中考數(shù)學(xué)壓軸題解題策略線段和差最值的存在性問(wèn)題解題策略

中考數(shù)學(xué)壓軸題解題策略線段和差最值的存在性問(wèn)題解題策略專題攻略兩條動(dòng)線段的和的最小值問(wèn)題，常見(jiàn)的是典型的“牛喝水”問(wèn)題，關(guān)鍵是指出一條對(duì)稱軸“河流”（如圖1）.三條動(dòng)線段的和的最小值問(wèn)題，常見(jiàn)的是典型的“臺(tái)球兩次碰壁”或“光的兩次反射”問(wèn)題，關(guān)鍵是指出兩條對(duì)稱軸“反射鏡面”（如圖2）.兩條線段差的最大值問(wèn)題，一般根據(jù)三角形的兩邊之差小于第三邊，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，兩條線段差的最大值就是第三邊的長(zhǎng).如圖3,PA與PB的差的最大值就是AB，此時(shí)點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上，即P.解決線段和差的最值問(wèn)題，有時(shí)候求函數(shù)的最值更方便，本講不涉及函數(shù)最值問(wèn)題.圖1 圖2 圖3例題解析例?如圖1-1,拋物線y=%2—2%-3與l軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果△PAC的周長(zhǎng)最小，求點(diǎn)P的坐標(biāo).【解析】如圖1-2,把拋物線的對(duì)稱軸當(dāng)作河流，點(diǎn)A與點(diǎn)B對(duì)稱，連結(jié)BC,那么在△PBC中，PB+PC總是大于BC的.如圖1-3,當(dāng)點(diǎn)P落在BC上時(shí)，PB+PC最小，因此PA+PC最小，△PAC的周長(zhǎng)也最小.由y=%2—2%—3,可知OB=OC=3,OD=1.所以DB=DP=2,因此P（1,-2）.圖1-2 圖1-3例?如圖，拋物線y=2%2-4%+4與y軸交于點(diǎn)A,B是OA的中點(diǎn).一個(gè)動(dòng)點(diǎn)G從點(diǎn)B出發(fā)，先經(jīng)過(guò)％軸上的點(diǎn)M，再經(jīng)過(guò)拋物線對(duì)稱軸上的點(diǎn)M然后返回到點(diǎn)A.如果動(dòng)點(diǎn)G走過(guò)的路程最短，請(qǐng)找出點(diǎn)M、N的位置，并求最短路程.圖2-1【解析】如圖2-2,按照“臺(tái)球兩次碰壁”的模型，作點(diǎn)4關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)4,作點(diǎn)B關(guān)于％軸對(duì)稱的點(diǎn)B',連結(jié)A，B與1軸交于點(diǎn)M,與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)N.在RtAAA'B中，AA，=8,AB』6,所以A，B三10,即點(diǎn)G走過(guò)的最短路程為10.根據(jù)相似比可以計(jì)算得到OM=8,MH=4,NH=1.所以M(8,0),N(4,1).3 3 3圖2-2例如圖3-1,拋物線y=-4%2+8%+2與y軸交于點(diǎn)A,頂點(diǎn)為B.點(diǎn)P是1軸上的9 3一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求線段PA與PB中較長(zhǎng)的線段減去較短的線段的差的最小值與最大值，并求出相應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo).圖3-1【解析】題目讀起來(lái)像繞口令，其實(shí)就是求IPA—PBI的最小值與最大值.由拋物線的解析式可以得到A(0,2),B(3,6).設(shè)P(%,0).絕對(duì)值IPA—PBI的最小值當(dāng)然是0了，此時(shí)PA=PB，點(diǎn)P在AB的垂直平分線上(如TOC\o"1-5"\h\z41 ,,, 41圖3-2).解方程12+22=(%—3)2+62,得％= .此時(shí)P( ,0).6 6在^PAB中，根據(jù)兩邊之差小于第三邊，那么IPA—PBI總是小于AB了.如圖3-3,當(dāng)3點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，IPA—PBI取得最大值，最大值A(chǔ)B=5.此時(shí)P(-2,0).

/圖3-3/例?如圖4-1,菱形ABCD中，AB=2,ZA=120°,點(diǎn)P、Q、K分別為線段BC、CD、BD上的任意一點(diǎn)，求PK+QK的最小值.圖4-1【解析】如圖4-2,點(diǎn)Q關(guān)于直線BD的對(duì)稱點(diǎn)為。'，在^KPQ'中，PK+QK總是大于PQ'的.如圖4-3,當(dāng)點(diǎn)K落在PQ'上時(shí)，PK+QK的最小值為PQ'.如圖4-4,PQ'的最小值為Q'H,Q'H就是菱形ABCD的高，Q'H=V3.這道題目應(yīng)用了兩個(gè)典型的最值結(jié)論：兩點(diǎn)之間，線段最短；垂線段最短.A0ADP這道題目應(yīng)用了兩個(gè)典型的最值結(jié)論：兩點(diǎn)之間，線段最短；垂線段最短.A0ADP圖4-4圖4-4。A、。B的半徑分別為2和1,圖4-3圖4-2圖4-3例?如圖5-1,菱形ABCD中，ZA=60°,AB=3P、E、F分別是邊CD、。B和。A上的動(dòng)點(diǎn)，求PE+PF的最小值.【解析】E、F、P三個(gè)點(diǎn)都不確定，怎么辦？BE=1,AF=2是確定的，那么我們可以求PB+PA-3的最小值，先求PB+PA的最小值（如圖5-2）.如圖5-3,PB+PA的最小值為AB',AB=6.所以PE+PF的最小值等于3.

,例?如圖6-1,,例?如圖6-1,已知A(0,2)、B(6,4)、E(a,0)、F(a+1,0)周長(zhǎng)最??？請(qǐng)說(shuō)明理由.求a為何值時(shí)，四邊形ABEF圖6-1【解析】在四邊形ABEF中，AB、EF為定值，求AE+BF的最小值，先把這兩條線段經(jīng)過(guò)平移，使得兩條線段有公共端點(diǎn).如圖6-2,將線段BF向左平移兩個(gè)單位，得到線段ME.如圖6-3,作點(diǎn)A關(guān)于％軸的對(duì)稱點(diǎn)A,,MA,與％軸的交點(diǎn)E，滿足AE+ME最小.由^AOE-△BHF,得竺=HF由^AOE-△BHF,得竺=HF.解方程a=6Ta+2)40A'例?如圖7-1,AABC中，/ACB=90圖6-3AC=2,BC=1.點(diǎn)A、C分別在％軸和y軸的正半軸上，當(dāng)點(diǎn)A在％軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C也隨之在y軸上運(yùn)動(dòng).在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求點(diǎn)B到原點(diǎn)的最大距離.圖7-1【解析】如果把OB放在某一個(gè)三角形中，這個(gè)三角形的另外兩條邊的大小是確定的，那么根據(jù)兩邊之和大于第三邊，可知第三邊OB的最大值就是另兩邊的和.顯然△OBC是不符合條件的，因?yàn)镺C邊的大小不確定.如圖7-2,如果選AC的中點(diǎn)。，那么BD、OD都是定值，OD=1,BD=衣.在^OBD中，總是有OB<OD+BD.如圖7-3,當(dāng)點(diǎn)D落在OB上時(shí)，OB最大，最大值為%：2+1.例?如圖8-1,已知A(—2,0)、B(4,0)、D(-5,3v3).設(shè)F為線段BD上一點(diǎn)(不含端點(diǎn))，連結(jié)AF,一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AF以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到F,再沿線段FD以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到D后停止.當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中用時(shí)最少？口 _\AOB圖8-1【解析】點(diǎn)B(4,0)、D(-5,3<3)的坐標(biāo)隱含了/DBA=30°,不由得讓我們聯(lián)想到30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.如果把動(dòng)點(diǎn)M在兩條線段上的速度統(tǒng)一起來(lái)，問(wèn)題就轉(zhuǎn)化了.如圖8-2,在RtADEF中，F(xiàn)D=2FE.如果點(diǎn)M沿線段FD以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，那么點(diǎn)M沿線段FE以每秒1個(gè)單位的速度正好運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E.因此當(dāng)AF+FE最小時(shí)，點(diǎn)M用時(shí)最少.如圖8-3,當(dāng)AE±DE時(shí)，AF+FE最小，此時(shí)F(-2,2v3).例?如圖9-1,在RtAABC中，/C=90°,AC=6,BC=8.點(diǎn)E是BC邊上的點(diǎn)，連結(jié)AE，過(guò)點(diǎn)E作AE的垂線交AB邊于點(diǎn)F,求AF的最小值.

A圖9-1A【解析】如圖9-2,設(shè)AF的中點(diǎn)為D,那么DA=DE=DF.所以AF的最小值取決于DE的最小值.如圖9-3,當(dāng)DE±BC時(shí)，DE最小.設(shè)DA=DE=m，此時(shí)DB=5m.3由AB=DA+DB，得m+-m=10.解得m=—.此時(shí)AF=2m=—.圖9-3例如圖10-1,已知點(diǎn)P是拋物線.圖9-3例如圖10-1,已知點(diǎn)P是拋物線y上的一個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)D、E的坐標(biāo)分別為(0,1)、(1,2),連結(jié)PD、PE，求PD+PE的最小值.圖10-1【解析】點(diǎn)P不在一條筆直的河流上，沒(méi)有辦法套用“牛喝水”的模型.設(shè)P(X,-X2)，那么PD2=X2+(―X2一1)2=dX2+1)2.所以PD=—X2+1.4 4 4 4如圖10-2,4X2+1的幾何意義可以理解為拋物線上的