采用這一簡便的方法求函數(shù)在指定圓環(huán)域內(nèi)的Laurent展開式,只有在個別情況下,才直接采用公式(5')求Laurent系數(shù)的方法.例1解第六十九頁,共七十七頁,2022年,8月28日例2解例3解第七十頁,共七十七頁,2022年,8月28日例4xyo12xyo12xyo12第七十一頁,共七十七頁,2022年,8月28日解:沒有奇點第七十二頁,共七十七頁,2022年,8月28日第七十三頁,共七十七頁,2022年,8月28日注意首項第七十四頁,共七十七頁,2022年,8月28日(2)對于有理函數(shù)的洛朗展開式,首先把有理函數(shù)分解成多項
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