復(fù)變函數(shù)與積分變換課件復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

復(fù)變函數(shù)與積分變換課件復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)第一頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日§4.1復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一、復(fù)數(shù)序列二、復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)第二頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日一、復(fù)數(shù)序列1.基本概念定義設(shè)為復(fù)數(shù)，稱(chēng)為復(fù)數(shù)序列。極限如果對(duì)任意給定的

e>

0，相應(yīng)地存在自然數(shù)N，設(shè)

為一復(fù)數(shù)序列，又設(shè)

為一確定的復(fù)數(shù)，當(dāng)

n

>

N時(shí)，總有

|

zn-

a

|

<

e

成立，或或稱(chēng)

a

為復(fù)數(shù)序列的極限，收斂于復(fù)數(shù)

a，則稱(chēng)復(fù)數(shù)序列記作使得第三頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日一、復(fù)數(shù)序列2.復(fù)數(shù)序列極限存在的充要條件則

的充要條件是定理設(shè)證明必要性“”若則當(dāng)時(shí)，

P78定理

4.1

第四頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日則

的充要條件是一、復(fù)數(shù)序列2.復(fù)數(shù)序列極限存在的充要條件定理設(shè)證明充分性“”則當(dāng)

時(shí)，若第五頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日解由或發(fā)散，即得也發(fā)散。已知故序列收斂。附考察實(shí)序列

的收斂性。(其中見(jiàn)上例)根據(jù)復(fù)數(shù)模的三角不等式有第六頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日注(1)序列收斂序列收斂；(2)例設(shè)討論序列的收斂性。解即序列收斂。第七頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日二、復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1.基本概念定義設(shè)為一復(fù)數(shù)序列，(1)稱(chēng)為復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，(2)稱(chēng)為級(jí)數(shù)的部分和；并且極限值

s

稱(chēng)為級(jí)數(shù)的和；(3)如果序列收斂，即則稱(chēng)級(jí)數(shù)收斂，(4)如果序列不收斂，則稱(chēng)級(jí)數(shù)發(fā)散。簡(jiǎn)記為第八頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日二、復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)2.復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件級(jí)數(shù)

和

都收斂。則級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件是定理設(shè)證明令

和

分別為級(jí)數(shù)和

的部分和，則級(jí)數(shù)

的部分和即得級(jí)數(shù)

收斂的充要條件是

和

都收斂。由于序列收斂的充要條件是和都收斂，

P80定理

4.1

第九頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日二、復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)3.復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的必要條件則

收斂的必要條件是定理設(shè)等價(jià)于因此

收斂的必要條件是證明由于級(jí)數(shù)

收斂的充要條件是

和

都收斂，而實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

和

收斂的必要條件是：P80定理4.3

第十頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日級(jí)數(shù)收斂，解但級(jí)數(shù)發(fā)散，因此級(jí)數(shù)發(fā)散。(幾何級(jí)數(shù)時(shí)收斂)(

p

級(jí)數(shù)時(shí)發(fā)散)P81例4.2部分

第十一頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日解由于級(jí)數(shù)和均為收斂，(絕對(duì)收斂)故有級(jí)數(shù)和均收斂，即得級(jí)數(shù)收斂。記為在復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中是否也能引入絕對(duì)收斂的概念呢？P81例4.2部分

第十二頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日4.復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂二、復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)定義(1)若

收斂，則稱(chēng)絕對(duì)收斂。(2)若

發(fā)散，

收斂，則稱(chēng)

條件收斂。由收斂，證明收斂，定理若收斂，則必收斂。又根據(jù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較法可得，和

均收斂，和均收斂，收斂。P81

P80定理4.4

第十三頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日解由于即絕對(duì)收斂，故收斂。第十四頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日分析由于發(fā)散，(

p

級(jí)數(shù)，比階法)因此不能馬上判斷

是否收斂。解故級(jí)數(shù)收斂。記為(萊布尼茲型的交錯(cuò)級(jí)數(shù))收斂，收斂，第十五頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日§4.2復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一、基本概念二、冪級(jí)數(shù)三、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)第十六頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日一、基本概念1.復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(2)稱(chēng)為區(qū)域

G

內(nèi)(1)稱(chēng)為區(qū)域

G

內(nèi)的復(fù)變函數(shù)序列。定義設(shè)復(fù)變函數(shù)在區(qū)域

G

內(nèi)有定義，的復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，簡(jiǎn)記為第十七頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日一、基本概念2.復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的定義(1)稱(chēng)為級(jí)數(shù)的部分和。定義設(shè)為區(qū)域G

內(nèi)的復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，稱(chēng)級(jí)數(shù)在點(diǎn)收斂。z0則稱(chēng)級(jí)數(shù)在區(qū)域

D

內(nèi)收斂。(3)如果存在區(qū)域D

G

，有此時(shí)，稱(chēng)(2)如果對(duì)

G

內(nèi)的某一點(diǎn)，有z0則為和函數(shù)，D

為收斂域。第十八頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日二、冪級(jí)數(shù)1.冪級(jí)數(shù)的概念其中，

為復(fù)常數(shù)。定義稱(chēng)由下式給出的復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)為冪級(jí)數(shù)：(

I

)特別地，當(dāng)

時(shí)有(Ⅱ)注(1)下面主要是對(duì)型冪級(jí)數(shù)進(jìn)行討論，所得到的結(jié)論(Ⅱ)只需將換成

即可應(yīng)用到型冪級(jí)數(shù)。(

I

)z(2)對(duì)于型冪級(jí)數(shù)，在

點(diǎn)肯定收斂。(Ⅱ)第十九頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日二、冪級(jí)數(shù)2.阿貝爾

(

Abel

)

定理(1)如果級(jí)數(shù)在點(diǎn)收斂，則它在

上絕對(duì)收斂；對(duì)于冪級(jí)數(shù)，有定理(2)如果級(jí)數(shù)在點(diǎn)發(fā)散，則它在

上發(fā)散。則存在

M，使對(duì)所有的

n

有即得收斂。證明(1)由收斂，有其中，當(dāng)時(shí)，

P83定理

4.5

推論(阿貝爾與伽羅華)第二十頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)于冪級(jí)數(shù)，有二、冪級(jí)數(shù)2.阿貝爾

(

Abel

)

定理(1)如果級(jí)數(shù)在點(diǎn)收斂，則它在

上絕對(duì)收斂；定理(2)如果級(jí)數(shù)在點(diǎn)發(fā)散，則它在

上發(fā)散。證明(2)反證法：與已知條件矛盾。已知級(jí)數(shù)在點(diǎn)發(fā)散，假設(shè)存在使得級(jí)數(shù)在點(diǎn)收斂，由定理的第

(1)

條有，級(jí)數(shù)在上絕對(duì)收斂；級(jí)數(shù)在點(diǎn)收斂，第二十一頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日二、冪級(jí)數(shù)3.收斂圓與收斂半徑發(fā)散發(fā)散收斂收斂分析第二十二頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日二、冪級(jí)數(shù)3.收斂圓與收斂半徑發(fā)散發(fā)散收斂收斂定義如圖設(shè)

CR

的半徑為

R，(1)稱(chēng)圓域?yàn)槭諗繄A。(2)稱(chēng)

R

為收斂半徑。R注意級(jí)數(shù)在收斂圓的邊界上各點(diǎn)的收斂情況是不一定的。約定表示級(jí)數(shù)僅在z

=

0點(diǎn)收斂；表示級(jí)數(shù)在整個(gè)復(fù)平面上收斂。第二十三頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日例考察級(jí)數(shù)的收斂性。對(duì)任意的解都有收斂半徑為(必要條件?)例考察級(jí)數(shù)的收斂性。由收斂，因此級(jí)數(shù)在全平面上收斂，收斂，故級(jí)數(shù)僅在點(diǎn)收斂，收斂半徑為對(duì)任意固定的解當(dāng)時(shí)，有第二十四頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日級(jí)數(shù)的部分和為解▲級(jí)數(shù)發(fā)散。級(jí)數(shù)收斂；(1)當(dāng)時(shí)，和函數(shù)為(2)當(dāng)時(shí)，故級(jí)數(shù)收斂半徑為第二十五頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日二、冪級(jí)數(shù)4.求收斂半徑的方法(1)比值法如果則收斂半徑為對(duì)于冪級(jí)數(shù)，有推導(dǎo)考慮正項(xiàng)級(jí)數(shù)利用達(dá)朗貝爾判別法：當(dāng)即時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)即時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散。P85

第二十六頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日(2)根值法如果則收斂半徑為二、冪級(jí)數(shù)4.求收斂半徑的方法(1)比值法如果則收斂半徑為對(duì)于冪級(jí)數(shù)，有(利用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的柯西判別法即可得到)第二十七頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日例求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與收斂圓。由解收斂圓為收斂半徑為例求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與收斂圓。由解收斂圓為收斂半徑為得得P86例4.3部分

第二十八頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日例求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與收斂圓。收斂圓為故級(jí)數(shù)的收斂半徑為由于解第二十九頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日令則在內(nèi)有三、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)1.冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)P86

第三十頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日2.冪級(jí)數(shù)的分析性質(zhì)即(3)在收斂圓內(nèi)可以逐項(xiàng)積分，即(1)函數(shù)在收斂圓內(nèi)解析。設(shè)性質(zhì)則(2)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可由其冪函數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)得到，三、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)P87

第三十一頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日3.冪級(jí)數(shù)的代換(復(fù)合)性質(zhì)在把函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)時(shí)，上述三類(lèi)性質(zhì)有著重要的作用。又設(shè)函數(shù)在

內(nèi)解析，且滿(mǎn)足設(shè)級(jí)數(shù)

在內(nèi)收斂，和函數(shù)為性質(zhì)當(dāng)時(shí)，有則三、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)第三十二頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日解方法一

利用乘法運(yùn)算性質(zhì)方法二

利用逐項(xiàng)求導(dǎo)性質(zhì)第三十三頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日解其收斂半徑為收斂圓為第三十四頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日§4.3泰勒級(jí)數(shù)一、泰勒(Taylor)定理二、將函數(shù)展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)的方法第三十五頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日z0DC一、泰勒(Taylor)定理則當(dāng)時(shí)，有定理設(shè)函數(shù)在區(qū)域

D

內(nèi)解析，C

為

D

的邊界，其中，證明(略)

Rl

為

D

內(nèi)包圍

點(diǎn)的z0的任意一條閉曲線(xiàn)。l

P88定理

4.6

(進(jìn)入證明?)第三十六頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日一、泰勒(Taylor)定理注(1)為什么只能在圓域上展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)，z0RDC而不是在整個(gè)解析區(qū)域

D

上展開(kāi)？回答這是由于受到冪級(jí)數(shù)本身的收斂性質(zhì)的限制：

冪級(jí)數(shù)的收斂域必須是圓域。

冪級(jí)數(shù)一旦收斂，其和函數(shù)一定解析。第三十七頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日一、泰勒(Taylor)定理注(2)展開(kāi)式中的系數(shù)還可以用下列方法直接給出。方法一第三十八頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日一、泰勒(Taylor)定理注(2)展開(kāi)式中的系數(shù)還可以用下列方法直接給出。方法二z0RDCl第三十九頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日一、泰勒(Taylor)定理注(3)對(duì)于一個(gè)給定的函數(shù)，用任何方法展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)，其結(jié)果都是一樣的，即具有唯一性。將函數(shù)在點(diǎn)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)。比如方法一

利用已知的結(jié)果(§4.2

):方法二

利用泰勒定理

:方法三

利用長(zhǎng)除法。(長(zhǎng)除法)第四十頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日一、泰勒(Taylor)定理注(4)對(duì)于一個(gè)給定的函數(shù)，能不能在不具體展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)的情況下，就知道其收斂域？可以知道。函數(shù)在點(diǎn)展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)，其收斂半徑結(jié)論等于從點(diǎn)到的最近一個(gè)奇點(diǎn)的距離。(1)冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)解析，

因此奇點(diǎn)

不可能理由在收斂圓內(nèi)；(2)奇點(diǎn)

也不可能在收斂圓外，不然收斂半徑還可以擴(kuò)大，故奇點(diǎn)

只能在收斂圓周上。第四十一頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日二、將函數(shù)展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)的方法1.直接展開(kāi)法利用泰勒定理，直接計(jì)算展開(kāi)系數(shù)將函數(shù)在點(diǎn)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)。例解P90例4.6

第四十二頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日二、將函數(shù)展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)的方法1.直接展開(kāi)法利用泰勒定理，直接計(jì)算展開(kāi)系數(shù)同理可得第四十三頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日二、將函數(shù)展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)的方法2.間接展開(kāi)法根據(jù)唯一性，利用一些已知的展開(kāi)式，通過(guò)有理運(yùn)算、代換運(yùn)算、逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)求積等方法展開(kāi)。兩個(gè)重要的已知展開(kāi)式第四十四頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日故收斂半徑函數(shù)有奇點(diǎn)解函數(shù)有奇點(diǎn)故收斂半徑(1)(2)P92例4.10

第四十五頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日(1)解將函數(shù)分別在點(diǎn)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)。例P92例4.11修改

第四十六頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日(2)解將函數(shù)分別在點(diǎn)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)。例第四十七頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日(1)解(2)第四十八頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日解第四十九頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日解將函數(shù)在點(diǎn)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)。例將函數(shù)在點(diǎn)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)。例解第五十頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日解將函數(shù)在點(diǎn)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)。例*P93例4.12

第五十一頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日§4.4洛朗級(jí)數(shù)一、含有負(fù)冪次項(xiàng)的“冪級(jí)數(shù)”二、洛朗(Laurent)定理三、將函數(shù)展開(kāi)為洛朗級(jí)數(shù)的方法第五十二頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日一、含有負(fù)冪次項(xiàng)的“冪級(jí)數(shù)”1.問(wèn)題分析引例根據(jù)前面的討論已知，函數(shù)

在

點(diǎn)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式為事實(shí)上，該函數(shù)在整個(gè)復(fù)平面上僅有一個(gè)奇點(diǎn)，但正是這樣一個(gè)奇點(diǎn)，使得函數(shù)只能在內(nèi)展開(kāi)為

z

的冪級(jí)數(shù)，而在如此廣大的解析區(qū)域內(nèi)不能展開(kāi)為

z

的冪級(jí)數(shù)。

有沒(méi)有其它辦法呢？一粒老鼠屎，壞了一鍋湯！第五十三頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日一、含有負(fù)冪次項(xiàng)的“冪級(jí)數(shù)”1.問(wèn)題分析設(shè)想這樣一來(lái)，在整個(gè)復(fù)平面上就有由，有從而可得第五十四頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日一、含有負(fù)冪次項(xiàng)的“冪級(jí)數(shù)”1.問(wèn)題分析啟示如果不限制一定要展開(kāi)為只含正冪次項(xiàng)的冪級(jí)數(shù)的話(huà)，即如果引入負(fù)冪次項(xiàng)，那么就有可能將一個(gè)函數(shù)在整個(gè)復(fù)平面上展開(kāi)(除了奇點(diǎn)所在的圓周上)。在引入了負(fù)冪次項(xiàng)以后，“冪級(jí)數(shù)”的收斂特性如何呢？下面將討論下列形式的級(jí)數(shù):第五十五頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日一、含有負(fù)冪次項(xiàng)的“冪級(jí)數(shù)”分析2.級(jí)數(shù)的收斂特性將其分為兩部分：正冪次項(xiàng)部分與負(fù)冪次項(xiàng)部分。(A)(B)(1)對(duì)于

(A)

式，其收斂域的形式為(2)對(duì)于

(B)

式，其收斂域的形式為根據(jù)上一節(jié)的討論可知：第五十六頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日一、含有負(fù)冪次項(xiàng)的“冪級(jí)數(shù)”結(jié)論2.級(jí)數(shù)的收斂特性(1)如果級(jí)數(shù)收斂，則其收斂域“一定”為環(huán)域：①

如果只含正冪次項(xiàng)(或者加上有限個(gè)負(fù)冪次項(xiàng))，特別地則其收斂域?yàn)椋夯颌?/p>

如果只含負(fù)冪次項(xiàng)(或者加上有限個(gè)正冪次項(xiàng))，則其收斂域?yàn)椋荷鲜鰞深?lèi)收斂域被看作是一種特殊的環(huán)域。第五十七頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日一、含有負(fù)冪次項(xiàng)的“冪級(jí)數(shù)”結(jié)論2.級(jí)數(shù)的收斂特性(1)如果級(jí)數(shù)收斂，則其收斂域“一定”為環(huán)域：而且具有與冪級(jí)數(shù)同樣的運(yùn)算性質(zhì)和分析性質(zhì)。(2)級(jí)數(shù)在收斂域內(nèi)其和函數(shù)是解析的,因此，下面將討論如何將一個(gè)函數(shù)在其解析環(huán)域內(nèi)展開(kāi)為上述形式的級(jí)數(shù)。第五十八頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日R2z0R1D二、洛朗(Laurent)定理設(shè)函數(shù)在圓環(huán)域定理C

為在圓環(huán)域內(nèi)繞的任何一條簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn)。解析,內(nèi)在此圓環(huán)域中展開(kāi)為則

一定能其中，證明(略)zC

P94定理

4.7

(進(jìn)入證明?)第五十九頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日注(1)展開(kāi)式中的系數(shù)可以用下面得方法直接給出。二、洛朗(Laurent)定理R2zz0R1CD第六十頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日注(2)洛朗級(jí)數(shù)中的正冪次項(xiàng)和負(fù)冪次項(xiàng)分別稱(chēng)為洛朗級(jí)數(shù)二、洛朗(Laurent)定理的解析部分和主要部分。(3)一個(gè)在某圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展開(kāi)為含有正負(fù)冪次項(xiàng)的級(jí)數(shù)是唯一的。(4)系數(shù)?(5)若函數(shù)在圓環(huán)內(nèi)解析，則在在此圓環(huán)內(nèi)的洛朗展開(kāi)式就是泰勒展開(kāi)式。第六十一頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日三、將函數(shù)展開(kāi)為洛朗級(jí)數(shù)的方法1.直接展開(kāi)法根據(jù)洛朗定理，在指定的解析環(huán)上R2zz0R1CD直接計(jì)算展開(kāi)系數(shù)：有點(diǎn)繁！有點(diǎn)煩！第六十二頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日三、將函數(shù)展開(kāi)為洛朗級(jí)數(shù)的